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第九章 平面解析几何第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系练好题﹒考点自测1.[2021安徽省四校联考]直线 2x·sin θ+y=0被圆 x2+y2-2 y+2=0截得的最大弦长为 (  )A.2 B.2 C.3 D.22.[2020北京,5分]已知半径为 1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 (  )A.4 B.5 C.6 D.73.[2020全国卷Ⅲ,5分]若直线 l与曲线 y= 和圆 x2+y2= 都相切,则 l的方程为 (  )A.y=2x+1 B.y=2x+C.y= x+1 D.y= x+4.[2021 吉林省高三联考]已知圆 C:x2+y2=r2(r0),设 p:r≥ ;q:圆 C 上至少有 3 个点到直线x+y-2=0的距离为 ,则 p是 q的 (  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.[2018 全国卷Ⅲ,5 分]直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 (  )A.[2,6] B.[4,8]C.[ ,3 ] D.[2 ,3 ]6.[2020 全国卷Ⅰ,5 分]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线 l:2x+y+2=0,P 为 l 上的动点.过点 P作☉M的切线 PA,PB,切点为 A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线 AB的方程为 (  )A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=07.[2016 全国卷Ⅲ,5 分]已知直线 l:mx+y+3m- =0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l的垂线与 x轴交于 C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|=    . 8.[2019 北京,5 分]设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.则以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为       . 9.[2019 浙江,6 分]已知圆 C 的圆心坐标是(0,m),半径长是 r.若直线 2x-y+3=0 与圆 C 相切于点 A(-2,-1),则 m=    ,r=    . 拓展变式1.[2017 全国卷Ⅲ,12 分]已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O在圆 M上.(2)设圆 M过点 P(4,-2),求直线 l与圆 M的方程.2.[2020 武汉部分重点中学 5 月联考]已知圆 C1:(x-1)2+(y-3)2=9 和 C2:x2+(y-2)2=1,若 M,N分别是圆 C1,C2 上的点 ,P 是抛物线 x2=4y 的准线上的一点 ,则 |PM|+|PN|的最小值是    . 3.[原创题]已知直线 l:x+2y-3=0 与圆 C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线 l 与圆 C 无公共点,则 m 的取值范围是 (  )A.(1,8)  B.(8, )  C.(1,37)  D.(8,+∞)4.[2021 广西模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,过圆 C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1 上任意一点 P 作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为 Q,则当|PQ|最小时,k=    . 5.[2017 全国卷Ⅲ,12 分]在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m变化时,解答下列问题:(1)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由.(2)证明过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.6.(1)[2020 武汉考前模拟]过点 D(1,-2)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则弦 AB所在直线的方程为 (  )A.2y-1=0 B.2y+1=0C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0(2)[2020河北模拟]已知圆 C:x2+y2-2x-4y+3=0.①若圆 C的一条切线在 x轴和 y轴上的截距相等,则此切线的方程为    ; ②从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为    . 7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点 M 与两定点 A,B 的距离之比为 λ(λ0,λ≠1),那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆O:x2+y2=1上的动点 M和定点 A(- ,0),B(1,1),则 2|MA|+|MB|的最小值为 (  )A.    B.    C.    D.