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2021年中考数学压轴题专项训练 图形的相似(含解析)

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2021-02-23 更新 3莲券

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简介:2021 年中考数学压轴题专项训练《图形的相似》
1.如图 1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点 P从点 B出发,在 BA边上
以每秒 3cm的速度向点 A匀速运动,同时动点 Q从点 C出发,在 CB边上以每秒 2cm的速
度向点 B匀速运动,运动时间为 t秒(0<t<2),连接 PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求 t的值;
(2)(如图 2)连接 AQ,CP,若 AQ⊥CP,求 t的值.
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时,
,BP=3t,QC=2t,AB=10cm,BC=8cm,
∴ ,
∴ ;
②当△BPQ∽△BCA时,

∴ ,
∴ ,
∴ 或 时,△BPQ与△ABC相似;
(2)如图所示,过 P作 PM⊥BC于点 M,AQ,CP交于点 N,
则有 PB=3t, , , ,
∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°,
∴△ACQ∽△CMP,
∴ ,


解得: ;
2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点 A的坐标为(2,﹣1),
请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于 x轴对称的△A1B1C1,点 A1的坐标为 (2,1) ;
(2)在网格内以点(1,1)为位似中心,把△A1B1C1按相似比 2:1放大,得到△A2B2C2,
请画出△A2B2C2;若边 AC上任意一点 P的坐标为(m,n),则两次变换后对应点 P2的坐标
为 (﹣2m+3,2n+3) .
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;点 A1的坐标为(2,1);

故答案为:(2,1);
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;P2的坐标为(﹣2m+3,2n+3).
故答案为:(﹣2m+3,2n+3).
3.综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题
问题情境:
已知正方形 ABCD中,点 O在 BC边上,且 OB=2OC.将正方形 ABCD绕点 O顺时针旋转得
到正方形 A′B′C′D′(点 A′,B′,C′,D′分别是点 A,B,C,D的对应点).同学
们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.
特例分析:(1)“乐思”小组提出问题: 如图 1,当点 B′落在正方形 ABCD的对角线 BD
上时,设线段 A′B′与 CD交于点 M.求证:四边形 OB′MC是矩形;
(2)“善学”小组提出问题:如图 2,当线段 A′D′经过点 D时 ,猜想线段 C′O与 D′
D满足的数量关系,并说明理由;
深入探究:
(3)请从下面 A,B两题中任选一题作答.我选择 A 题.
A.在图 2中连接 AA′和 BB′,请直接写出 的值.
B.“好问”小组提出问题:如图 3,在正方形 ABCD绕点 O顺时针旋转的过程中,设直线 BB
′交线段 AA′于点 P.连接 OP,并过点 O作 OQ⊥BB′于点 Q.请在图 3中补全图形,并
直接写出 的值.

(1)证明: 四边形 ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠C=90°,
∴∠CBD=∠CDB=45°;
由旋转可知,OB=OB’,
∴∠OB’B=∠OBB’=45°,
∠B’OC是△BOB’的一个外角,
∴∠B’OC=∠OB’B+∠OBB’=45°+45°=90°,
四边形 A’B’C’D’是正方形,
∴∠OB’M=90°,
∴四边形 OB’MC是矩形;
(2)解:D’D=2C’O,理由如下:
如图 2①,连接 OD,OD’,过点 O作 OE⊥D’D于点 E,则∠OED’=90°,
由旋转可知,OD=OD’,则 D’D=2D’E,
四边形 A’B’C’D’是正方形,
∴∠C′=∠OED′=90°,
∴四边形 OC’D’E是矩形,
∴C’O=D’E,
∴D’D=2C’O;
(3)解:A、如图 2②,连接 AA′,BB′,OA,OA′,
将正方形 ABCD绕点 O顺时针旋转得到正方形 A′B′C′D′,
∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,
∴ ,
∴△OBB′∽△OAA′,

∴ = ,
AB=BC,OB=2OC,
∴设 OC=x,则 OB=2x,
∴AB=BC=3x,
∴OA= = = x,
∴ = = = ;
B、如图 3,连接 OA,OA′,
将正方形 ABCD绕点 O顺时针旋转得到正方形 A′B′C′D′,
∴OB=OB′,OA=OA′,∠BOB′=∠AOA′,
∴∠OBB′=∠OAA′,
∴点 A,B,O,P四点共圆,
∴∠ABO+∠APO=180°,
∴∠APO=90°,
OQ⊥BB′,
∴∠BQO=∠APO=90°,
∴△OAP∽△OBQ,
∴ = .

4.如图,矩形 OABC边 OA,OC分别在 x轴,y轴上,且 OA=8,OC=6,连接 OB,点 D为 OB
中点,点 E... 更多>>

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