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北师版高中数学必修一第9讲:指数运算与指数函数(教师版)

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2021-02-18 更新 6莲券

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简介:1 指数运算与指数函数 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、理解根式、分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质. 2、掌握指数函数的概念、图像和性质。 一、有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂 ; (2)零指数幂 ; (3)负整数指数幂 (4)0的正分数指数幂等于 0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1) (2) (3) 二、根式 1、根式的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 , 叫做根式, 叫做根指数, 叫被开方数。 2、对于根式记号 ,要注意以下几点: (1) , 且 ; (2)当 是奇数,则 ;当 是偶数,则 ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、规定: ( 1 ) ; ( 2 ) ( ) n na a a a a n N∗= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈   个 )0(10 ≠= aa ( )1 0,n na a n Na − ∗= ≠ ∈ ( )0, ,m n m na a a a m n Q== > ∈ ( ) ( )0, ,nm mna a a m n Q= > ∈ ( ) ( )0, 0,m m mab a b a b m Q= > > ∈ ax n = x a n ( )∗∈> Nnn ,1 n a n a n a n N∈ 1n > n aan n = n    <− ≥ == 0 0 aa aa aan n ( )0, , , 1 m n mna a a m n N n∗= > ∈ > 2 三、对指数函数定义的理解 一般地,函数 叫做指数函数。 1、定义域是 。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在 的前提下, 可以 是任意实数。 2、规定 ,且 的理由: (1)若 , (2)若 , 如 ,当 、 等时,在实数范围内函数值不存在。 (3)若 , ,是一个常量,没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况,所以规定 ,且 。 3、式上的严格性: 指数函数的定义表达式 中, 前的系数必须是 1。自变量 在指数的位置上。比如 等, 都不是指数函数;有些函数看起来不像指数函数,实际上却是, 如 ,因为它可以化为 ,其中 ,且 。 四、指数函数的图象和性质: 图象 定义域: 值域: 图像都过点 性 质 在 上是增函数 在 上是减函数 特别提醒: 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律: 在 轴右侧,图像从下往上相应的底数由小变大;在 轴左侧,图像从上往下相应的底数由小变 大。即不论在 轴右侧还是左侧,底数按逆时针增大。 五、比较幂值得大小 底数相同:利用函数的单调性进行比较; 指数相同:方法一:可转化为底数相同进行比较;方法二:可借助函数图像进行比较。指数函 数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律:即无论在 y 轴右侧还是在 y 轴左侧底 数按逆时针方向由小变大。 指数、底数都不同:可利用中间量进行比较。 六、指数方程的可解类型,可分为: ( )1 1 0, , , 1 m n m n m n a a m n N n aa − ∗= = > ∈ > )10( ≠>= aaay x 且 R 0a > x 0a > 1a ≠ 0a = 0 0 0 x x x a x a  >  ≤ 当 时, 恒等于 ; 当 时, 无意义。 0a < ( 2)xy = − 1 4 x = 1 2 1a = 1 1xy = = 0a > 1a ≠ xy a= xa x 12 , 1,x x xy a y a y a += = + = xy a−= ( 0 1)a a> ≠且 1 x y a  =    1 0 a > 1 1 a ≠ 1a > 0 1a< < R ( )0,+∞ ( )0,1 R R y y y 3 形如 的方程,化为 求解。 形如 的方程,可令 进行换元,转化成 一元二次方程 进行求解。 七、指数不等式的解法: 当 时 , 与 同 解 , 当 时 , 与 同解。 类型一 根式与分数指数幂的互化 例 1:(1)用根式表示下列各式:a 1 5 ;a 3 4 ;a- 2 3 ; (2)用分数指数幂表示下列各式:3 a5;3 a6; 1 3 a2 . 解析:(1)a 1 5 =5 a;a 3 4 =4 a3;a- 2 3 = 1 a 2 3 = 1 3 a2... 更多>>

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