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黑龙江省大庆市2021届高三数学(文)一模试题(Word版附答案)

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大庆市高三年级第一次教学质量检测试题文科数学 2021.01注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每道小题答案后,用 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则A. B. C. D.2.已知 是虚数单位,复数 满足 ,则A. B. C. D.3.“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知 , ,且 与 的夹角为 ,则A. B. C. D.5.已知数列 是公比为 的等比数列,且 ,则 A. B. C. D.6.某校 名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,学生的成绩分组区间是, , , , ,其中数学成绩在 分以上的学生有B2{ }1 1M x x= − { }2 2 0N x x x= − M N ={ }1 0x x− { }1 2x x− { }0 1x x { }1 2x x x 或i z3zii=−z =1 3i− + 1 3i− − 1 3i+ 1 3i−a b 2 2ac bc| | 2a =| | 1b =ab3π( )a b b+ ⋅ =  3 1+ 1 2 31na   12 24a = 6a =64 3214116100[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 80A. 名 B. 名 C. 名 D. 名7.设 是定义域为 的偶函数,若 在 上单调递增,则 , ,的大小关系为A. B. C. D.8.常用的 A4 打印纸的长宽比例是 ,从 A4 纸中剪去一个最大的正方形后,剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”.白银比例具有很好的美感,在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台,塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比,第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比,都等于白银比例,若两观景台之间高度差为 60 米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是A. 米 B. 米 C. 米 D. 米9.已知函数 ( , )的图象过点 ,且相邻两个零点的距离为 .若将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,则函数 的解析式为A. B. C. D.10.如图,已知棱长为 的正方体 , 分别为 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为35 30 25 20( )f x R ( )f x (0, )+∞ 3( )2f 2(log 3)f12(log 3.1)f1 223(log 3.1) (log 3) ( )2f f f 2 123(log 3) (log 3.1) ( )2f f f 1 223( ) (log 3.1) (log 3)2f f f 2 123( ) (log 3) (log 3.1)2f f f 2 :1285 268 255 248( ) sin( )f x xω ϕ= + 0ω | |ϕ π 2( ,1)3π2π ( )f x4π( )g x ( )g x( ) sin 23g x xπ = −  7( ) sin 212g x xπ = −  1 7( ) sin2 24g x xπ = +  1 5( ) sin2 12g x xπ = +  2 1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1, ,AB CD AD1AG EFA. B. C. D. 11.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在直角坐标系中,对称轴与 轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点 ,平行于对称轴的光线经过点 反射后,反射光线交抛物线于点 ,则线段 的中点到准线的距离为A. B. C. D. 12.已知函数 ,若函数 有两个零点,则实数 的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 ________.01010221x1,14A   AB AB21742582542( )1xf xx=+( )y f x a= − a1 1,2 2 −  1 1,0 0,2 2   −      10,2   1 1,2 2 −  { }na n nS2nS n= na =14.若双曲线 的右焦点到其中一条渐近线的距离为 ,则双曲线 的离心率为________.15.现有一个高为 的正三棱柱容器(厚度忽略不计),其外接球的表面积为 ,则能放入该容器的最大的球的体积为________.16.用总长 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器底面一条边比另一条边长,则该容器容积的最大值为________ (不计损耗).三、解答题:共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知 的内角 的对边分别为 ,且 .(1)请从下面两个条件中选择一个作为已知条件,求 的值;① , ;② , .注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.(2)若 , ,求 的面积.18.