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认识一元二次方程(知识讲解)

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2021-06-10 更新 3莲券

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简介:1
专题 21.1 认识一元二次方程(知识讲解)
【学习目标】
1.了解一元二次方程的概念;
2.掌握一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a≠0),能分清二次项、一
次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等,会把一元二次方程化成一般形式;
3.能根据具体问题的数量关系,建立方程的模型.
【要点梳理】
1.一元二次方程的概念:
  通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程,
叫做一元二次方程.
要点诠释:
识别一元二次方程必须抓住三个条件:(1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)
未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程,缺一不可.
2.一元二次方程的一般形式:
  一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程,都能化成形如 ,这
种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项, 是二次项系数;bx 是一次项,b
是一次项系数;c 是常数项.
要点诠释:
  (1)只有当 时,方程 才是一元二次方程;
  (2)在求各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式,指明一元二次方程各项系数时
注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解:
  使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方
程的根.
4.一元二次方程根的重要结论

2
(1)若 a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=1;反之也成立,
即若 x=1 是一元二次方程 的一个根,则 a+b+c=0.
(2)若 a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根 x=-1;反之也成立,
即若 x=-1 是一元二次方程 的一个根,则 a-b+c=0.
(3)若一元二次方程 有一个根 x=0,则 c=0;反之也成立,
若 c=0,则一元二次方程 必有一根为 0.
【典型例题】
类型一、关于一元二次方程的判定
1.判定下列方程是不是一元二次方程:
  (1) ;  (2) .
【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件:(1)整式方程;(2)含有一个未知数;
(3)未知数的最高次数是 2.
【答案】(1)是;(2)不是.
【解析】(1)整理原方程,得
       ,
      所以 .
      其中,二次项的系数 ,所以原方程是一元二次方程.
    (2)整理原方程,得
       ,
      所以 .
      其中,二次项的系数为 ,所以原方程不是一元二次方程.
【总结升华】不满足(1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是 2.
的方程都不是一元二次方程,缺一不可.

3
举一反三:
【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程.
① ;② ;③ ;④ ;
⑤ ;⑥ ;⑦ .
【答案】②③⑥.
【解析】① 不是方程;④ 不是整式方程;⑤ 含
有 2 个未知数,不是一元方程;⑦ 化简后没有二次项,不是 2 次
方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义.
类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
2.把下列方程中的各项系数化为整数,二次项系数化为正数,并求出各项的系数:
  (1)-3x2-4x+2=0; (2) .
【答案与解析】
(1)两边都乘-1,就得到方程
    3x2+4x-2=0.
    各项的系数分别是: a=3,b=4,c=-2.
  (2)两边同乘-12,得到整数系数方程
    6x2-20x+9=0.
   各项的系数分别是: .
【总结升华】一般地,常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次
项系数是正数的一元二次方程;把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程.
值得注意的是,确定各项的系数时,不应忘记系数的符号,如(1)题中 c=-2 不能写
为 c=2,
2 1x x+ + 29 6 0x x− = 2
1
0
2
y = 2 15 4 0
2
x
x
− + =
2 23 0x xy y+ − = 23 2y = 2( 1)( 1)x x x+ − =
2 1x x+ + 2
1
5 4 0
2
x
x
− + = 2 23 0x xy y+ − =
2( 1)( 1)x x x+ − =

4
(2)题中 不能写为 .
举一反三:
【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数
项:
(1) ; (2) .
【答案】(1) ,二次项系数是 3... 更多>>

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kai

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