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江苏省常熟市2020-2021高一数学下学期期中试卷(Word版带答案)

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时间:2021-05-08

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江苏省常熟市 2020—2021 学年高一下学期期中考试数学试题2021.4一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)1.已知复数 z=(1﹣i)(1﹣2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的虛部为A.﹣3 B.3 C.﹣3i D.3i2.已知向量 =(1,2), =(﹣4,m),若 与 垂直,则实数 m=A.2 B.﹣2 C.﹣8 D.83.已知 为任意角,则“cos2 = ”是“cos = ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 =(a+b,sinC), =( ,sinB﹣sinA),若 ∥ ,则角 B 的大小为A.30° B.60° C.120° D.150°5.如图,已知 ,用 , 表示 ,则 等于 A. B. C. D.6.明朝早期,郑和在七下西洋的过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海,形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位,其采用的主要工具为牵星板.由 12 块正方形木板组成,最小的一块边长约为 2 厘米(称一指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂垂直,眼睛到木板的距离大约为 72 厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下边缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,与其相切,依高低不同替换、调整木板,木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为九指板,则 tan2 = A. B. C. D. ababα α 13α 63mn3a c+ mnAB 3BP= OAOBOPOP1 4OA OB3 3−  1 4OA OB3 3+  1 4OA OB3 3− +  1 4OA OB3 3− − α12351717817815 第 5 题 第 6 题7.已知 cos = ,sin( ﹣ )= , , 均为锐角,则 =A. B. C. D.8.已知向量 =(cos20°,cos70°), =(sin10°,sin80°),若 t 是实数,且 ,则的最小值为 A. B.1 C. D.二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共计 20 分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z(3,﹣1),i 为虚数单位,则下列正确的是A.z=﹣1+3i B. =10 C. =3+i D.z+i 是实数10.已知 m,n 是实数, , , 为向量,则下列运算中正确的有A. B.若 ,则C. D.11.设函数 ,则A.最大值为 2 B.是偶函数C.图象关于点( ,0)对称 D.在区间(0, )上单调递增12.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a,b,c 求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幕减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有△ABC 满足 sinA:sinB:sinC=2:3: ,且△ABC的面积 S△ABC= ,请运用上述公式判断下列命题正确的是 A.△ABC 周长为 5+B.△ABC 三个内角 A,C,B 满足关系 A+B=2CC.△ABC 外接圆半径为D.△ABC 中线 CD 的长为三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上)α 55β α 1010− α β β4π8π3π6πabu a tb= +  u23222z zabc( )m n a ma na− = −  ma mb= a b= ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅     ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      ( ) sin(2 ) cos(2 )4 4f x x xπ π= + + + ( )f x4π2π2 2 22 2 21 [ ( ) ]4 2c a bS c a+ −= − 73 3272 21319213.若复数 ,i 为虚数单位,则 = .14 .若平面向量 , 满足 , ,且 ,则 与 夹角的大小为 .15.中华人民共和国国歌有 84 个字,37 小节,奏唱需要 46 秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为 米/秒. 第 15 题 第 16 题16.如图,在菱形 ABCD 中,AB=3,∠BAD=60°,E,F 分别为 BC,CD 上的点,, ,若线段 EF 上存在一点 M,使得 (x R),则 x= , = .四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知复数 =a+3i, =2﹣ai(a R,i 是虛数单位).(1)若 在复平面内对应的点落在第一象限,求实数 a 的取值范围;(2)若虚数 是实系数一元二次方程 x2﹣6x+m=0 的根,求实数 m 的值.18.(本小题满分 12 分)3 4i1 2iz−=+zmn2m =3n =3 2 6m n− = mn10 2CE 2EB= CF 2FD=  1AM AB AD2x= +  ∈AM BD⋅ 1z 2z ∈1 2z z−1z阅读一下一段文字: , ,两式相减得:,我们把这个等式称作“极化恒等式”,它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题:如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点.(1)若 AD=6,BC=4,求 的值;(2)若 =4, =﹣1,求 的值.19.(本小题满分 12 分)在① ,②S△AMN= ,③AC=AM 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并进行求解.问题:在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,B= ,c=8,点 M,N是 BC 边上的两个三等分点, , .(1)求 AM 的长;(2)求△ABC 外接圆的半径.2 22( ) 2a b a a b b+ = + ⋅ +      2 22( ) 2a b a a b b− = − ⋅ +     2 2 2 21( ) ( ) 4 [( ) ( ) ]4a b a b a b a b a b a b+ − − = ⋅ ⇒ ⋅ = + − −           AB AC⋅ AB AC⋅ FB FC⋅ EB EC⋅ AN3BN= 4 33πBC 3BM= 20.(本小题满分 12 分)亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是聊城的地标建筑,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点 P 距地面的高度,选取了与点 P 在地面上的射影 A 在同一水平面内的两个测量基点 B,C(如图所示);现测得∠ABC=∠ACB=∠ACP=30°,B,C 两点间的距离是 390 米.(1)求最高点 P 距地面的高度 PA;(2)若摩天轮最低点 Q 距地面的距离 QA=20 米,开启后按逆时针方向匀速旋转,转动一周需要 20 分钟.从游客进入摩天轮位于最低点 Q 处的轿厢开始计时,转动 t 分钟后距离地面的高度为 h 米.若在摩天轮所在的平面内,以 PQ 的中点为坐标原点,PO 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,求在转动一周的过程中,h(单位:米)关于 t(单位:分钟)的函数解析式.21.(本小题满分 12 分)已知 =(cos ,﹣sin ), =( cos ,cos ), ,将曲线的图象向右平移 得到函数 的图象.(1)若 , [0, ],求 tan( ﹣ )的值;(2)若不等式 mcos2x﹣ ≤m+3 对任意 x R 恒成立,求实数 m 的取值范围.a4x4xb34x4x 3( )2f x a b= ⋅ − ( )y f x=3π( )y g x=1( )2f α = α ∈ π α4π( 2 )m g xπ⋅ − ∈22.(本小题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,对于函数 ,称向量 =(a,b)为函数 的相伴特征向量,同时称函数 为向量 的相伴函数.(1)设函数 ,试求 的相伴特征向量 ;(2)记向量 =(1, )的相伴函数为 ,求当 且 x ( , )时,sinx 的值;(3)已知 A(﹣2,3),B(2,6), =( ,1)为 的相伴特征向量,,请问在 的图象上是否存在一点 P,使得 ⊥ .若存在,求出 P点坐标;若不存在,说明理由.( ) sin cosf x a x b x= + OM( )f x( )f x OM5 3( ) sin( ) sin( )6 2g x x xπ π= + − − ( )g x OMON3 ( )f x8( )=5f x ∈3π−6πOT3− ( ) sin( )6h x m xπ= −( ) ( )2 3xx hπϕ = − ( )y xϕ= APBP

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