(本小题满分 12 分)2020 年 8 月,习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示,要求进一步加强宣传教育,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示,大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者,协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一 63 人、高二 42 人, 高三 21 人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法,从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者,参加为期 20 天的第一期志愿活动.(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 2 人粘贴宣传标语,求抽出两人都是高二学生的概率是多少?(3)食堂每天约有 400 人就餐,其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量(单位:公斤),以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内,这组志愿者记录的数据如下:2 22 21 ( 0, 0)x ya ba b− = 2a4 32π11 m1m 3mABC∆ , ,A B C , ,a b c4Bπ=sin A5b = 2c = 3a = 2c =5b = 3a c+ = ABC∆前 10 天剩菜剩饭的重量为:后 天剩菜剩饭的重量为:借助统计中的图、表、数字特征等知识,分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行说明即可).19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 平面 , 分别为的中点, , .(1)求证: ;(2)求点 到平面 的距离.20.(本小题满分 12 分)已知焦点在 轴上的椭圆 : ,短轴长为 ,椭圆左顶点到左焦点 的距离为 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)设椭圆的右顶点为 ,过 的直线 与椭圆 交于点 ,且 ,求直线 的方程.21.(本小题满分 12 分)已知函数 .(1)当 时,求 的极值;(2)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.21023.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD ,M N,PC CD 2PD AD= = 4AB =BN AM⊥P AMDx C2 22 21 ( 0)x ya ba b+ = 2 3 A1F 1CB 1F l C ,M N18 27BMNS∆ =l( ) 1xf x e ax= − −1a = ( )f x2( )f x x≥ [0, )+∞ a用 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线与直线 交于点 .(1)求点 的直角坐标;(2)若直线 与圆 : ( 为参数)交于 两点,求 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 = .(1)当 时,求不等式 的解集;(2)证明: 2.大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学答案及评分标准一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B C A C D D C A C D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ; 14. ; 15. ; 16. .三.解答题17.(本小题满分 12 分)解:(1)选择条件①(法一)由余弦定理 得 ,所 以. …………… 3 分2BxOy x1 : ( )3l Rπθ ρ= ∈ 2 : 3 cos sin 4 0l ρ θ ρ θ+ − = PP2l C3cos3sinxyαα= =α ,A B | | | |PA PB⋅( )f x 1 ( 0)x x a aa+ + − 1a = ( ) 4f x ≥( )f x ≥2 1n − 5243π 9162 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 3 0a a− − =3a =由 正 弦 定 理 得. …………… 6 分( 法 二 ) 由 正 弦 定 理 得. …………… 2 分因为 ,所以 ,所 以, …………….4 分所 以. …………….6 分选择条件②由 余 弦 定 理 得. …………….3 分由 正 弦 定 理 得. …………….6 分( 2 ) 由 余 弦 定 理 得, …………….8 分所以 ,得. …………….10 分所 以. …………sin sinb aB A=sin 3 10sin10a BAb= =sin sinb cB C=sin 5sin5c BCb= =c b4C Bπ =2 5cos5C =3 10sin sin( ) sin cos cos sin10A B C B C B C= + = + =2 2 2 2 cos 5b a c ac B= + − =5b =sin sinb aB A=sin 3 10sin10a BAb= =2 2 2 2 cosb a c ac B= + −2 25 2a c ac= + −25 ( ) (2 2) 9 (2 2)a c ac ac= + − + = − +4 2 2ac = −1sin 2 12ABCS ac B∆ = = −….12 分18.