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高考数学二轮复习解答题专项练:解析几何(含答案)

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高考数学二轮复习解答题专项练:解析几何(含答案)4.解析几何1.如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.解 (1)由e==,得a∶b∶c=2∶1∶,椭圆C的方程为+=1.把P(2,-1)代入,得b2=2,所以椭圆C的方程是+=1.(2)由已知得PA,PB的斜率存在,且互为相反数.设直线PA的方程为y+1=k(x-2),其中k≠0.由消去y,得x2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0,因为该方程的两根为2,xA,所以2xA=,即xA=,从而yA=.把k换成-k,得xB=,yB=.故kAB===-,是定值.2.已知椭圆C:+=1(ab0)的短轴长为2,且离心率e=.7(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在定圆E,使得过圆E上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2与椭圆C都只有一个公共点?若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)由椭圆C:+=1(ab0)的离心率为得,a=c,又短轴长为2,所以2b=2,b=.又b2+c2=a2,得a=,b=c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设满足条件的圆E存在,则可设P(x0,x0)是圆E上的任意一点,当过P的直线l的斜率为k时,其方程为y=k(x-x0)+y0,代入+=1,得+=1.即(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-6=0.①若直线l与椭圆C的公共点只有一个,则①中判别式Δ=0,即16k2(y0-kx0)2-8(1+2k2)[(y0-kx0)2-3]=0.整理得关于k的方程(6-x)k2+2x0y0k-y+3=0,②要使过圆E上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,则方程②必须有两根,且两根之积为-1,故=-1,即x+y=9,满足②中的判别式Δ0.又对于点(,),(-,),(,-),(-,-),直线l1,l2中有一条的斜率不存在,另一条的斜率为0,显然成立,故满足条件的圆E存在,方程为x2+y2=9.3.已知中心在坐标原点的椭圆E的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且=λ,若λ∈[-2,-1],以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC的长度的最小值.解 (1)设椭圆E的标准方程为+=1(ab0),易知c=1.7因为椭圆E过定点M,所以+=1,结合c2=a2-b2可得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)由题意可设l:x=ky+1,由得(k2+2)y2+2ky-1=0,则Δ=4k2+4(k2+2)=8(k2+1)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为y1,2==,所以由①2÷②得++2=⇒λ++2=-,由λ∈[-2,-1]得-≤λ++2≤0⇒-≤≤0,解得0≤k2≤.=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),+=(x1+x2-4,y1+y2),x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-,QC2=|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=+=16-+.令t=,则t∈,QC2=8t2-28t+16=82-.所以当t=时,(QC)min=2.4.已知A,F分别是椭圆C:+=1(ab0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,AF=2PF.(1)求椭圆C的离心率;(2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积;(3)记圆O:x2+y2=为椭圆C的“关联圆”.若b=,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证:+为定值.(1)解 由PF⊥x轴,知xP=c,代入椭圆C的方程,得+=1,解得yP=±.7又AF=2PF,所以a+c=,所以a2+ac=2b2,即a2-2c2-ac=0,所以2e2+e-1=0,由0e1,解得e=.(2)解 因为四边形AOPQ是平行四边形,所以PQ=a且PQ∥x轴,所以xP=,代入椭圆C的方程,解得yP=±b,因为点P在第一象限,所以yP=b,同理可得xQ=-,yQ=b,所以kAPkOQ=·=-,由(1)知e==,得=,所以kAPkOQ=-.(3)证明 由(1)知e==,又b=,解得a=2,所以椭圆C的方程为+=1,圆O的方程为x2+y2=.①连结OM,ON(图略),由题意可知,OM⊥PM,ON⊥PN,所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆,设P(x0,y0),则四边形OMPN的外接圆方程为2+2=(x+y),即x2-xx0+y2-yy0=0.②①-②,得直线MN的方程为xx0+yy0=,令y=0,则m=,令x=0,则n=.所以+=49,因为点P在椭圆C上,7所以+=1,所以+=49(为定值).5.如图,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为椭圆C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径,在y轴上截距为3-的直线l与AF平行且与圆C2相切.(1)求椭圆C1的离心率;(2)若椭圆C1的短轴长为8,求·的最大值.解 (1)由题意得F(c,0),A(0,b),则kAF=-.因为在y轴上截距为3-的直线l与AF平行,所以直线l:y=-x+3-,即bx+cy+(-3)c=0.因为圆C2的圆心C2(0,3),半径r=1,且直线l与圆C2相切,所以=1,即=1,所以e=.(2)因为椭圆C1的短轴长为8,所以2b=8,即b=4.因为a2=b2+c2,e=,所以a=c,2c2=b2+c2.所以c=b=4,a=4,所以椭圆方程为+=1.设P(x,y),则·=(+)·(+)=2+·(+)+·=2+·=x2+(y-3)2-1=32+(y-3)2-17=-y2-6y+40=-(y+3)2+49,又y∈[-4,4],所以当y=-3时,·的最大值为49.6.已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点),过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q,交L于点Q,且OQ=2(O为坐标原点),椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:x=my+4(m∈R)与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A′,直线A′B交x轴于点D,求当△ADB的面积最大时,直线l的方程.解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab=4,得ab=2.延长F2Q交直线F1P于点R,因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线,所以PF2=PR,Q为F2R的中点,所以OQ====a,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)联立消去x,得(3m2+4)y2+24my+36=0,①所以Δ=(24m)2-4×36×(3m2+4)=144(m2-4)0,即m24.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(x1,-y1),解①得y1,2=,则y1+y2=,y1y2=,直线A′B的斜率k==,所以直线A′B的方程为y+y1=(x-x1),令y=0,得xD===+4,故xD=1,所以点D到直线l的距离d=,所以S△ADB=AB·d=d·7=|y1-y2|=18·.令t=(t0),则S△ADB=18·=≤=,当且仅当3t=,即t2==m2-4,即m2=4,m=±时,△ADB的面积最大,所以直线l的方程为3x+2y-12=0或3x-2y-12=0.7

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