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2021年中考数学压轴题专项训练 圆的综合(含解析)

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2021-02-23 更新 3莲券

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简介:2021 年中考数学压轴题专项训练《圆的综合》
1.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ,AC 为直径,DE⊥BC,垂足为
E.
(1)求证:CD 平分∠ACE;
(2)若 AC=8,CE=3,求 CD 的长.
(1)证明: 四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=18 0°,
∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD,

∴∠BAD=∠ACD,
∴∠DCE=∠ACD,
∴CD 平分∠ACE;
(2)解: AC 为直径,
∴∠AD C=90°,
DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠DEC=∠ADC,
∠DCE=∠ACD,
∴△DCE∽△ACD,
∴ ,即 ,
∴ .
2.如图,AB 为⊙O 的直径,C、F 为⊙O 上两点,且点 C 为 的中点,过点 C 作 AF 的
垂线,交 AF 的延长线于点 E,交 AB 的延长线于点 D.

(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)当 BD=2,sinD= 时,求 AE 的长.
(1)证明:连接 OC,如图,
点 C 为弧 BF 的中点,
∴弧 BC=弧 CF.
∴∠BAC=∠FAC,
OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∴∠OCA=∠FAC,
∴OC∥AE,
AE⊥DE,
∴OC⊥DE.
∴DE 是⊙O 的切线;
(2) sinD= = ,
∴设 OC=3x,OD=5x,
则 5x=3x+2,
∴x=1,
∴OC=3,OD=5,
∴AD=8,
sinD= = = ,
∴AE= .

3.如图,已知 直线 l 切⊙O 于点 A,B 为⊙ O 上一点,过点 B 作 BC⊥l,垂足为点 C,连
接 AB、OB.
(1)求证:∠ABC=∠ABO;
(2)若 AB= ,AC=1,求⊙O 的半径.
(1)证明:连接 OA,
OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB,
AC 切⊙O 于 A,
∴OA⊥AC,
BC⊥AC,
∴OA∥BC,
∴∠OBA=∠ABC,
∴∠ABC=∠ABO;
(2)解:过 O 作 OD⊥BC 于 D,

OD⊥BC,BC⊥AC,OA⊥AC,
∴∠ODC=∠DCA=∠OAC=90°,
∴OD=AC=1,
在 Rt△ACB 中,AB= ,AC=1,由勾股定理得:BC= =3,
OD⊥BC,OD 过 O,
∴BD=DC= BC= =1.5,
在 Rt△ODB 中,由勾股定理得:OB= = ,
即⊙O 的半径是 .
4.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E,AD
⊥EC 交 EC 的延长线于点 D,连接 AC.
(1)求证:AC 平分∠DAE;
(2)若 cos∠DAE= ,BE=2,求⊙O 的半径.
(1)证明:连接 OC,

DE 是⊙O 的切线,
∴OC⊥DE,
AD⊥DE,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC 平分∠DAE;
(2)解:设⊙O 的半径为 r,
OC∥AD,
∴∠DAE=∠COE,
∴cos∠DAE=cos∠COE= ,BE=2,
∴ = ,
解得:r=4,
即⊙O 的半径为 4.
5.如图 a,AB 为⊙O 直径,AC 为⊙O 的为弦,PA 为⊙O 的切线,∠APC=2∠1.
(1)求证:PC 是⊙O 的切线.
(2)当∠1=30°,AB=4 时,其他条件不变,求图 b 中阴影部分的面积.
(1)证明:连结 OC,
在圆 O 中,OA=OC,
∴∠BOC=2∠1=∠APC,∠BOC+∠AOC=180°,

∴∠APC+∠AOC=180°,
PA 为⊙O 的切线,
∴∠OAP=90°
又四边形内角和为 360°,
∴∠OCP=90°,OC 为⊙O 的半径,
∴PC 为⊙O 的切线;
(2)解:PA 为⊙O 的切线,PC 为⊙O 的切线.
∴PA=PC,
∠1=30°,∠APC=2∠1,
∴∠APC=60°,
∴△APC 为等边三角形,
连结 OP,OC,
S 四边形 AOCP=2× ×2×2=4,S 扇形 AOC=×π×4=π,
∴S 阴影部分的面积=4﹣π.
6.如图,线段 AB 经过⊙O 的圆心,交⊙O 于 A,C 两点,BC=1,AD 为⊙O 的弦,连
接 BD,∠BAD=∠ABD=30°,连接 DO 并延长交⊙O 于点 E,连接 BE 交⊙O 于点

M.
(1)求证:直线 BD 是⊙O 的切线;
(2)求切线 BD 的长;
(3)求线段 BM 的长.
(1)证明: ∠BAD=∠ABD=30°,
∴∠DOB=2∠BAD=60°,
∴∠ODB=180°﹣30°﹣60°=90°,
即 OD⊥BD,
OD 过 O,
∴直线 BD 是⊙O 的切线;
(2)解:设 OD=OC=r,
在 Rt△BDO 中,sin30°= = ,
解得:r=1,
即 OD=1,OB=1+1=2,
由勾股定理得:BD= =... 更多>>

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