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北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第3节

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:第五章 第三节 一、选择题 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且(a+b)·b= 3 2 ,则向量 a,b 的夹角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° [答案] C [解析] |a|=|b|=1,且(a+b)·b=a·b+b 2=cos+1=3 2 ,∴cos= 1 2 ,即得 = π 3 ,故应选 C. 2.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),若 λa-b 与 a 垂直,则 λ=(  ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 [答案] B [解析] 由于(λa-b)·a=λ|a|2-b·a=10λ-10=0,解得 λ=1,故选 B. 3.若 e1,e2是夹角为 π 3 的单位向量,且 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b 等于(  ) A.1 B.-4 C.- 7 2 D. 7 2 [答案] C [解析] 依题意,e1·e2=|e1||e2|cos π 3 = 1 2 , 所以 a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-6+2+ 1 2 =- 7 2 . 4.(2015·长沙模拟)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: (1)若 a·b=a·c,则 a=0 或 b=c; (2)若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 k= 1 3 ; (3)非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30°.其中所有真命题的个 数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析] 若 a·b=a·c,则 a·(b-c)=0,可得 a=0 或 b=c 或 a⊥(b-c),即命题(1)不正 确; 若 a=(1,k),b=(-2,6)且 a⊥b,则 a·b=-2+6k=0,得 k= 1 3 ,即命题(2)正确; 非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则可得出一个等边三角形,且 a 与 a+b 的夹角为 30°, 即命题(3)正确,综上可得真命题有 2 个,故应选 C. 5.(2014·新课标Ⅱ)设向量 a、b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=(  ) A.1 B.2 C.3 D.5 [答案] A [解析] 本题考查平面向量的模,平面向量的数量积. |a+b|= 10,|a-b|= 6,∴a2+b2+2ab=10,a2+b2-2ab=6. 联立方程解得 a·b=1,故选 A. 6.(文)在△ABC 中,(BC → +BA → )·AC → =|AC → |2,则△ABC 的形状一定是(  ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] C [解析] 由(BC→ +BA → )·AC → =|AC → |2得 (BC → +BA → )·AC → -|AC → |2=0, 即AC → ·(BC → +BA → -AC → )=0, 即AC → ·(2BA → )=0,故有AC → ⊥BA → . (理)(2014·湖南十二校联考)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sinA,sinB), n=(cosB, 3cosA),若 m·n=1+cos(A+B),则 C=(  ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 [答案] C [解析] m·n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB= 3sin(A+B)=1+cos(A+B) 即 3sinC=1-cosC,所以 sin(C+ π 6 )= 1 2 , 又因为 C 为△ABC 的内角,所以 C+ π 6 = 5π 6 ,即 C= 2π 3 . 二、填空题 7.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________. [答案]  2 [解析] 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等. a+c=(3,3m), (a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0,即(3,3m)·(m+1,1)=0, ∴3(m+1)+3m=0,6m+3=0,∴m=- 1 2 , ∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 8.过点 A(-2,1)且与向量 a=(3,1)平行的直线方程为__________. [答案] x-3y+5=0 [解析] 设 P(x,y)是所求直线上任一点, AP → =(x+2,y-1), AP → ∥a,∴(x+2)×1-3(y-1)=0, ∴所求直线方程为 x-3y+5=0. 9.(文)(2014·江西高考)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cosα= 1 3 ,若向量 a=3e1- 2e2,则|a|=________. [答案] 3 [解析] 本题主要考查向量的数量积及向量模的运算. |a|2=a2=(3e1-2e2)2=9|e1|2-12e1·e2+4|e2|2, 又 |e1|=|e2|=1,e1e2的夹角余弦值为 1 3 ∴上式=9-12× 1 3 +4=9 ∴|a|=3,解答本题关键是掌握向量的平方等于相应向量模的平方性质. (理)(2014·江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cosα=... 更多>>

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