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云南玉溪一中2018-2019高一数学上学期期末试卷(含答案)

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玉溪一中2018—2019学年上学期高一年级期末考
数学试卷
命题人:飞超
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , , ,则 =(    )D
A.        B.        C.        D.
2.半径为1的扇形面积为 ,则扇形的圆心角为(    )C
  A.    B.    C.    D.
3.已知 是第二象限角,其终边与单位圆的交点为 ,则 (    )A
  A.        B.        C.        D. 
4.函数 的零点所在的区间是(    )C
A.    B.    C.    D.
5.已知函数 是定义在 上的偶函数,且在区间 上是增函数,令 , , ,则:(    )A
A.   B.   C.   D.
6.已知 为奇函数,则 (    )D
A.      B.      C.      D.
7.平行四边形 中,若点 满足 , ,设 ,则 (    )B
  A.          B.          C.          D.
8.函数 的部分图像是(    )A
 
9.已知函数 ,则下列结论错误的是(    )D
A. 的一个周期为                B. 的图像关于点 对称
C. 的图像关于直线 对称     D. 在区间 的值域为
10.已知 是 上的单调递增函数,那么 的取值范围是(    )C       
  A.        B.        C.        D.
11.将函数 图像上每个点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移 个单位长度,所得图象关于 轴对称,则 的一个值是(    )D
  A.        B.        C.        D. 
12.函数 满足: ,已知函数 与 的图象共有4个交点,交点坐标分别为 , , , ,则: (    )C
  A.          B.          C.          D.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.函数  的图象恒过定点 , 点 在幂函数 的图象上,则 =____________.27
14.已知 , , ,且 三点共线,则 ____________.
15.如果 ,那么 的值为____________.         
16.如图, 是等腰直角三角形, , 是线段 上的动点,且 ,则 的取值范围是____________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
已知全集 ,集合 ,集合 .
(1)求 , ;
(2)已知集合 ,若 ,求实数 的取值范围.
解:(1) .....2分, .....3分
 .....4分, ,.....5分
(2)因为 ,所以 .....6分
若 ,即 ,即 ,符合题意;.....7分
若 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 .....9分
综上所述,实数 的取值范围是 .....10分

18.(本题满分12分)
已知 , ,且 与 的夹角为 .
(1)求 ;  (2)若  ,求实数 的值.
解:(1) .....2分, .....6分
(2)因为 ,所以 , .....8分
即: , ,解得: ......12分
 
  19.(本题满分12分)
  已知函数 的反函数为 , .
  (1)求 的解析式,并指出 的定义域;
  (2)设 ,求函数 的零点.
    解:(1) , ,解不等式组 可得 的定义域为 ...5分
(2)函数 的零点是方程 的解. ......6分
 ,  
因为 ,所以 ,所以 ,即 的值域为  ......7分
若 ,则方程无解;......8分
若 ,则 ,所以 ,方程有且只有一个解 ;......9分
若 ,则 ,所以 ,方程有两个解 ......11分
综上所述:
若 ,则 无零点;
若 ,则 有且只有一个零点 ;
若 ,则 有两个零点 ......12分

20.(本题满分12分)
已知 .
(1)将 化为最简形式;
(2)若 ,且 ,求 的值.
解:(1) .....6分
(2) ①.....8分
平方可得 , ,因为 ,所以 , , ,所以 ②..10分
由①②可得: ,所以 .....12分

21.(本题满分12分)
已知函数 的部分图像如图所示,其中 .
(1)求  的值;
(2)求函数 的单调递增区间;
(3)解不等式 .        
解:(1)由题知 , …………1分
由 的图像知 , ,得 ……2分
由 可得 , , .因为 ,所以 …………4分
(2) ,由图像可知: 在 单调递增.
当 时, ,令 得 ,
综上所述:函数的增区间为 , , ……8分
(说明:直接由 的图像写出单调递增区间也给满分)
(3)由图像知当 时, 恒成立;当 时, ,即: , ,解得 ,
综上所述:不等式的解集是 …12分

  22.(本题满分12分)
   已知函数  是奇函数.
   (1)求实数 的值;
   (2)若 ,对任意 都有 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)设  ,若 ,是否存在实数 使函数 在 上的最大值为 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为 的定义域为 ,且 为奇函数,所以 ,解得 .检验:当 时, ,对任意 ,都有 ,即 是奇函数,所以 .……3分
(2)由(1)可得 ,由 可得 ,因为 ,所以 ,解得 ,从而 在 单调递减, 在 单调递增,所以 在 单调递减. 由 可得 ,所以对任意 都有 恒成立,即 对任意 恒成立,所以 ,解得 .……7分
(3)
由 可得 ,即 ,因为 ,所以 .……8分
所以 ,易知 在 单调递增.
令 ,则 ,再令 ,则
因为 , , ,所以 .因为 在 有意义,所以对任意 ,都有 恒成立,所以 ,即 ,所以 ,所以 .……8分
二次函数 图像开口向上,对称轴为直线 ,因为 ,所以 ,对称轴始终在区间 的左侧.所以 在区间 单调递增,当 时, , 时, ……10分

假设存在满足条件的实数 ,则:
若 ,则 为减函数, ,即 ,所以 ,舍去;
若 ,则 为增函数, ,即 ,所以 ,舍去.
综上所述,不存在满足条件的实数 .……12分


 

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