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北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第4节

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:第三章 第四节 一、选择题 1.设 f(x)=Error!,则∫1 -1 f(x)dx 的值是(  ) A.∫1 -1 x2dx  B.∫1 -1 2xdx C.∫0 -1 x2dx+∫1 0 2xdx  D.∫0 -1 2xdx+∫1 0 x2dx [答案] D [解析] 由分段函数的积分公式知选 D. 2.一物体的下落速度为 v(t)=9.8t+6.5(单位:m/s),则下落后第二个 4s 内经过的路程 是(  ) A.249m  B.261.2m C.310.3m  D.450m [答案] B [解析] 所求路程为∫8 4 (9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)|84 =4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4 =313.6+52-78.4-26=261.2(m). 3.若 S1=∫21x 2dx,S2=∫21 1 x dx,S3=∫21e xdx,则 S1,S2,S3的大小关系为(  ) A.S1 C.S2 [答案] B [解析] S1=∫21x 2dx= x3 3 |21= 7 3 . S2=∫21 1 x dx=lnx|21=ln2-ln1=ln2. S3=∫21e xdx=ex|21=e2-e=e(e-1). e>2.7,∴S3>3>S1>S2.故选 B. 4.(2014·山东高考)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (  ) A.2 2  B.4 2 C.2  D.4 [答案] D [解析] 如图所示 由Error!解得Error!或Error! ∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义得,S=∫2 0 (4x-x3)dx=(2x2- x4 4 )|20=8-4=4. 5.由曲线 y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为(  ) A. 1 12   B. 1 4 C. 1 3   D. 7 12 [答案] A [解析] 由Error!得交点坐标为(0,0),(1,1). 因此所求图形面积为 S=∫1 0 (x2-x3)dx =Error!10= 1 12 . 6.如图所示,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机 投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落 在阴影部分的概率是(  ) A. 1 π   B. 2 π C. 3 π   D. 4 π [答案] A [解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得 S=∫π 0 sinxdx=-cosx|π0=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率是 S S矩形OABC = 2 2π = 1 π . 二、填空题 7.∫3 -4 |x+2|dx=________. [答案] 29 2 [解析] 原式=∫-2 -4 (-x-2)dx+∫3 -2 (x+2)dx= 29 2 . 8.(2014·皖南八校联考)∫0 -a a2-x2dx=________. [答案] πa 2 4 [解析]  ∫0 -a a2-x2dx 表示圆 x2+y2=a2在第二象限的面积,为 πa2 4 . 9.(2015·江西七校联考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=∫n +1 n 1 x dx(n∈N*),则 S100 =________. [答案] ln101 [解析] 依题意,an=lnx|n+1n =ln(n+1)-lnn,因此 S100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+ (ln101-ln100)=ln101. 三、解答题 10.求下列定积分: (1)∫1 0 (x2-x)dx; (4)设 f(x)=Error!,求 ∫1 -1 f(x)dx. [解析] (1)∫1 0 (x2-x)dx=( 1 3 x3- 1 2 x2)Error!=- 1 6 . (3)令 f(x)=3x3+4sinx,x∈[- π 2 , π 2] f(x)在[- π 2 , π 2]上为奇函数, (4)∫1 -1 f(x)dx=∫0-1x2dx+∫1 0 (cosx-1)dx = 1 3 x3| 0-1+(sinx-x)|10=sin1- 2 3 . 一、选择题 1.与定积分 ∫3π 0 1-cosxdx 相等的是(  ) A. 2∫3π 0 sin x 2 dx  B. 2∫3π 0 |sin x 2 |dx C.| 2∫3π 0 sin x 2 dx|  D.以上结论都不对 [答案] B [解析]  1-cosx=2sin2x 2 , ∴∫3π 0 1-cosxdx =∫3π 0 2|sin x 2 |dx= 2∫3π 0 |sin x 2 |dx. 2.(2014·江西高考)若 f(x)=x2+2∫1 0 f(x)dx,则 ∫1 0 f(x)dx=(  ) A.-1  B.- 1 3 C. 1 3   D.1 [答案] B [解析] 本题考查定积分的求法. 根据题设条件可得 ∫1 0 f(x)dx=- x3 3 |10=- 1 3 . 二、填空题 3.已知 f(x)=3x2+2x+1,若∫1 -1 f(x)dx=2f(a),则 a=________. [答案] -1 或1 3 [解析]  ∫1 -1 f(x)dx=∫1 -1 (3x2+2x+1)dx =(x3+x2+x)| 1-1=4=2f(a). f(a)=3a2+2a+1=2,解得 a=-1 或 1 3 . 4.(2015·洛阳统考)用 min{a,b}表示 a,b 两个数... 更多>>

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