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北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第3节

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:第三章 第三节 一、选择题 1.函数 y= 4x x2+1 (  ) A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,有最小值-2 D.无最值 [答案] C [解析]  y′=4(x 2+1)-4x·2x (x2+1)2 = -4x2+4 (x2+1)2 . 令 y′=0,得 x=1 或-1,f(-1)= -4 2 =-2,f(1)=2,故选 C. 2.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图像如图所示,则 y=f(x)的图像最有可 能是(  ) [答案] C [解析] 由 y=f ′(x)的图像易知当 x<0>2 时,f ′(x)>0,故函数 y=f(x)在区间(-∞, 0)和(2,+∞)上单调递增;当 0 减. 3.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足:f(4)=-3,且对任意 x∈R 总有 f ′(x)<3> 式 f(x)<3x> A.(-∞,4)  B.(-∞,-4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞)  D.(4,+∞) [答案] D [解析] 方法一(数形结合法): 由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率 k=f ′(x)<3> 又 y=3x-15 过点(4,-3),k=3. ∴y=f ′(x)和 y=3x-15 在同一坐标系中的草图如图, ∴f(x)<3x> 方法二:记 g(x)=f(x)-3x+15, 则 g′(x)=f ′(x)-3<0> 可知 g(x)在 R 上为减函数. 又 g(4)=f(4)-3×4+15=0, ∴f(x)<3x> 即 g(x)4. 4.若存在正数 x 使 2x(x-a)<1> A.(-∞,+∞)  B.(-2,+∞) C.(0,+∞)  D.(-1,+∞) [答案] D [解析] 由题意得,a>x-(1 2 )x (x>0), 令 f(x)=x-( 1 2 )x,则 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)min>f(0)=-1,∴a>-1,故选 D. 5.若函数 f(x)= 1 2 sin2x+sinx,则 f ′(x)是(  ) A.仅有最小值的奇函数 B.仅有最大值的偶函数 C.既有最大值又有最小值的偶函数 D.非奇非偶函数 [答案] C [解析] f(x)=sinxcosx+sinx,则 f ′(x)=cosxcosx+sinx·(-sinx)+cosx=cos2x-sin2x+ cosx=2cos2x+cosx-1,显然 f ′(x)是偶函数,又因为 cosx∈[-1,1],所以函数 f ′(x)既有 最大值又有最小值. 6.(文)如图,某农场要修建 3 个养鱼塘,每个面积为 10 000m2,鱼塘前面要留 4m 的 运料通道,其余各边为 2m 宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为(  ) A.长 102m,宽 5 000 51 m  B.长 150m,宽 66m C.长、宽均为 100 米  D.长 150m,宽 200 3 m [答案] D [解析] 设鱼塘长、宽分别为 ym、xm,依题意 xy=10 000. 设占地面积为 S,则 S=(3x+8)(y+6)=18x+ 80 000 x +30 048, 令 S′=18- 80 000 x2 =0,得 x= 200 3 .此时 y=150. (理)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长 20 cm,要使其体积最大,则高为(  ) A. 3 3 cm  B. 10 3 3 cm C. 16 3 3 cm  D. 20 3 3 cm [答案] D [解析] 设圆锥的高为 x cm,则底面半径为 202-x2(cm),其体积为 V=1 3 πx(202- x2)(0 1 3 π·(400-3x2),令 V′=0,解得 x1= 20 3 3,x2=- 20 3 3(舍去).当 0 20 3 3时,V′>0,当 20 3 3 20 3 3时,V 取最大值. 二、填空题 7.函数 f(x)=x2-2lnx 的最小值为________. [答案] 1 [解析] 由 f ′(x)=2x-2 x =0,得 x2=1.又 x>0,所以 x=1.因为 01 时 f ′(x)>0,所以当 x=1 时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值 f(1)=1. 8.函数 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,0) [解析] f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,即函数 f(x)恰有两个极值点,即 f′(x)=0 有 两个不等实根. f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1. 要使 f′(x)=0 有两个不等实根,则 a<0> 9.在直径为 d 的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为 ________.(强度与 ... 更多>>

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