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2012届高考数学数列的通项与求和第一轮复习单元训练题(有答案)

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课时训练19数列的通项与求和
【说明】本试卷满分100分,考试时间90分钟.
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10等于()
A.171B.21C.10D.161
【答案】D
【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.
2.数列{an}的通项公式是an= ,若前n项和为10,则项数n为()
A.11B.99C.120D.121
【答案】C
【解析】因an= ,
故Sn=( -1)+( - )+…+( )= -1,
由Sn=10,故n=120.
3.数列{an}的通项公式为an=4n-1,令bn= ,则数列{bn}的前n项和为()
A.n2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)
【答案】B
【解析】∵an=4n-1,∴数列{an}是等差数列,且a1=4-1=3,
∴bn= =2n+1.
显然数列{bn}是等差数列,且b1=2+1=3,
它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn= =n(n+2).
4.数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项和等于()
A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n•2n
【答案】C
【解析】令n=1,排除A、D,又令n=2,排除B.选C.
5.数列1, , , ,…, 的前n项和等于()
A.Sn=3- - B.Sn=3- -1-
C.Sn=3- - D.Sn=3-n2n-
【答案】A
【解析】令Sn=1+ + +…+ ,①
则 Sn= + +…+ .②
①-②得
∴ Sn=1+ +…+
=1+
= .
∴Sn=3- - ,故选A.
或者用特殊法.
6.Sn=1+ +…+ 等于()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】an= ,
∴Sn=2[(1- )+( - )+…+( )]
=2(1- )
= .
7.(2010全国大联考,10)已知数列{an}满足an= 则{an}的前?2k-1项的和为()
A.k2-k+1- B.k2+k+1-
C. D.
【答案】A
【解析】取k=1,S1= ,排除B、C;取k=2,S3= ,排除D。
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_________________.
【答案】-76
【解析】S15=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,
同理可得:S22=-44,S31=61,
∴S15+S22-S31=-76.
9.(2010湖北八校模拟,14)数列{an}中,Sn是前n项和,若a1=1,an+1= Sn(n≥1),则an=__________.
【答案】an=
【解析】∵an+1= Sn,①
∴an= Sn-1.②
①-②得an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴当n≥2时,an= ×( )n-2.
∴an=
10.数列{an}满足a1= ,a1+a2+…+an=n2an,则an=_______________.
【答案】 (n∈N*)
【解析】∵a1+a2+…+an=n2an①
∴a1+a2+…+an+an+1=(n+1)2•an+1.②
②-①得
∴an+1=(n+1)2an+1-n2an, .
∴an=a1• •…• .
三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.求a+2a2+3a3+…+nan.
【解析】设S=a+2a2+3a3+…+nan.
若a=0,则S=0;
若a=1,则S= ;
若a≠0,且a≠1,则S=a+2a2+3a3+…+nan,①
aS=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②
①-②得
(1-a)S=a+a2+…+an-nan+1
= -nan+1.
∴S= .
12.(2010湖北黄冈中学模拟,17)已知等比数列{an}中,a1=64,公比q≠1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项,第3项,第1项.
(1)求an;
(2)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和Tn.
【解析】(1)依题意有a2-a4=3(a3-a4),
即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0,
即2q2-3q+1=0.∵q≠1,∴q= .
故an=64×( )n-1,
(2)bn=log2[64×( )n-1]=log227-n=7-n,
∴|bn|=
n≤7时,Tn= ;n>7时,
Tn=T7+
=21+ ,
故Tn=
13.(2010中科大附中模拟,19)等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5=a52;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn= ,求数列{bn}的前99项的和.
【解析】(1)设数列{an}公差为d(d>0),
∵a1,a3,a9成等比数列,
∴a32=a1a9,
(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d.①
∵d≠0,∴a1=d.
∵Sn=a52,
∴5a1+ •d=(a1+4d)2.②
由①②得:
a1= d= ,
∴an= +(n-1)× = n.
bn= .
∴b1+b2+b3+…+b99
= [99+(1- )+( - )+…+( )]
= (100- )= .
14.设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,
(1)求数列{an}的首项与递推关系式an+1=f(an);
(2)先阅读下面定理,若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数,且A≠1,B≠0,则数列{an- }是以A为公比的等比数列,请你在第(1)题的基础上应用本定理,求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)∵Sn=2an-3n,
∴Sn+1=2an+1-3(n+1).
∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.
故an+1=f(an)=2an+3.
(2)∵an+1+3=2(an+3),
∴{an+3}为等比数列,首项为a1+3=6,公比为2,故an+3=6×2n-1=3×2n.
∴an=3×2n-3.
(3)Sn=a1+a2+a3+…+an
=3(2+22+…+2n)-3n
=3×2n+1-6-3n.
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