答 案第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系1.D 根据题意,圆 x2+y2-2 y+2=0,即 x2+(y- )2=3,其圆心为(0, ),半径 r= ,圆心到直线2x·sin θ+y=0 的距离 d= = ≥ =1,当圆心到直线的距离最小时,直线 2x·sin θ+y=0 被圆 x2+y2-2 y+2=0 截得的弦长最大,而 d= 的最小值为 1,则直线 2x·sin θ+y=0被圆 x2+y2-2 y+2=0截得的最大弦长为 2× =2 ,故选 D.2.A   设 该 圆 的 圆 心 为 (a,b), 则 圆 的 方 程 为 (x-a)2+(y-b)2=1,∵ 该 圆 过 点(3,4),∴(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在以(3,4)为圆心,1 为半径的圆上,则点(a,b)到原点的最小值为 -1=4,故选 A.3.D 易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+b,则 =  ①,设直线 l 与曲线 y=的切点坐标为(x0, )(x00),则 y' = =k ②, =kx0+b ③,由②③可得 b= ,将 b=,k= 代入①得 x0=1或 x0=- (舍去),所以 k=b= ,故直线 l的方程为 y= x+ .4.C 圆 C的圆心为(0,0),其到直线 x+y-2=0的距离为 1.当 0r 时,圆上没有点到直线的距离为 ;当 r= 时,圆上有 1 个点到直线的距离为 ;当 r 时,圆上有 2 个点到直线的距离为 ;当 r= 时,圆上有 3 个点到直线的距离为 ;当 r 时,圆上有 4个点到直线的距离为 ;要使圆 C 上至少有 3 个点到直线 x+y-2=0 的距离为 ,则 r≥ ,所以 p是 q的充要条件,故选 C.5.A 圆心(2,0)到直线的距离 d= =2 ,所以点 P到直线的距离 d1∈[ ,3 ].根据直线的方程可知 A,B 两点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2 ,所以△ABP 的面积 S=|AB|·d1= d1.因为 d1∈[ ,3 ],所以 S∈[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].6.D 由☉M:x2+y2-2x-2y-2=0 ①,得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心 M(1,1).图 D 9-2-1如图 D 9-2-1,连接 AM,BM,易知 PM⊥AB,所以四边形 PAMB 的面积为 |PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形 PAMB 的面积最小,即只需△PAM 的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.因为|PA|= = ,所以只需直线 2x+y+2=0 上的动点 P 到 M 的距离最小,其最小值为 = ,此时 PM⊥l,易求出直线 PM的方程为 x-2y+1=0.由 得 所以 P(-1,0).因为∠PAM=∠PBM=90°,所以 A,B 在以 PM 为直径的圆上.所以此圆的方程为 x2+(y- )2=( )2,即 x2+y2-y-1=0 ②,由①-②得,直线 AB的方程为 2x+y+1=0,故选 D.7.4 设圆心到直线 l:mx+y+3m- =0 的距离为 d,则弦长|AB|=2 =2 ,解得 d=3,即 =3,解得 m=- ,则直线 l:x- y+6=0,数形结合可得|CD|= =4.8.(x-1)2+y2=4 因为抛物线的标准方程为 y2=4x,所以焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1.因为所求的圆以 F为圆心,且与准线 l相切,故圆的半径 r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.9.-2   解法一 设过点 A(-2,-1)且与直线 2x-y+3=0垂直的直线 l的方程为 x+2y+t=0,所以 -2-2+t=0, 所 以 t=4, 所 以 l 的 方 程 为 x+2y+4=0. 将 (0,m) 代 入 , 解 得 m=-2, 则 r== .解法二 因为直线 2x-y+3=0 与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为 A(-2,-1),所以×2=-1,所以 m=-2,r= = .1.(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.又 x1= ,x2= ,故 x1x2= =4.则 · =x1x2+y1y2=0,所以 OA⊥OB.又圆 M是以线段 AB为直径的圆,故坐标原点 O在圆 M上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M的坐标为(m2+2,m),圆 M的半径 r= .由于圆 M过点 P(4,-2),因此 · =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1或 m=- .当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 ,圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当 m=- 时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为( ,- ),圆 M 的半径为 ,圆 M 的方程为(x- )2+(y+ )2= .2.5 -4 依题意知,抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=-1,则圆 C1关于直线 y=-1 的对称圆的圆心为 C3(1,-5),半径为 3.