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2019年高中数学第一章三角函数同步练习(共7套新人教A版必修4)

第一章 三角函数 单元质量评估
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是     ( C )
A.                 B.1            C.2            D.4
2.若120°角的终边上有一点(-4,a),则a的值为     ( C )
A.-4       B.±4       C.4       D.2
3.下列三角函数值的符号判断正确的是     ( C )
A.sin 156°<0                      B.cos >0
C.tan <0                        D.tan 556°<0
4.sin 300°+tan 600°的值等于    ( B )
A.-                               B.  
 C.- +                           D. +
5.已知函数f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x0的值为     ( D )
A.-               B.               C.-               D.
6.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x= 对称的是     ( B )
A.y=sin                           B.y=sin
C.y=cos                           D.y=cos
7.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则A=     ( B )
 
A.3            B.             C.                 D.1
8.函数y=sin 的图象可由函数y=cos x的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到,则m=     ( A )
A.1      B.       C.       D.
9.函数f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是     ( B )
 
A.2,-           B.2,-              C.4,           D.4,
10.函数y=cos2x+sin x-1的值域为     ( C )
A.                             B.
C.                           D.[-2,0]
11.已知函数f(x)=tan ωx在 内是减函数,则实数ω的取值范围是     ( B )
A.(0,1]                   B.[-1,0)
C.[-2,0)               D.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ,x=- 为f(x)的零点, x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在 单调,则ω的最大值为     ( B )
A.11         B.9        C.7         D.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若2sin α-cos α=0,则 =- .
14.函数f(x)= sin +cos 的最大值为 .
15.设函数f(x)=cos x,先将f(x)纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移 个单位长度后得g(x),则函数g(x)到原点距离最近的对称中心为 .
16.给出下列命题:
①存在实数x,使sin x+cos x= ;
②函数y=sin 是偶函数;
③若α,β是第一象限角,且α>β,则cos α<cos β;
④函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位,得到函数y=sin 的图象.
其中结论正确的序号是 ② .(把正确的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知tan α+ = ,求2sin2(3π-α)-3cos ?sin +2的值.
【解析】因为tan α+ = ,
所以2tan2α-5tan α+2=0.
解得tan α= 或tan α=2.
2sin2(3π-α)-3cos sin +2
=2sin2α-3sin αcos α+2= +2
= +2.
当tan α= 时,原式= +2
=- +2= ;
当tan α=2时,原式= +2= +2= .
18.(本小题满分12分)已知f(α)= .
(1)化简f(α).
(2)当α=- 时,求f(α)的值.
【解析】(1)f(α)=
= =-cos α.
(2)当α=- 时,f(α)=-cos =-cos =- .
19.(本小题满分12分)(1)已知x是第三象限的角,化简三角式 - .
(2)已知tan θ= (0<a<1).求证: + =-2.
【解析】(1)因为x是第三象限的角,
所以 -
= -
= - = -
=-2tan x.
(2)因为tan θ= ,所以 = = -1,所以a=cos2θ,
所以 + = = = = =-2,故原式成立.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在 上的最大、最小值及相应的x的值.
 
【解析】(1)由图象可知,A=2.
因为周期T= =π,
所以 =π,ω>0,解得ω=2.
所以f(x)=2sin(2x+φ).
代入点 ,得sin =1,
所以 +φ= +2kπ,k∈Z,即φ=- +2kπ,k∈Z.
又|φ|< ,所以φ=- .所以f(x)=2sin .
(2)因为x∈ ,所以2x- ∈ .
所以当2x- = ,即x= 时,f(x)max=2;
当2x- =- 或 ,
即x=0或 时,f(x)min=- .
21.(本小题满分12分)平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,某天各时刻t的水深数据的近似值如表:
t(时)    0    3    6    9    12    15    18    21    24
y(米)    1.5    2.4    1.5    0.6    1.4    2.4    1.6    0.6    1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图,从①y=Asin(ωt+φ),②y=Acos(ωt+φ)+b,③y=-Asin ωt+b(A>0,ω>0,-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式.
(2)为保证队员安全,规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(1)中的选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.
【解析】(1)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:
 
依题意,选②y=Acos(ωt+φ)+b做为函数模型,
所以A= =0.9,b= =1.5.
因为T= =12,所以ω= .
所以y=0.9cos +1.5.
又因为函数y=0.9cos +1.5的图象过点 ,所以2.4=0.9×cos +1.5.
所以cos =1.
所以sin φ=-1.又因为-π<φ<0,所以φ=- .
所以y=0.9cos +1.5=0.9sin t+1.5.
(2)由(1)知,y=0.9sin t+1.5.
令y≥1.05,即0.9sin t+1.5≥1.05.
所以sin t≥- .所以2kπ- ≤ t≤2kπ+ (k∈Z).
所以12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).
又因为5≤t≤18,所以5≤t≤7或11≤t≤18.
所以这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移 个单位,得到g(x)的图象,若存在x∈ 使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.
 
【解析】(1)设函数f(x)的周期为T,由图象可知 = - = .所以T=π,
即 =π,又ω>0,解得ω=2.
所以f(x)=sin(2x+φ).
因为点 在函数f(x)的图象上,
所以sin =1,即 +φ= +2kπ,k∈Z,
解得φ= +2kπ,k∈Z.
又因为|φ|< ,所以φ= .
所以f(x)=sin .
令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z),
解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).
(2)经过图象变换,得到函数g(x)=f =sin x.
于是问题即为“存在x∈ ,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.
即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈ 上有解.
令t=sin x∈[0,1],则2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,
因为-2t2+3t+1=-2 + ∈ ,
所以2a∈ ,即实数a的取值范围为 .

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