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2019广东佛山禅城区高一(下)数学期中试卷(含解析)

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2019广东佛山禅城区高一(下)数学期中试卷含解析

一、选择题。

1.的值是(

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

把原式的角度变形为,然后利用诱导公式化简,再把变为,利用诱导公式及特殊角的三角函数值,即可求解.

【详解】由题意,可得

,故选:C.

【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简、求值,其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键,同时注意角度的灵活变换,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.


2.设集合,,则

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先分别求出集合,,再根据集合并集的运算,即可求解.

【详解】由题意,集合,,

所以,故选:A.

【点睛】本题主要考查了并集的概念及运算,其中解答中熟记集合的并集的概念及运算是解答的关键,着重考查了运算求解能力,是基础题.


3.函数的最小正周期是(

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数的周期公式,即可求解,得到答案.

【详解】由题意,函数,所以函数的最小正周期是:.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的求法,其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.


4.设,且,则下列不等式成立的是(

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质以及特值,可利用排除法,即可求解,得到答案.

【详解】由题意,因为,所以,当时,所以A不正确;

由,当时,所以B不正确;

由,根据不等式的可加性可得,所以C正确;

由,例如,时,所以D不正确.

故选:C.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用,其中解答中熟练应用不等式的基本性质,合理利用排除法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.


5.已知,,且,则

A. 9 B. C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量共线定理,得到,即可求解,得到答案.

【详解】由题意,向量,,因为向量,所以,解得.

故选:A.

【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算,其中解答中熟记向量的共线定理的坐标运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.


6.如果二次函数有两个不同的零点,则的取值范围是(

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析:因为二次函数y=x2mx+(m+3)有两个不同的零点,所以△=,解得:x<-2或x>6,因此答案为D.

考点:本题考查二次函数的零点问题。

点评:二次函数y=ax2bx+c有两个不同的零点等价于对应的二次方程有两个不等实根,而不是有两个实根。


7.已知为奇函数,,,则

A. B. 1 C. D. 2

【答案】C

【解析】

已知为奇函数,,

令可得,即,则,

令可得,故选C.


8.在中,,则此三角形有(

A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知不等式得到为锐角,且小于,利用正弦定理得到,可得出为锐角或钝角,即三角形有两解.

【详解】由题意,知,所以,,所以,

由正弦定理,得,即,

当时,为锐角;当时,为钝角,

则此三角形有两解.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理,以及三角形的边角关系,其中解答中熟练掌握正弦定理是解本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.


9.设函数,则

A. B. 5 C. 6 D. 11

【答案】B

【解析】

分析:先确定的符号,再求的值.

详解:0,

∴=故选B.

点睛:本题主要考查分段函数求值和对数指数运算,意在考查学生分段函数和对数指数基础知识掌握能力和基本运算能力.


10.不等式组表示的平面区域是(

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

结合二元一次不等式组表示平面区域,进行判断,即可求解,得到选项.

【详解】由题意,不等式表示在直线的下方及直线上,

不等式表示在直线的上方,所以对应的区域为,

故选:B.

【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,其中解答中结合条件判断区域和对应直线的关系是解决本题的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.


11.已知平行四边形的对角线分别为,,且,点是上靠近的四等分点,则(


A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意,,,又由,,代入化简,即可求解.

【详解】由题意,因为,且点是上靠近的四等分点,

∴,,

∴,

∵,,

∴.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理、向量的三角形法则,其中解答中熟记平面向量的基本定理和向量的运算法则是解答的关键,着重考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


12.若函数的图象关于直线对称,且当,时,,则

A. B. C. 4 D. 2

【答案】A

【解析】



且关于点对称,

从而

本题选择A选项.


二、填空题。

13.若,则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用二倍角的正弦函数公式和同角三角函数基本关系式化简,即可求解,得到答案.

【详解】由题意,因为,则.

故答案:.

【点睛】本题主要考查了二倍角正弦函数公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的综合应用,其中解答中熟练应用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式是解答的关键,着重考查计算能力和转化思想,属于基础题.


14.在中,若,则______.

【答案】或

【解析】

【分析】

利用正弦定理,可把变形为,从而解出,进而求出.

【详解】 且,或.

故答案或.

【点睛】本题考查了正弦定理的应用,解得本题的关键是利用了正弦定理的变形,,,属于基本知识的考查.


15.若变量,满足约束条件,则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

作出约束条件对应平面区域,根据的几何意义,利用数形结合确定目标函数的最优解,即可求解最小值,得到答案.

