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第五章 数 列第二讲 等差数列及其前 n项和练好题﹒考点自测1.[2018全国Ⅰ,5分]记 Sn为等差数列{an}的前 n项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5= (  )                  A.-12 B.-10C.10 D.122.[2020全国卷Ⅱ,5分]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9 块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块,向外每环依次也增加 9 块.已知每层环数相同,且下层比中层多 729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (  )A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块3.[2020 浙 江 ,4 分 ] 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 公 差 d≠0, 且 ≤1. 记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是 (  )A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6C. =a2a8 D. =b2b84.[2020北京,4分]在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记 Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} (  )A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项5.[多选题]下面结论正确的是 (  )A.若一个数列从第 2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2C.数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n的一次函数D.已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列6.[2020 山东,5 分]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为   . 7.[2019 北京,5 分]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a2=-3,S5=-10,则 a5=    ,Sn的最小值为   . 8.一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27,则该数列的公差 d= . 拓展变式1.[2020石家庄二检]已知数列{an}中,a1 =1,当 n≥2时,an-1-an=an-1·an.(1)求证:数列{ }是等差数列.(2)设 bn=a2n-1·a2n+1,数列{bn}的前 n项和为 Tn,求证:Tn .2.[2020 青岛市 5 月模拟 ][多选题 ]已知等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是 a3与 a9的等比中项,则下列选项正确的是 (  )A.a1=22B.d=-2C.当 n=10或 n=11时,Sn取得最大值D.当 Sn0时,n的最大值为 203.(1)[2021贵阳市摸底测试]等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 S17=51,则 2a10-a11= (  )A.2 B.3 C.4 D.6(2)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 m1,且 am-1+am+1- -1=0,S2m-1=39,则 m等于(  )A.39 B.20 C.19 D.10(3)等差数列{an},{bn}的前 n项和分别为 Sn,Tn,若 = ,则 =    . 4.[2018全国卷Ⅱ,12分]记 Sn为等差数列{an}的前 n项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn的最小值.答 案第二讲 等差数列及其前 n项和1.B 解法一 设等差数列{an}的公差为 d,∵3S3=S2+S4,∴3(3a1+ d)=2a1+d+4a1+ d,解得d=- a1.∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选 B.解法二 设等差数列{an}的公差为 d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3-a3+S3+a4,∴S3=a4-a3,∴3a1+ d=d,又 a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故选 B.2.C 由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},设数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,易知其首项 a1=9,d=9,所以 an=a1+(n-1)d=9n.由等差数列的 性 质 知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也 成 等 差 数 列 , 所 以 2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n, 所 以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn= -2× =9n2=729,得 n=9,所以三层共有扇面形石板的块数为 S3n= = =3 402,故选 C.3.D 由 bn+1=S2n+2-S2n,得 b2=a3+a4=2a1+5d,b4=a7+a8=2a1+13d,b6=a11+a12,b8=a15+a16=2a1+29d.由等差数列的性质易知 A 成立;若 2b4=b2+b6,则 2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2a7+2a8,故 B 成立;若=a2a8, 即 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 则 a1=d, 故 C 可能成立 ; 若 =b2b8, 即=(2a1+5d)(2a1+29d),则 = ,与已知矛盾,故 D不可能成立.4.B   设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为d,∵a1=-9,a5=-1,∴a5=-9+4d=-1,∴d=2,∴an=-9+(n-1)×2=2n-11. 令 an=2n-11≤0, 则n≤5.5.∴n≤5 时 ,an0;n≥6时,an0.∴T1=-90,T2=(-9)×(-7)=630,T3=(-9)×(-7)×(-5)=-3150,T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=9450,T5=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)=-9450, 当 n≥6 时 ,an0, 且an≥1,∴Tn+1Tn0,∴Tn=a1a2…an(n=1,2,…)有最大项 T4,无最小项,故选 B.5.BD 对于 A,若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列,故 A 错误;对于 B,由 2an+1=an+an+2得 an+1-an=an+2-an+1,故 B 正确;对于 C,数列{an}为等差数列的充分不必要条件是其通项公式为 n 的一次函数,故 C 错误;对于 D,由等差数列与一次函数的关系可得 D正确.故选 BD.6.3n2-2n   设 bn=2n-1,cn=3n-2,bn=cm, 则 2n-1=3m-2, 得 n= = = +1, 于 是m-1=2k,k∈N,所以 m=2k+1,k∈N,则 ak=3(2k+1)-2=6k+1,k∈N,得 an=6n-5,n∈N*.故 Sn=×n=3n2-2n.7.0   -10   设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d,∵ 即 可 得∴a5=a1+4d=0.∵Sn=na1+ d= (n2-9n),∴当 n=4或 n=5时,Sn取得最小值,最小值为-10.8.5 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇,偶数项的和为 S 偶,等差数列的公差为 d.由已知条件,得 解得 又 S 偶-S 奇=6d,所以 d= =5.1.(1)当 n≥2时,an-1-an=an-1·an, 两边同时除以 an-1·an,得 - =1,由 a1=1,得 =1,故数列{ }是以 1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知 an= ,所以 bn= · = = ( - ),所以 Tn= [(1- )+( - )+…+( - )]= (1- ).因为 0,所以 Tn .2.BCD 因为{an}是等差数列,S6=90,a7是 a3与 a9的等比中项,所以解得 故 A 错误,B 正确,数列{an}的前 n 项和 Sn=20n+ ×(-2)=-n2+21n=-(n- )2+ ,所以当 n=10 或 n=11 时 Sn 取得最大值 110,C 正确,当 Sn0,即-n2+21n0 时,解得 0n21,又n∈N*,故 n的最大值为 20,D正确.故选 BCD.3.(1)B   解 法 一   ∵S17=51,∴ =51, 可 得 a1+a17=6=2a9, 解 得a9=3,∴2a10-a11=a9+a11-a11=a9=3.故选 B.解法二 由 S17=17a9=51,得 a9=3,则 2a10-a11=a9+a11-a11=a9=3.故选 B.(2)B 数列{an}为等差数列,则 am-1+am+1=2am,则 am-1+am+1- -1=0 可化为 2am- -1=0,解得 am=1.又 S2m-1=(2m-1)am=39,则 m=20.故选 B.(3)  由等差数列前 n项和的性质得 = = = .4.(1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15.由 a1=-7得 d=2.所以{an}的通项公式为 an=2n-9.(2)由(1)得 Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

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