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www.ks5u.com授课提示:对应学生用书第321页[A组 基础保分练]1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是(  )A.相交      B.相切C.相离D.都有可能答案:A2.(2021·六安模拟)已知过原点的直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点坐标为D(2,),则弦长为(  )A.2B.3C.4D.5答案:A3.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为(  )A.B.C.D.0解析:如图,圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为C(1,1),半径为1,两切点分别为A,B,连接AC,PC,则|CP|=,|AC|=1,sinθ=,所以cos∠APB=cos2θ=1-2sin2θ=.答案:B4.(多选题)(2021·山东模拟)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线的方程为(  )A.x=-2B.x=2C.4x-3y+4=0D.4x+3y-4=0解析:根据题意,圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径r=1.过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x=2,符合题意;若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k,则其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,则有=1,解得k=,则切线的方程为4x-3y+4=0.综上可得,切线的方程为x=2或4x-3y+4=0.答案:BC5.(2021·衡水一中模考)圆C1:(x+1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-2)2=4的公切线的条数是(  )A.1B.2C.3D.4答案:C6.(2021·浙江名校联考)已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A点为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则点A的纵坐标可以是(  )A.1B.-3C.5D.-7解析:设A(0,b),则圆A与圆C的圆心距d=.因为以A点为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点,所以3-1≤d≤3+1,即2≤≤4,解得-≤b≤,观察各选项知选A.答案:A7.若直线过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为________.答案:x=-3或3x+4y+15=08.(2021·珠海六校联考)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则圆C的面积为________.解析:圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0可化为(x-a)2+(y-1)2=a2-1,因为直线y=ax和圆C相交,△ABC为等边三角形,所以圆心C到直线ax-y=0的距离为·,即d==,解得a2=7,所以圆C的面积为6π.答案:6π9.已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.解析:(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)由题意知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=(|AM|·|PA|+|BM|·|PB|).又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,所以S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min=3,所以四边形PAMB面积的最小值为2=2.10.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切.(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1k2=-3,试证明直线BC恒过一点,并求出该点的坐标.解析:(1)由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d==3=r,所以圆O:x2+y2=9.又圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1==,所以|MN|=2=4.(2)证明:易知A(-3,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB:y=k1(x+3),由得(k+1)x2+6kx+9k-9=0,所以-3x1=,即x1=,所以y1=k1(x1+3)=,所以B.同理C.由k1k2=-3得k2=-,将-代替k2,可得C.当≠,即k1≠±时,kBC==,k1≠±.从而直线BC:y-=.即y=,化简得y=.所以直线BC恒过一点,该点为.当k1=±时,k2=∓,此时xB=-=xC,所以直线BC的方程为x=-,过点.综上,直线BC恒过定点.[B组 能力提升练]1.若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是(  )A.x=0B.y=1C.x+y-1=0D.x-y+1=0答案:D2.(2021·福州适应性练习)若在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(  )A.5B.10C.15D.20答案:B3.(多选题)(2021·山东德州期末)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是(  )A.(0,)B.(1,-1)C.(,0)D.(-1,1)解析:原点O到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值.连接OP,OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=,设点A的坐标为(t,-t),由两点间的距离公式得|OA|==,整理得2t2-2t=0,解得t=0或t=,因此,点A的坐标为(0,)或(,0).答案:AC4.(2021·烟台调研)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围为(  )A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]解析:根据题意得,A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d==2,圆的半径为,设点P到直线x+y+2=0的距离为d′,则≤d′≤3,所以×2×≤S△ABP≤×2×3,即2≤S△ABP≤6.答案:A5.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=________.答案:66.(2021·江苏检测)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是________.解析:圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C1(1,-1),半径为1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C2(4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是(|PC2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4,设C2(4,5)关于x轴的对称点为C′2(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC′2|-|PC1|≤|C1C′2|==5,故|PC2|-|PC1|+4的最大值为5+4=9,即|PN|-|PM|的最大值是9.答案:97.已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.解析:(1)四边形OACB为菱形,证明如下:易得OC的中点为,设A(x1,y1),B(x2,y2),易得OC的垂直平分线的方程为y=-2x+,代入x2+y2=9,得5x2-10x-=0,∴=1,=-2×1+=,∴AB的中点为,则四边形OACB为平行四边形,又OC⊥AB,∴四边形OACB为菱形.(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,),(2,-),∴S△OPQ=×2×2=2.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,则圆心O到直线l的距离d=.由平面几何知识得|PQ|=2,∴S△OPQ=×|PQ|×d=×2×d=≤=.当且仅当9-d2=d2,即d2=时,S△OPQ取得最大值为.∵2<,∴S△OPQ的最大值为,此时,令=,解得k=-7或k=-1.故直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0.[C组 创新应用练]1.已知直线l:x+y-1=0截圆Ω:x2+y2=r2(r>0)所得的弦长为,点M,N在圆Ω上,且直线l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为(  )A.[2-,2+]B.[2-,2+]C.[-,+]D.[-,+]解析:由题意,2=,解得r=2,因为直线l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,故P(1,1),设MN的中点为Q(x,y),则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得2+2=,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为,|MN|的取值范围为[-,+].答案:D2.已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,且有|PM|=|PO|(O为坐标原点),则当|PM|取得最小值时点P的坐标为________.解析:如图所示,圆C的圆心为C(-1,2),半径r=,因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x+y+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时点P即为两直线的交点,由得故当|PM|取得最小值时,点P的坐标为.答案:

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