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高一数学必修一第三章指数函数和对数函数练习题(带答案和解释)

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一、选择题
1.下列函数:①y=3x2(x∈N+);②y=5x(x∈N+);③y=3x+1(x∈N+);④y=3×2x(x∈N+),其中正整数指数函数的个数为(  )
A.0    B.1    C.2    D.3
【解析】 由正整数指数函数的定义知,只有②中的函数是正整数指数函数.
【答案】 B
2.函数f(x)=(14)x,x∈N+,则f(2)等于(  )
A.2   B.8 
C.16   D.116
【解析】 ∵f(x)=(14x)x∈N+,
∴f(2)=(14)2=116.
【答案】 D
3.(2013•阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4),则它的解析式为(  )
A.y=(-2)x   B.y=2x
C.y=(12)x   D.y=(-12)x
【解析】 设y=ax(a>0且a≠1),
由4=a2得a=2.
【答案】 B
4.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数,则a的取值范围是(  )
A.a<0   B.-1<a<0
C.0<a<1   D.a<-1
【解析】 ∵函数f(x)=(a+1)x是正整数指数函数,且f(x)为减函数,
∴0<a+1<1,
∴-1<a<0.
【答案】 B
5.由于生产电脑的成本不断降低,若每年电脑价格降低13,设现在的电脑价格为8 100元,则3年后的价格可降为(  )
A.2 400元   B.2 700元
C.3 000元   D.3 600元
【解析】 1年后价格为
8 100×(1-13)=8 100×23=5 400(元),
2年后价格为
5 400×(1-13)=5 400×23=3 600(元),
3年后价格为
3 600×(1-13)=3 600×23=2 400(元).
【答案】 A
二、填空题
6.已知正整数指数函数y=(m2+m+1)(15)x(x∈N+),则m=______.
【解析】 由题意得m2+m+1=1,
解得m=0或m=-1,
所以m的值是0或-1.
【答案】 0或-1
7.比较下列数值的大小:
(1)(2)3________(2)5;
(2)(23)2________(23)4.
【解析】 由正整数指数函数的单调性知,
(2)3<(2)5,(23)2>(23)4.
【答案】 (1)< (2)>
8.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨,由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2020年的垃圾量为________吨.
【解析】 由题意知,下一年的垃圾量为a×(1+b),从2012年到2020年共经过了8年,故2020年的垃圾量为a×(1+b)8.
【答案】 a×(1+b) a×(1+b)8
三、解答题
9.已知正整数指数函数f(x)=(3m2-7m+3)mx,x∈N+是减函数,求实数m的值.
【解】 由题意,得3m2-7m+3=1,解得m=13或m=2,又f(x)是减函数,则0<m<1,所以m=13.
10.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27),
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(5);
(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因.
【解】 (1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因为函数f(x)的图像经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+).
(2)f(5)=35=243.
(3)∵f(x)的定义域为N+,且在定义域上单调递增,
∴f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)无最大值.
11.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t).
(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;
(2)在坐标系中画出y=f(t)(0≤t<6)的图像;
(3)写出研究进行到n小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总个数(用关于n的式子表示).
【解】 (1)y=f(t)的定义域为{t|t≥0},值域为{y|y=2m,m∈N+)};
 
(2)0≤t<6时,f(t)为一分段函数,
y=2,0≤t<2,4,2≤t<4,8,4≤t<6.
图像如图所示.
(3)n为偶数且n≥0时,y=2n2+1;
n为奇数且n≥0时,y=2n-12+1.
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