圆 C2 的圆心为 (0,2),半径为 1,连接 C2C3,由图象可知 (图略 ),当 P,C2,C3 三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,其最小值为圆 C3 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径之和,即(|PM|+|PN|)min=|C2C3|-3-1= -4=5 -4.3.B 将圆 C的方程配方,得(x+ )2+(y-3)2= ,则有 0,解得 m .因为直线 l与圆 C无公共点,所以圆心(- ,3)到直线 x+2y-3=0 的距离大于半径,即 ,解得 m8.所以 m 的取值范围是(8, ).故选 B.4.2 由题意知,|C1C2|= = ≥2 2,所以圆 C1与圆 C2外离,示意图如图 D 9-2-2所示.因为 PQ为圆 C2的切线,所以 PQ⊥C2Q,由勾股定理,得|PQ|= ,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小.显然当点 P为 C1C2与圆 C1的交点时,|PC2|最小,此时|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|最小.易知当 k=2时,|C1C2|取最小值,即|PQ|最小. 图 D 9-2-25.(1)不能出现 AC⊥BC 的情况,理由如下:设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2是方程 x2+mx-2=0 的两根,所以 x1x2=-2,又点 C 的坐标为(0,1),则 · =(-x1,1)·(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-1≠0,所以不能出现 AC⊥BC 的情况.(2)解法一 由题意知,过 A,B,C三点的圆的圆心必在线段 AB的垂直平分线上.设圆心 E(x0,y0),则 x0= ,由(1)可得 x1+x2=-m,所以 x0=- .由|EA|=|EC|,得( -x1)2+ =( )2+(y0-1)2,化简得 y0= =- ,所以圆 E的方程为(x+ )2+(y+ )2=(- )2+(- -1)2.令 x=0,得 y1=1,y2=-2,所以过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 1-(-2)=3,即过 A,B,C 三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.解法二 设过 A,B,C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D,由 x1x2=-2 可知原点 O 在圆内,则由相交弦定理可得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2.又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.6.(1)B 解法一(常规解法) 由圆 C:(x-1)2+y2=1的方程可知其圆心为 C(1,0),半径为 1.连接 CD,以线段 CD为直径的圆的方程为(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.将两圆的方程相减,可得公共弦 AB所在直线的方程为 2y+1=0.故选 B.解法二(结论解法) 由与圆的切线有关的结论(详见主书 P192【思维拓展】(2))得弦 AB 所在直线的方程为(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即 2y+1=0.故选 B.(2)①( -2)x-y=0 或 ( +2)x+y=0 或 x+y-1=0 或 x+y-5=0   圆 C 的 方 程 可 化 为(x-1)2+(y-2)2=2,当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y=kx(k≠0),由直线与圆相切,得 = ,解得 k=-2± .所以切线方程为 y=(-2+ )x或 y=(-2- )x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x+y-a=0,由直线与圆相切,得 = ,解得 a=1或 a=5.所以切线方程为 x+y-1=0或 x+y-5=0.综上所述,所求的切线方程为(-2+ )x-y=0或(2+ )x+y=0或 x+y-1=0或 x+y-5=0.②  由|PM|=|PO|,得 + -2= + ,整理得 2x1+4y1-3=0,即点 P在直线 l:2x+4y-3=0上.又|PM|= ,所以要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值,记圆心 C(1,2)到直线l:2x+4y-3=0的距离为 d,可知 d≤|CP|,当且仅当 d=|CP|时,|CP|取得最小值.因为 d= = ,所以|PM|min= = = .7.C ①当点 M 在 x 轴上时,点 M 的坐标为(-1,0)或(1,0).若点 M 的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2× + =1+ ;若点 M的坐标为(1,0),则 2|MA|+|MB|=2× + =4.②当点 M 不在 x 轴上时,取点 K(-2,0),连接 OM,MK,因为|OM|=1,|OA|= ,|OK|=2,所以 ==2. 因 为 ∠MOK=∠AOM, 所 以 △MOK∽△AOM, 则 = =2, 所 以 |MK|=2|MA|, 则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|. 易知|MB|+|MK|≥|BK|, 可知 |MB|+|MK| 的最小值为 |BK|. 因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|= = .综上,易知 2|MA|+|MB|的最小值为 .故选 C.

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