【详解】画出变量满足约束条件所对应的平面区域,如图所示,

由得,平移直线,

由图象可知当直线,经过点时直线的截距最小,此时最小,

又由,解得,所以,

故答案为:.


【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.


16.已知正数,满足,则的最小值为______.

【答案】24

【解析】

【分析】

给乘展开后利用基本不等式即可.

【详解】因为,

()(=(6+6+),

故答案为24.

【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


三、解答题。

17.(1)化简:;

2)求值:.

【答案】(1)2)1

【解析】

【分析】

1)由实数指数幂的运算性质,即可化简求得结果;

2)由对数的运算性质,即可化简求得结果,得到答案.

【详解】(1)根据实数指数幂的运算性质,

可得:

2)由对数的运算性质,可得.

【点睛】本题考查了对数的运算性质,以及指数幂的运算性质的应用,其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质,准确化简、运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.


18.如图,在中,已知,是边上的一点,,,.


1)求的面积;

2)求边的长.

【答案】(1);(2)

【解析】

分析:1)在中,根据余弦定理求得,然后根据三角形的面积公式可得所求.(2)在中由正弦定理可得的长.

详解:(1)在中,由余弦定理得

∵为三角形的内角,

2)在中,,

由正弦定理得:

∴.

点睛:解三角形时首先要确定所要解的的三角形,在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向,另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用.


19.已知,,与夹角是.

1)求的值及的值;

2)当为何值时,?

【答案】(1);2)

【解析】

【分析】

1)利用数量积定义及其向量的运算性质,即可求解;

2)由于,可得,利用向量的数量积的运算公式,即可求解.

【详解】(1)由向量的数量积的运算公式,可得,

.

2)因为,所以,

整理得,解得.

即当值时,.

【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,以及向量垂直的坐标运算是解答的关键,着重考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


20.设(,且),且.

1)求的值及的定义域;

2)求在区间上的最大值.

【答案】

【解析】

试题分析:(1)由可求出,由对数的真数为正数,即可求函数的定义域;2)由及复合函数的单调性可知,当时,是增函数;当时,是减函数,由单调性可求值域.

试题解析:(1)∵,∴,∴.

由,得,∴函数的定义域为

2),

∴当时,是增函数;当时,是减函数,

函数在上的最大值是,

函数在上的最小值是,

∴在区间上的值域是.

考点:1.对数函数的图象与性质2.复合函数的单调性.


21.已知函数.

1)求函数的单调递增区间;

2)若,,求的值.

【答案】(1);(2).

【解析】

试题分析:不论研究三角函数的哪一种性质,首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究,借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间;当已知函数值时,转化为正弦函数方程去解,但要注意x的取值范围,解三角方程.

试题解析:


所以,函数的单调递增区间为:

2)

又,


【点睛】不论研究三角函数的哪一种性质,首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究,借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间;有了三角函数的解析式,可以求值、求周期、求单调区间,求最值、求范围、求对称轴、求对称中心、已知函数值求自变量等.


22.已知二次函数满足,且.

1)求的解析式;

2)当时,不等式有解,求实数的取值范围;

3)设,,求的最大值.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

试题分析:(1)设二次函数一般式,根据待定系数法求出a,b,c(2)不等式恒成立一般转化为对应函数最值:x23x1的最小值>m,再根据二次函数性质求x23x1的最小值得实数m的范围;(3)根据对称轴与定义区间位置关系,分类讨论函数取最大值的情况

试题解析:解:(1)令f(x)=ax2bxc(a≠0),代入已知条件,

得:

f(x)=x2x1.

(2)当x∈[-1,1]时,f(x)>2xm恒成立,

x23x1>m恒成立;

g(x)=x23x1=2-,x∈[-1,1].

则对称轴:x=∉[-1,1],g(x)ming(1)=-1,

m<-1.


(3)G(t)=f(2ta)=4t2(4a2)ta2a1,t∈[-1,1],对称轴为:t=.

①当≥0时,即:a;如图1:

G(t)maxG(-1)=4-(4a2)+a2a1=a25a7,

②当

即:a>;如图2:

G(t)maxG(1)=4+(4a2)+a2a1=a23a3,

综上所述:

G(t)max

点睛:不等式有解是含参数的不等式存在性问题时,只要求存在满足条件的即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立,而不等式的解集的对立面(如的解集是空集,则恒成立))也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即恒成立⇔,恒成立⇔.

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