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简介：第三章 第二节
一、选择题
1．(原创题)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，
则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 从 f ′(x)的图像可知 f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
∴在(a，b)内只有一个极小值点．
2．已知曲线 y＝x4＋ax2＋1 在点(－1，a＋2)处切线的斜率为 8，则 a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8
∴a＝－6.
3．设 f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在 x＝1 和 x＝－1 处均有极值，则下列点中一定在 x 轴
上的是( )
A．(a，b) B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
[答案] A
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知 1、－1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根，∴1－
1＝－
2b
3a
，b＝0，故选 A．
4．在 R 上可导的函数 f(x)的图像如图所示，则关于 x 的不等式 x·f′(x)<0>
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上 f(x)递增，所以 f′(x)>0，使 xf′(x)<0>
∞，－1)；
在(－1,1)上 f(x)递减，所以 f′(x)<0>
5．(文)(2014·新课标Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值
范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件知 f′(x)＝k－1
x
≥0 在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
(理)已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0>
③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0>
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由 f ′(x)<0>0，
得 x<1>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又 a
∴y 极大值＝f(1)＝4－abc>0，
y 极小值＝f(3)＝－abc<0>
∴0
∴a，b，c 均大于零，或者 a<0>0.
又 x＝1，x＝3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0>0.
∴正确结论的序号是②③.
6．已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
[答案] C
[解析] 本题考查函数零点的判断及函数的极值．
①当 k＝1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时 f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B 项
均错．
②当 k＝2 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2
此时 f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)
＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)
＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
易知 g(x)＝ex(x＋1)－2 的零点介于 0,1 之间，不妨设为 x0，则有
x (－∞，x0) x0 (x0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
故 f(x)在 x＝1 处取得极小值．
二、填空题
7．(文)函数 f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由 f ′(x)>0 得 x>2.
(理)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数 f ′(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的极小值
是________．
[答案] c
[解析] 由 f ′(x)的图像知，x＝0 是 f(x)的极小值点，
∴f(x)极小值＝f(0)＝C．
8．已知函数 f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m 是偶函数，函数 g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5 在
(－∞，＋∞)内单调递减，则实数 m 的值为________．
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