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浙江省高一下学期期中考试数学试题(含答案)

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时间:2021-02-27

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第二学期期中考试(数学)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知角 的终边与单位圆交于点 ,则 的值为( )A. B. C. D.2. 等比数列 中, ,则 的前 4 项和为( ) A. 48 B. 60 C.81 D.1243. 将函数 的图像向右平移 个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图像,则( )A. B. C. D.4. 已知 中, 分别是角 的对边, ,则 等于( )A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知数列 满足 ,则( )A. B. C. D. 6. 已知 , 则 ( )A. B. C. D. 7. 已知等差数列 中, , ,则使 成立的最大 的值为( )A.97 B.98 C.99 D.1008. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 为等差数列,则等比数列 的公比 ( )A.可以取无数个值 B.只可以取两个值 C.只可以取一个值 D.不存在α 3 4( , )5 5P − cosα3535− 4545−{ }na 2 58, 64a a= = { }nasiny x=6π2sin( ),( 0,| | )2y xπω ϕ ω ϕ= + 2,3πω ϕ= = − 2,6πω ϕ= = − 1 ,2 3πω ϕ= = − 1 ,2 6πω ϕ= = −ABC∆ , ,a b c , ,A B C 4, 4 3, 30a b A= = = ° B60° 120° 60° 30° 150° 30°{ }na 1 11, 2( *)n na a a n N+= − ≥ ∈12nna−≥ 2 1na n≥ +12nnS−≥ 2nS n≥1cos( )12 3π θ− = 5sin( )12π θ+ =132 2313− 2 23−{ }na 2 63, 7a a= =1nnbna= 1 299100nb b b+ + +  n{ }na n nS { }nS { }na q9. 在 中, 分别是角 的对边,若 ,则 的值为( )A. 1008 B. 1009 C.2017 D.201810. 记数列 的前 项和为 ,若存在实数 ,使得对任意的 ,都有 ,则称数列 为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )A.若 是等差数列,且首项 ,则 是“和有界数列”B.若 是等差数列,且公差 ,则 是“和有界数列”C.若 是等比数列,且公比 ,则 是“和有界数列”D.若 是等比数列,且 是“和有界数列”,则 的公比二、填空题:本大题共 7小题,每题 3分,共 21分。11. 已知 ,则 .12. 等比数列 中, 是方程 的两根,则 ______. 13. 如图是函数 的部分图象,已知函数图象经过两点,则 . 14.在 中, 分别是内角 所对的边,若 ,则 .15. 在一个数列中,如果对任意的 ,都有 ( 为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列 是等积数列,且 ,公积为 8,则 .16. 数列 满足 ,则 _____.17.已知数列 的通项公式为 ,数列 的通项公式为 ,设 ,若对数列 , 恒成立,则实数 的取值范围是______.ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2 2 22018a b c+ = 2 tan tantan (tan tan )A BC A B⋅⋅ +{ }na n nS 0M *n N∈ | |nS M { }na{ }na 1 0a = { }na{ }na 0d = { }na{ }na | | 1q { }na{ }na { }na { }na | | 1q 2cos( ) 3cos( ) 02x xππ − + − = tan _____x ={ }na 3 15,a a 2 6 8 0x x− + = 1 179a aa=( ) ( )2sin , 0,2f x xπω ϕ ω ϕ = + ≤  5 7,2 , ,012 6P Qπ π         ϕ =ABC∆ , ,a b c , ,A B C 60 , 1, 3ABCA b S∆= ° = = a =*n N∈ 1 2n n na a a k+ +⋅ ⋅ = kk { }na 1 21, 2a a= = 1 2 3 12a a a a+ + + + ={ },{ }n na b1 11 11 12 113 32, 1, ( 2, *)1 213 3n n nn n na a ba b n n Nb a b− −− − = + += = ≥ ∈ = + +1008 1008 2018 2018( )( )a b a b+ − ={ }na na n t= − + { }nb33nnb−= | |2 2n n n nna b a bc+ −= +{ }nc 3 ( *)nc c n N≥ ∈ t三、解答题:本大题共 5小题,共 49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. 已知函数 ,(1)求 ;(2)求 的最大值与最小值.19. 单调递增的等差数列 的前 项和为 , ,且 依次成等比数列.(1)求 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和为 . 20. 如图, 正三角形 的边长为 , 分别在三边 上,且为 的中点, .(1)若 ,求 的面积;(2)求 的面积 的最小值,及使得 取得最小值时 的值.21.设数列 的前 项和为 ,它满足条件 ,数列 满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)若数列 是一个单调递增数列,求实数 的取值范围.22.已知数列 中, .