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第十一章概 率第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差练好题﹒考点自测1.[2020全国卷Ⅲ,5分]在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为 p1,p2,p3,p4,且=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 (  )A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.22.[2020菏泽联考]一盒中有 12个乒乓球,其中 9个新球、3个旧球,从盒中任取 3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数 X是一个随机变量,则 P(X=4)的值为 (  )A. B. C. D.3.[2019浙江,4分]设 0a1.随机变量 X的分布列是X 0 a 1P则当 a在(0,1)内增大时, (  )A.D(X)增大 B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大4.[2021广东模拟]设某项试验的成功率为失败率的 2倍,用随机变量 X去描述 1次试验的成功次数,则 P(X=0)的值为 (  )A.1 B. C. D.5.[2020浙江重点高中联考]已知 0a1,随机变量 X的分布列如下:X -1 0 1P (1-a)22a(1-a)a2若 E(X)=D(X),则实数 a的值为 (  )A. B. C. D.6.[多选题]下列结论正确的选项是 (  )A.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的B.随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量C.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小D.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事7.[递进型]已知离散型随机变量ξ~B(5,p),且 E(ξ)=2,则 D(ξ)=    ;若η= ξ+1,则D(η)=    . 8.[2020浙江,6分]盒中有 4个球,其中 1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取 1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=    ,E(ξ)=    . 拓展变式1.[2021河南省名校第一次联考]某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个乒乓球,球上分别标 0,1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回依次取出三个球.规定:每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项:三个数字全部相同中一等奖,奖励 10 000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,奖励 5 000元现金;三个数字各不相同中三等奖,奖励 2 000元现金.其他不中奖,没有奖金.(1)求员工 A中二等奖的概率;(2)设员工 A中奖奖金为 X,求 X的分布列;(3)员工 B是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工 B中奖奖金的期望.2.[2020模拟]某中学用简单随机抽样的方法抽取了 100名同学,对其社会实践次数进行调查,结果如下.社会实践次数[0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15) [15,18]男同学人数 7 15 11 12 2 1女同学人数 5 13 20 9 3 2将社会实践次数不低于 12次的学生称为“社会实践标兵”.(1)将频率视为概率,估计该校 1 600名学生中“社会实践标兵”有多少人.(2)从已抽取的“社会实践标兵”中随机抽取 4名同学参加社会实践表彰活动.(i)设事件 A为“抽取的 4名同学中既有男同学又有女同学”,求事件 A发生的概率;(ii)用 X表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数,求随机变量 X的分布列和数学期望.3.[2021福建省五校第二次联考]某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕,这两天是否有雨相互独立,无雨的概率都为 0.8.现有两种方案可以选择,方案一:基地人员自己采摘,不额外聘请工人,需要两天完成,两天都无雨收益为 2万元,只有一天有雨收益为 1万元,两天都有雨收益为 0.75万元. 方案二:基地额外聘请工人,只要一天就可以完成采摘,当天无雨收益为 2万元,有雨收益为 1万元,额外聘请工人的成本为 a万元.(1)若不额外聘请工人,写出基地收益 X的分布列及基地的预期收益.(2)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.答 案第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.B 对于 A,当 p1=p4=0.1,p2=p3=0.4时,随机变量 XA的分布列为XA 1 2 3 4P 0.1 0.4 0.4 0.1E(XA)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(XA)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以 = .对于B,C,D,同理可得 = , = , = ,所以 B中的标准差最大.2.C 当 X=4时,表示从盒中取出的 3个球中有 2个旧球,1个新球,故 P(X=4)= = .故选 C.3.D  由分布列得 E(X)= .解法一 D(X)=( -0)2× +( -a)2× +( -1)2× = (a- )2+ ,所以当 a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选 D.解法二 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+ + - = = [(a- )2+ ],所以当 a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选 D.4.C 设该项试验失败的概率为 p,则成功的概率为 2p,所以 X的分布列为X 0 1P p 2p由 p+2p=1,得 p= ,即 P(X=0)= .故选 C.5.D 解法一 由随机变量 X的分布列及数学期望和方差的计算公式知 ,E(X)=-(1-a)2+a2=2a-1,D(X)=(-1-2a+1)2(1-a)2+(-2a+1)2×2a(1-a)+(1-2a+1)2a2=2a(1-a).因为 E(X)=D(X),所以 2a-1=2a(1-a),得 a= ,故选 D.解法二 令 Y=X+1,则 X=Y-1,随机变量 Y的分布列为Y 0 1 2P (1-a)2 2a(1-a) a2由二项分布的有关知识知,Y~B(2,a),所以 E(Y)=2a,D(Y)=2a(1-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-1=2a-1,D(X)=D(Y-1)=D(Y)=2a(1-a).又 E(X)=D(X),所以 2a-1=2a(1-a),得 a= ,故选 D.6.ABC 由离散型随机变量的分布列的特点可知 A正确;由均值和方差的含义可知 BC正确;均值反映的是一组数据的整体水平,而方差反映的是一组数据的离散程度,故 D错误.故选 ABC.7.    因为ξ~B(5,p),E(ξ)=2,所以 5p=2,解得 p= ,所以 D(ξ)=5p(1-p)=5× ×(1- )= .又η= ξ+1,所以 D(η)=D( ξ+1)= D(ξ)= .8.  1 ξ=0 表示停止取球时没有取到黄球,所以 P(ξ=0)= + × = .随机变量ξ的所有可能取值为 0,1,2,则P(ξ=1)= × + × × + × × = ,P(ξ=2)= × × + × × + × × + × × = ,所以 E(ξ)=0× +1× +2× =1.1.(1)记事件“员工 A中二等奖”为 M,有放回,依次取三个球的取法有 103种.中二等奖取法有两类:一类是前两次取到同一数字,从 10个数字中取出 2个,较大的数是前两次取出的数,较小的数是第 3次取出的数,取法数为 =45;另一类是后两次取到同一数字,取法数同样是=45.共 90种取法,则 P(M)= =0.09.(2)X的可能取值为 0,2 000,5 000,10 000.P(X=2 000)= =0.12;P(X=5 000)= =0.09;P(X=10 000)= =0.01;P(X=0)=1-P(X=2 000)-P(X=5 000)-P(X=10 000)=0.78.则 X的分布列为X 10 000 5 000 2 000 0P 0.01 0.09 0.12 0.78(3)由(2)可知 A中奖奖金的期望 E(X)=10 000×0.01+5 000×0.09+2 000×0.12+0×0.78=790(元)(先求抽一次奖的奖金期望,再乘以 2即为抽二次奖的奖金期望).员工 B每次中奖奖金的期望和 A一样,由题意可知员工 B中奖奖金的期望是 1 580元.2.(1)样本中社会实践次数不低于 12次的学生有 2+1+3+2=8(人),所以该校 1 600名学生中“社会实践标兵”约有 1 600× =128(人).(2)由(1)知样本中有 8名“社会实践标兵”,其中男同学 3人,女同学 5人.(i)记

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