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2021年中考数学压轴题专项训练 四边形(含解析)

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2021-02-23 更新 3莲券

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简介:2021 年中考数学压轴题专项训练《四边形》
1.如图①,在矩形 ABCD中,已知 BC=8cm,点 G为 BC边上一点,满足 BG=AB=6cm,动点
E 以 1cm/s 的速度沿线段 BG 从点 B 移动到点 G,连接 AE,作 EF⊥AE,交线段 CD 于点
F.设点 E移动的时间为 t(s),CF的长度为 y(cm),y与 t的函数关系如图②所示.
(1)图①中,CG= 2 cm,图②中,m= 2 ;
(2)点 F能否为线段 CD的中点?若可能,求出此时 t的值,若不可能,请说明理由;
(3)在图①中,连接 AF,AG,设 AG与 EF交于点 H,若 AG 平分△AEF的面积,求此时 t
的值.
解:(1) BC=8cm,BG=AB=6cm,
∴CG=2cm,
EF⊥AE,
∴∠AEB+∠FEC=90°,且∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC,且∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECF,
∴ ,
t=6,
∴BE=6cm,CE=2cm,

∴CF=2cm,
∴m=2,
故答案为:2,2;
(2)若点 F是 CD中点,
∴CF=DF=3cm,
△ABE∽△ECF,

∴ ,

∴EC2﹣8EC+18=0
△=64﹣72=﹣8<0,
∴点 F不可能是 CD中点;
(3)如图①,过点 H作 HM⊥BC于点 M,
∠C=90°,HM⊥BC,
∴HM∥CD,
∴△EHM∽△EFC,

AG平分△AEF 的面积,
∴EH=FH,
∴EM=MC,
BE=t,EC=8﹣t,
∴EM=CM=4﹣ t,
∴MG=CM﹣CG=2﹣ ,


∴CF=
EM=MC,EH=FH,
∴MH= CF=

AB=BG=6,
∴∠AGB=45°,且 HM⊥BC,
∴∠HGM=∠GHM=45°,
∴HM=GM,
∴ =2﹣ ,
∴t=2或 t=12,且 t≤6,
∴t=2.
2.问题提出:
(1)如图 1,△ABC 的边 BC 在直线 n 上,过顶点 A 作直线 m∥n,在直线 m 上任取一点
D,连接 BD、CD,则△ABC的面积 = △DBC的面积.
问题探究:
(2)如图 2,在菱形 ABCD和菱形 BGFE中,BG=6,∠A=60°,求△DGE的面积;
问题解决:
(3)如图 3,在矩形 ABCD中,AB=12,BC=10,在矩形 ABCD内(也可以在边上)存在
一点 P,使得△ABP的面积等于矩形 ABCD的面积的 ,求△ABP周长的最小值.
解:问题提出:
(1) 两条平行线间的距离一定,
∴△ABC与△DBC同底等高,即△ABC的面积=△DBC的面积,
故答案为:=;
问题探究:
(2)如图 2,连接 BD,

四边形 ABCD,四边形 BGFE是菱形,
∴AD∥BC,BC∥EF,AD=AB,BG=BE,
∴∠A=∠CBE=60°,
∴△ADB是等边三角形,△BGE是等边三角形,
∴∠ABD=∠GBE=60°,
∴BD∥GE,
∴S△DGE=S△BGE= BG2=9 ;
(3)如图 3,过点 P作 PE∥AB,交 AD于点 E,
△ABP的面积等于矩形 ABCD的面积的 ,
∴ ×12×AE= ×12×10
∴AE=8,
作点 A关于 PE的对称点 A',连接 A'B交 PE于点 P,此时△ABP周长最小,
∴A'E=AE=8,
∴AA'=16,

∴A'B= = =20,
∴△ABP周长的最小值=AP+AB+PB=A'P+PB+AB=20+12=32.
3.(1)方法感悟:
如图①,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 DC、BC 边上的点,且满足∠EAF=45°,连
接 EF.将△ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABG,易证△GAF≌△EAF,从而得到结论:
DE+BF=EF.根据这个结论,若 CD=6,DE=2,求 EF的长.
(2)方法迁移:
如图②,若在四边形 ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是 BC、CD上的点,
且∠EAF= ∠BAD,试猜想 DE,BF,EF之间有何数量关系,证明你的结论.
(3)问题拓展:如图③,在四边形 ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是
边 BC、CD延长线上的点,且∠EAF= ∠BAD,试探究线段 EF、BE、FD之间的数量关系,
请直接写出你的猜想(不必说明理由).
解:(1)方法感悟:
将△ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABG,
∴GB=DE=2,
△GAF≌△EAF
∴GF=EF,
CD=6,DE=2
∴CE=4,
EF2=CF2+CE2,
∴EF2=(8﹣EF)2+16,
∴EF=5;

(2)方法迁移:
DE+BF=EF,
理由如下:如图②,将△ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABH,
由旋转可得,AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,∠D=∠ABH,
∠EAF= ∠DAB,
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD,
∴∠HAF=∠EAF,
∠ABH+∠ABF... 更多>>

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