(1)证明: 是等比数列;( ) 2sin cos cos3f x x x xπ  = ⋅ − +    02xπ ∈   ,6fπ   ( )f x{ }na n nS 1 1a = 2 4 5, , 3a a a +{ }na12 nan nb a−= ⋅ { }nb n nSABC 2 , ,D E F , ,AB BC CA DAB 90 , (0 90 )EDF BDE θ θ∠ = ° ∠ = ° °30θ = ° DEF∆DEF∆ S S θ{ }na n nS1(1 ) 1 ( 0, 1)n na S t tt= − + ≠ { }nb lgnn nb a t= ⋅{ }na{ }nb t{ }na 1 11, 2 ( 1)nn na a a+= = + −( 1){ }3nna−+θCBAFDE(2)当 是奇数时,证明: ;(3)证明: .k111 1 92kk ka a+++ 1 21 1 13na a a+ + + 期中答卷(数学)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B D A D A B C C C二、填空题:本大题共 7小题,每题 3分,共 21分。 11. 12. 13. 14. 15. 28 16. 17. 三、解答题:本大题共 5小题,共 49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. 解:(1) , ,所以 …………3分(2). …………7分因为 ,所以 .又因为 在区间 上是递增,在区间 上递减.所以,当 ,即 时, 有最大值 ;当 ,即 时, 有最小值 . …………9分232 23π− 13201720173[3,6]1cos6 2π − =  1sin6 2π = 1 1 12 16 2 2 2fπ   = × × + =      ( ) 2sin cos cos3f x x x xπ  = ⋅ − +    1 32sin cos sin cos2 2x x x x  = ⋅ + +      ( )3 3sin 2 1 cos 22 2x x= + − 33 sin 26 2xπ = − +  02xπ ∈   ,526 6 6xπ π π − ∈ −  ,siny z=6 2π π −  ,52 6π π   ,26 2xπ π− =3xπ= ( )f x 3 3226 6xπ π− = − 0x = ( )f x 019.解:(1)由题意可知 ,所以 ,解得 或 因为 单调递增,所以 ,因此 …………4分(2)∴ 两式相减得:所以, …………10分20.解:(1)若 , ,所以 …………3分(2)在 中,由正弦定理得在 中,由正弦定理得 …………7分所以当 时, …………10分21. 解:(1) 两式相减得: ,即: 又因为 ,且 ,所以 是首项和公比均为 的等比数列24 2 5( 3)a a a= +2(1 3 ) (1 )(4 4 )d d d+ = + + 1d = 35−{ }na 1d = na n=12nnb n−= ⋅0 1 2 11 2 2 2 3 2 2nnS n−= × + × + × + + ×1 2 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n nnS n n−= × + × + + − × + ×1 2 1 1 21 2 2 2 2 2 2 1 21 2nn n n n nnS n n n− −− = + + + + − × = − × = − − ×−( 1) 2 1nnS n= − × +30θ = ° 3 , 12DE DF= = 1 32 4S DE DF= ⋅ =BDE∆ sin 60 3sin(120 ) 2sin(60 )BDDEθ θ°= =° − ° +ADF∆ sin 60 3sin(30 ) 2sin(30 )ADDFθ θ°= =° + ° +1 32 8sin(60 )sin(30 )S DE DFθ θ= ⋅ =° + ° +32( 3 cos sin )(cos 3 sin )θ θ θ θ=+ +2 23 32[ 3(cos sin ) 4sin cos ] 2( 3 2sin 2 )θ θ θ θ θ= =+ + +45θ = °min3 6 3 322( 3 2)S−= =+1 11 1(1 ) 1 , (1 ) 1( 2)n n n na S a S nt t− −= − + ∴ = − + ≥1 11(1 )( ) ( 2)n n n na a S S nt− −− = − − ≥ 1( 2)n na ta n−= ≥1a t= 0, 1t t ≠ { }na t因此, …………4分(2) ,由 得: 对 恒成立 ○1 若 ,则 对一切 恒成立,即 恒成立 因为 ,所以 恒成立; ○2 若 ,则 对一切 恒成立,即 恒成立,即 , 因为 随着 的增大而增大,所以 ,所以 ; 由○1 ○2 可知, 或 . …………10分22.解:(1) , ,且所以,数列 是首项为 ,公比为 2的等比数列. …………3分 (2)由(1)可知当 是奇数时, …………6分(3)由(2)可知,当 为偶数时, 当 为奇数时, ,且nna t=lg lgn n nnb t t nt t= ⋅ = ⋅ 1n nb b+ 1( 1) lg lgn nn t t nt t++ ⋅ ⋅ *n N∈1, lg 0t t 1( 1) n nn t nt++ *n N∈1ntn+1, 11ntn + 1ntn+0 1, lg 0t t 1( 1) n nn t nt++ *n N∈1ntn+ min( )1ntn+1nn +n min1( )1 2nn=+1 102 2t t ⇒ 102t 1t 1 2 ( 1)nn na a+ = + −11( 1) ( 1)2[ ]3 3n nn na a++− −∴ + = + 1( 1) 23 3a−+ =( 1){ }3nna−+ 23( 1) 2 2 ( 1)3 3 3n n n nn na a− − −+ = ⇒ =k11 1 1 1 111 1 3 3 3(2 1) 3(2 1) 9 2 9 2 92 1 2 1 (2 1)(2 1) 2 2 2 1 2 2 2k k k kk k k k k k k k k kk ka a++ + + + ++− + + ⋅ ⋅+ = + = = =+ − + − ⋅ + − ⋅n11 1 92nn na a−+ 2 41 2 1 2 3 4 11 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2( ) ( ) ( ) 9( ) 9 3(1 ) 312 2 2 214nn nn n na a a a a a a a a−−+ + + = + + + + + = + + + = × = − −  n111 1 92nn na a+++ 1 1 111 3 302 ( 1) 2 1n n nna+ + ++= = − − −1 21 1 1na a a+ + + 1 2 1 1 2 3 4 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a a+ ++ + + + = + + + + +  因此, . …………10分12 4 1 11 1(1 )1 1 1 14 29( ) 9 3(1 ) 312 2 2 214nn n++ +− + + + = × = − −1 21 1 13na a a+ + + 

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