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第一章集合、常用逻辑用语与不等式第三讲 不等关系与一元二次不等式1.下列结论中,正确的个数为 (  )①两个实数 a,b之间,有且只有 ab,a=b,ab三种关系中的一种;②若 1,则 ab;③一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数,不等号方向不变;④一个非零实数越大,则其倒数就越小;⑤ab0,cd0⇒ ;⑥ab0且 ab⇒ .                 A.2 B.3 C.4 D.52.[2019 全国卷Ⅱ,5 分 ]设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x+1)=2f(x),且当 x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意 x∈(-∞,m],都有 f(x)≥- ,则 m的取值范围是 (  )A.(-∞, ] B.(-∞, ]C.(-∞, ] D.(-∞, ]3.[多选题]下列说法中,正确的是 (  )A.若不等式 ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有 a0B.若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c0的解集为 RC.不等式 ax2+bx+c≤0在 R上恒成立的条件是 a0且Δ=b2-4ac≤0D.(x+1) ≥0的解集为[1,+∞)4.[2019天津,5分]设 x∈R,使不等式 3x2+x-20成立的 x的取值范围为    . 5.[2019北京,5分]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 80%.①当 x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒,需要支付    元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为    . 拓展变式1.[2016北京,5分]已知 x,y∈R,且 xy0,则(  )A. - 0 B.sinx-sin y0C.( )x-( )y0D.lnx+lny02.(1)不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集是 (  )A.{x|x≤-1或 x≥ } B.{x|-1≤x≤ }C.{x|x≤- 或 x≥1} D.{x|- ≤x≤1}(2)已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是[- ,- ],则不等式 x2-bx-a0的解集为    . 3.已知关于 x的不等式 2x-1m(x2-1).(1)    实数 m,使不等式对任意 x∈R恒成立(填存在、不存在); (2)若对于 m∈[-2,2],不等式恒成立,则实数 x的取值范围为    ; (3)若对于 x∈(1,+∞),不等式恒成立,则实数 m的取值范围为    . 答 案第三讲 不等关系与一元二次不等式1.B 由不等关系及不等式的性质可知①⑤⑥正确.对于②,当 a=-2,b=-1 时,ab,故②错误;对于③,当不等式的两边同时乘以同一个负数时,不等号的方向改变,故③错误;对于④,如2-2, - ,故④错误.故选 B.2.B  当 -1x≤0 时 ,0x+1≤1, 则 f(x)= f(x+1)= (x+1)x; 当 1x≤2 时 ,0x-1≤1, 则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2); 当 2x≤3 时 ,0x-2≤1, 则f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=22(x-2)(x-3);…….由此可得 f(x)=据此作出函数 f(x)的图象,如图 D 1-3-1 所示.可知当 2x≤3 时,令 22(x-2)(x-3)=- ,整理得(3x-7)(3x-8)=0,解得 x= 或 x= ,将这两个值标注在图中.要使对任意 x∈(-∞,m],都有f(x)≥- ,则必有 m≤ ,即实数 m的取值范围是(-∞, ],故选 B.图 D 1-3-13.AD 对于 A,由三个“二次”间的关系可知 A正确;对于 B,当 a0时,不等式 ax2+bx+c0的解集为∅,故 B 错误;对于 C,当 a=b=c=0 时也满足不等式在 R 上恒成立,故 C 错误;对于 D,解不等式可知 D正确.故选 AD.4.(-1, ) 3x2+x-20即(3x-2)(x+1)0,所以-1x .5.①130 顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,总价为 60+80=140(元),又 140120,所以优惠 10元,顾客实际需要付款 130元.②15 设顾客一次购买的水果总价为 m 元.由题意易知,当 0m120 时,x=0,当 m≥120时,(m-x)×80%≥m×70%,得 x≤ 对任意 m≥120 恒成立.又 ≥15,所以 x的最大值为 15.1.C 解法一(特殊值法) 由题意知,xy0,对于选项 A,取 x=1,y= ,则 - =1-2=-10,排除 A;对于选项 B,取 x=π,y= ,则 sin x-sin y=sin π-sin =-10,排除 B;对于选项 D,取 x=2,y= ,则lnx+lny=ln (xy)=ln 1=0,排除 D.选 C.解法二(单调性法) 因为函数 y=( )x在 R上单调递减,且 xy0,所以( )x( )y,即( )x-( )y0.2.(1)D 不等式(x+5)(3-2x)≥6 可化为 2x2+7x-9≤0,所以(2x+9)(x-1)≤0,解得- ≤x≤1.所以不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集是{x|- ≤x≤1}.故选 D.(2)(2,3) 由题意知- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的两根,所以由根与系数的关系得解得 不等式 x2-bx-a0即 x2-5x+60,解集为(2,3).3.(1)不存在 原不等式等价于 mx2-2x+(1-m)0,当 m=0时,-2x+10不恒成立;当 m≠0时,若 mx2-2x+(1-m)0对于任意 x∈R恒成立,则 m0且Δ=4-4m(1-m)0,解得 m∈⌀.综上,不存在实数 m,使不等式恒成立.(2)( , ) 设 f(m)=(x2-1)m-(2x-1),当 m∈[-2,2]时,f(m)0恒成立.而 f(m)在 m∈[-2,2]时表示线段,故 f(m)0在[-2,2]上恒成立⇔ ⇔由①得 x .由②得 x 或 x .所以 x的取值范围是( , ).(3)(-∞,0] 因为 x1,所以 m .令 2x-1=t(t1),则 x2-1= ,所以 m = .设 g(t)=t- +2,t∈(1,+∞),显然 g(t)在(1,+∞)上为增函数,所以 g(t)0,所以 m≤0.

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