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一元二次方程解法(1)直接开平方法(知识讲解)

2021-06-10 更新 3莲券

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简介:1
专题 21.3 一元二次方程解法(1)直接开平方法(知识讲解)
【学习目标】
1.掌握直接开平方法解方程,会应用此判定方法解决有关问题;
2.理解解法中的降次思想,直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
  (1)直接开方法解一元二次方程:
    利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
  (2)直接开平方法的理论依据:
    平方根的定义.
  (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类:
    ①形如关于 x 的一元二次方程 ,可直接开平方求解.
     若 ,则 ;表示为 ,有两个不等实数根;
     若 ,则 x=O;表示为 ,有两个相等的实数根;
     若 ,则方程无实数根.
    ②形如关于 x 的一元二次方程 ,可直接开平方求解,
两根是
     .
要点诠释:
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义,应用时应把方程化成
左边是含未知数的完全平方式,右边是非负数的形式,就可以直接开平方求这个方程的根.
1.用直接开平方法解方程 ,得方程的根是( )
A. B.
C. , D.
23( 3) 24 0x − − =
3 2 2x = + 3 2 2x = −
1 3 2 2x = + 2 3 2 2x = − 3 2 2x = − ±

2
【答案】C
【解析】先移项、系数化 1,则可变形为 ,然后利用数的开方解答,求出
的值,进而求 .
【详解】移项得,
两边同除 3 得,
开方得,
所以
故选:C.
【总结升华】此题考查一元二次方程的解法—直接开方法,运用整体思想,把 看做一
个整体.
举一反三:
【变式 1】
(1)用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据直接开平方法分别求解可得.
【详解】A.方程 x2=0 的解为 x=0;
B. 由方程 x2+4=0 可得 x2=-4,方程无解;
C. 方程 x2-1=0 的解为 x= 1;
D. 方程-x2+2=0 的解为 x=± ;故选 B.
(2).用直接开平方法解方程(x-3)2=8 得方程的根为 ( )
( )23 8x − = 3x −
x
23( 3) 24x − =
( )23 8x − =
3 2 2,x − = ±
1 23 2 2, 3 2 2.x x= + = −
3x −
2 0x = 2 4 0x + = 2 1 0x − = 2 3 0x− + =
±
3

3
A. B.
C. , D. ,
【答案】D
【解析】本题考查的是平方根有两个和 8 的平方根,
故选 D
2. 解方程求下列 x 的值
(1)x2﹣25=0
(2)(x+5)2=16.
【思路点拨】(1)移项后利用直接开方法即可解决.(2)利用直接开方法解决.
【答案与解析】
解:(1)∵x2﹣25=0,
∴x2=25,
∴x=±5.
(2)∵(x+5)2=16,
∴x+5=±4,
∴x=﹣1 或﹣9.  
【总结升华】应当注意,形如 =k 或(nx+m)2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程,
“开平方”是解这种方程最直接的方法.“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一.
举一反三:
3 2 3x = + 3 2 2x = +
1 3 2 3x = + 2 3 2 3x = − 1 3 2 2x = − 2 3 2 2x = +

4
【变式 2】用直接开平方法求下列各方程的根:
   (1)x2=361;    (2)2y2-72=0;  (3)5a2-1=0;   (4)-8m2+36=0.
【答案】(1)∵ x2=361,
      ∴ x=19 或 x=-19.
    (2)∵2y2-72=0,
      2y2=72,
      y2=36,
      ∴ y=6 或 y=-6.
    (3)∵5a2-1=0,
      5a2=1,
      a2= ,
      ∴a= 或 a=- .
    (4)∵-8m2+36=0,
      -8m2=-36,
      m2= ,
      ∴m= 或 m=- .
【变式 3】解下列方程:
   (1) (2x+3)2-25=0;    (1﹣2x)2=x2﹣6x+9.    
【答案】解:(1)∵ (2x+3)2=25,
      ∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5.
     ∴x1=1,x2=-4.
    (2) ∵(1﹣2x)2=x2﹣6x+9,
∴(1﹣2x)2=(x﹣3)2,
∴1﹣2x=±(x﹣3),
∴1﹣2x=x﹣3 或 1﹣2x=﹣(x﹣3),

5
∴x1= ,x2=﹣2.
4
3
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kai

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