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北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-专题1

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:专题一 高考中的导数应用问题 1.已知函数 f(x)= lnx+k ex (k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. [分析] 由 f ′(1)=0 求出 k 的值;(2)求出函数的定义域,利用导数求单调区间. [解析] (1)由 f(x)=lnx +k ex , 得 f ′(x)= 1-kx-xlnx xex ,x∈(0,+∞), 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. 所以 f ′(1)=0,因此 k=1. (2)由(1)得 f ′(x)= 1 xex (1-x-xlnx),x∈(0,+∞), 令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0> 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时,f ′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0> 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 2.设 f(x)=- 1 3 x3+ 1 2 x2+2ax. (1)若 f(x)在( 2 3 ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0 3 ,求 f(x)在该区间上的最大值. [解析] (1)由 f ′(x)=-x2+x+2a =-(x- 1 2 )2+ 1 4 +2a 当 x∈[ 2 3 ,+∞)时,f ′(x)的最大值为 f ′( 2 3 )= 2 9 +2a;令 2 9 +2a>0,得 a>- 1 9 所以,当 a>- 1 9 时,f(x)在( 2 3 ,+∞)上存在单调递增区间.即 f(x)在( 2 3 ,+∞)上存在单 调递增区间时,a 的取值范围是(- 1 9 ,+∞). (2)令 f ′(x)=0,得两根 x1= 1- 1+8a 2 ,x2= 1+ 1+8a 2 . 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减, 在(x1,x2)上单调递增. 当 0 所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 又 f(4)-f(1)=- 27 2 +6a<0> 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a-40 3 =- 16 3 ,得 a=1,x2=2, 从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)=10 3 . 3.某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米,体积为 V 平方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平 方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周 率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. [解析] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元,又据题意 200πrh+160πr2=12 000π,所以 h = 1 5r (300-4r2),从而 V(r)=πr2h= π 5 (300r-4r2). 因 r>0,又由 h>0 可得 r<5> 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). (2)因 V(r)= π 5 (300r-4r3),故 V′(r)= π 5 (300-12r2),令 V′(r)=0,解得 r1=5.r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0> 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8, 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 4.(文)(2014·北京高考)已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围. [解析] (1)由 f(x)=2x3-3x 得 f ′(x)=6x2-3, 令 f ′(x)=0,得 x=- 2 2 或 x= 2 2 . 因为 f(-2)=-10,f(- 2 2 )= 2, f( 2 2 )=- 2,f(1)=-1, 所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f(- 2 2 )= 2. (2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0), 则 y0=2x30-3x0,且切线斜率为 k=6x20-3, 所以切线方程为 y-y0=(6x20-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x20-3)(1-x0). 整理得 4x30-6x20+t+3=0. 设 g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2... 更多>>

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