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2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数(含解析)

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2021-02-23 更新 3莲券

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简介:2021 年中考数学压轴题专项训练《二次函数》
1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点 A(﹣1,0),
点 B(3,0),与 y轴交于点 C.
(1)求 a,b的值;
(2)若点 P为直线 BC上一点,点 P到 A,B两点的距离相等,将该抛物线向左(或向右)
平移,得到一条新抛物线,并且新抛物线经过点 P,求新抛物线的顶点坐标.
解:(1) 二次函数 y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过点 A(﹣1,0),点 B(3,0),
∴ ,解得 ;
(2) y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线 x=1,C(3,0),
点 P到 A,B两点的距离相等,
∴点 P在抛物线的对称轴 x=1上,
B(3,0),C(0,3),
∴直线 BC的解析式为 y=﹣x+3,
令 x=1,则 y=﹣1+3=2,
∴P(1,2),
设平移后的新抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣h)2+4,
新抛物线经过点 P,
∴2=﹣(1﹣h)2+4,
解得 h1=1+ ,h2=1﹣ ,
∴新抛物线的顶点坐标为(1+ ,4)或(1﹣ ,4).

2.如图 a,已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c经过点 A(4,0)、C(0,2),与 x轴的另一个交点
为 B.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)如图 b,将△ABC绕 AB的中点 M旋转 180°得到△BAC′,试判断四边形 B C′AC的
形状.并证明你的结论.
(3)如图 a,在抛物线上是否存在点 D,使得以 A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全
等?若存在,请直接写出点 D的坐标;若不存在请说明理由.
解:(1)将点 A、C的坐标代入抛物线表达式并解得:
b=1,c=2,
故:抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2;
(2)四边形 BC′AC为矩形.
抛物线 y=﹣x2+x+2与 x轴的另一个交点为:(﹣1,0)
由勾股定理求得:BC= ,AC=2,又 AB=5,
由勾股定理的逆定理可得:△ABC直角三角形,
故∠BCA=90°;
已知,△ABC绕 AB的中点 M旋转 18 0o得到△BAC′,则 A、B互为对应点,
由旋转的性质可得:BC=AC',AC=BC'
所以,四边形 BC′AC为平行四边形,已证∠BCA=90°,
∴四边形 BC′AC为矩形;
(3)存在点 D,

使得以 A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等,
则点 D与点 C关于函数对称轴对称,
故:点 D的坐标为(3,2).
3.如图,已知二次函数 y=x2﹣2x+m的图象与 x轴交于点 A、B,与 y轴交于点 C,直线 AC
交二次函数图象的对称轴于点 D,若点 C为 AD的中点.
(1)求 m的值;
(2)若二次函数图象上有一点 Q,使得 tan∠ABQ=3,求点 Q的坐标;
(3)对于(2)中的 Q点,在二次函数图象上是否存在点 P,使得△QBP∽△COA?若存在,
求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设对称轴交 x轴于点 E,交对称轴于点 D,
函数的对称轴为:x=1,点 C为 AD的中点,则点 A(﹣1,0),
将点 A的坐标代入抛物线表达式并解得:m=﹣3,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①;

(2)tan∠ABQ=3,点 B(3,0),
则 AQ所在的直线为:y=±3x(x﹣3)…②,
联立①②并解得:x=﹣4或 3(舍去)或 2,
故点 Q(﹣4,21)或(2,﹣3);
(3)不存在,理由:
△QBP∽△COA,则∠QBP=90°
①当点 Q(2,﹣3)时,
则 BQ的表达式为:y=﹣ (x﹣3)…③,
联立①③并解得:x=3(舍去)或﹣ ,故点 P(﹣ , ),
此时 BP:PQ≠OA:OB,故点 P不存在;
②当点 Q(﹣4,21)时,
同理可得:点 P(﹣ , ),
此时 BP:PQ≠OA:OB,故点 P不存在;
综上,点 P不存在.
4.如图,已知二次函数 y=ax2+4ax+c(a≠0)的图象交 x轴于 A、B两点(A在 B的左侧),
交 y 轴于点 C.一次函数 y=﹣ x+b 的图象经过点 A,与 y 轴交于点 D(0,﹣3),与这
个二次函数的图象的另一个交点为 E,且 AD:DE=3:2.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若点 M为 x轴上一点,求 MD+ MA的最小值.
解:(1)把 D(0,﹣3)代入 y=﹣ x+b得 b=﹣3,

∴一次函数解析式为 y=﹣ x﹣3,
当 y=0时,﹣ x﹣3=0,解得 x=﹣6,则 A(﹣6,0),
作 EF⊥x轴于 F,如图,
OD∥EF,
∴ =... 更多>>

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