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北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第2节

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:第三章 第二节 一、选择题 1.(原创题)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在(a,b)内的图像如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为(  ) A.1  B.2 C.3  D.4 [答案] A [解析] 从 f ′(x)的图像可知 f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减, ∴在(a,b)内只有一个极小值点. 2.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a=(  ) A.9  B.6 C.-9  D.-6 [答案] D [解析] y′=4x3+2ax,y′|x=-1=-4-2a=8 ∴a=-6. 3.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴 上的是(  ) A.(a,b)  B.(a,c) C.(b,c)  D.(a+b,c) [答案] A [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知 1、-1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根,∴1- 1=- 2b 3a ,b=0,故选 A. 4.在 R 上可导的函数 f(x)的图像如图所示,则关于 x 的不等式 x·f′(x)<0> A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] A [解析] 在(-∞,-1)和(1,+∞)上 f(x)递增,所以 f′(x)>0,使 xf′(x)<0> ∞,-1); 在(-1,1)上 f(x)递减,所以 f′(x)<0> 5.(文)(2014·新课标Ⅱ)若函数 f(x)=kx-lnx 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值 范围是(  ) A.(-∞,-2]  B.(-∞,-1] C.[2,+∞)  D.[1,+∞) [答案] D [解析] 由条件知 f′(x)=k-1 x ≥0 在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键. (理)已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a ①f(0)f(1)>0;  ②f(0)f(1)<0> ③f(0)f(3)>0;  ④f(0)f(3)<0> 其中正确结论的序号是(  ) A.①③  B.①④ C.②③  D.②④ [答案] C [解析]  f ′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由 f ′(x)<0>0, 得 x<1>3, ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数. 又 a ∴y 极大值=f(1)=4-abc>0, y 极小值=f(3)=-abc<0> ∴0 ∴a,b,c 均大于零,或者 a<0>0. 又 x=1,x=3 为函数 f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图. ∴f(0)<0>0. ∴正确结论的序号是②③. 6.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(  ) A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 [答案] C [解析] 本题考查函数零点的判断及函数的极值. ①当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),此时 f ′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=ex·x-1,∴A、B 项 均错. ②当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2 此时 f ′(x)=ex(x-1)2+(2x-2)(ex-1) =ex·x2-2x-ex+2=ex(x+1)(x-1)-2(x-1) =(x-1)[ex(x+1)-2], 易知 g(x)=ex(x+1)-2 的零点介于 0,1 之间,不妨设为 x0,则有 x (-∞,x0) x0 (x0,1) 1 (1,+∞) f ′(x) + 0 - 0 + f(x)  极大值  极小值  故 f(x)在 x=1 处取得极小值. 二、填空题 7.(文)函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是________. [答案] (2,+∞) [解析] f ′(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2), 由 f ′(x)>0 得 x>2. (理)已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导函数 f ′(x)的图像如图所示,则函数 f(x)的极小值 是________. [答案] c [解析] 由 f ′(x)的图像知,x=0 是 f(x)的极小值点, ∴f(x)极小值=f(0)=C. 8.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在 (-∞,+∞)内单调递减,则实数 m 的值为________. [... 更多>>

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