(本小题满分 12 分)解:(1)报名的学生共有 126 人,抽取的比例为 ,所 以 高 一 抽 取 人 , 高 二 抽 取 人 , 高 三 抽 取人. ……………3 分(2)记高二四个学生为 1,2,3,4,高三两个学生为 5,6,抽出两人表示为(x,y), ………4 分则抽出两人的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,4),(3,5),(3,6) (4,5),(4,6) (5,6)共 15 个 基 本 事件, ……………6 分其中高二学生都在同一组包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6 个 基 本 事件. ……………8 分记抽出两人都是高二学生为事件 ,则 ,所 以 高 二 学 生 都 在 同 一 组 的 概 率 是. ……………9 分(3)法一、(数字特征)前 10 天的平均值为 23.5,后 10 天的平均值为 20.5,因为 20.523.5,所 以 宣 传 节 约 粮 食 活 动 的 效 果 很好. ……………12 分法二:(茎叶图)画出茎叶图前 10 天 后 10 天2 255 1 2 248 6 5 4 23 212 2126 21=263 621× = 242 421× = 221 221× =A6 2( )15 5P A = =255 2 21 3 520 2 4 6 819 3 418 3因为前 10 天的重量集中在 23、24 附近,而后 10 天的重量集中在 20 附近,所 以 节 约 宣 传 后 剩 饭 剩 菜 明 显 减 少 , 宣 传 效 果 很好. ……………12 分19.(本小题满分 12 分)解:(1)证明:连接 、 .因为 、 分别为 、 的中点,所以 ∥ .因为 平面 ,所以 平面 .因为 平面 ,所 以. ……………..2 分因为 为矩形, , ,所以 ,所以,在 中, ,所 以. ……………..4 分因为 ,所以 平面 ,所 以. ……………..6 分(2)法一:MN ANM N PC CDMN PDPD ⊥ ABCDMN ⊥ ABCDBN ⊂ ABCDMN BN⊥ABCD 2AD = 2DN CN= =2 2AN BN= =ABND 2 2 2AN BN AB+ =AN BN⊥MN AN N=BN ⊥ AMNBN AM⊥过 作 ,垂足为 .因为 平面 ,所以 .因为 , ,所 以 平 面. ……………..8 分因为 平面 ,所以 .又 ,所以 平面 ,所 以 的 长 即 为 点 到 平 面 的 距离. ……………..10 分因为 为 中点,所以 , .又 ,解得 ,所 以 点 到 平 面 的 距 离 为. ……………..12 分法二:因为 平面 ,所以 .因为 , ,所 以 平 面. ……………..8 分因为 平面 ,所以 .P PE DM⊥ EPD ⊥ ABCDPD AD⊥AD CD⊥ PD CD D=AD ⊥PCDPE ⊂ PCDAD PE⊥AD DM D=PE ⊥ ADMPE P AMDM PC122PDM PDCS S∆ ∆= =152DM PC= =12PDMS PE DM∆ = ⋅4 55PE =P AMD4 55PD ⊥ ABCDPD AD⊥AD CD⊥ PD CD D=AD ⊥PCDDM ⊂ PCDAD DM⊥因为 为 中点,所以 , ,所 以 ,. ……………..10 分设点 到平面 的距离为 ,由 得 ,所 以 点 到 平 面 的 距 离 为. ……………..12 分20.(本小题满分 12 分)解 : ( 1 ) 由 得, ……………..3 分所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为. …………… 4 分法一:由题意可知,直线斜率不为 , ,设 直 线 的 方 程 为. …………… 5 分设 , ,由 得 ,所 以 ,. …………… 7 分M PC122PDM PDCS S∆ ∆= =152DM PC= =1 43 3A PDM PDMV S AD− ∆= ⋅ =152ADMS AD DM∆ = ⋅ =P AMD h1 43 3A PDM ADMV S h− ∆= ⋅ =4 55h =P AMD4 552 2 22 2 31ba ca c b =− = − =321bac == =C2 214 3x y+ =0 1( 1,0)F −l1x my= −1 1( , )M x y 2 2( , )N x y2 214 31x yx my+ = = −2 2(3 4) 6 9 0m y my+ − − =1 2 263 4my ym+ =+1 2 293 4y ym−⋅ =+因 为 …………… 8 分, …………… 10 分解得 ,所 以 直 线 的 方 程 为 或. …………… 12 分法二:由(1)知 , ,当直线 斜率不存在时, ,点 到直线 的距离为 3,所以 , 所 以 直 线 斜 率 存在. …………… 5 分设直线 斜率为 ,则直线 的方程为 .设 、 ,由 得 ,所 以 ,. …………… 7 分所以.因 为 点 到 直 线 的 距 离 为, …………… 9 分1 1 1 2 1 1 21 1 1| | | | | | | | | | | |2 2 2BMNS BF y BF y BF y y∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −21 1 2 1 21| | ( ) 42BF y y y y= ⋅ ⋅ + − ⋅2218 1 18 23 4 7mm+= =+1m = ±l 1 0x y− + =1 0x y+ + =1( 1,0)F − (2,0)Bl | | 3MN =(2,0)B : 1l x = − 9 18 22 7BMNS∆ = ≠ll k l ( 1)y k x= +1 1( , )M x y 2 2( , )N x y2 214 3( 1)x yy k x+ = = +2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − =21 2 283 4kx xk−+ =+21 2 24 123 4kx xk−=+2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 1 ( ) 4MN x x y y k x x x x= − + − = + ⋅ + −22 2 2 22 22 2 2 2 28 4(4 12) 144( 1) 12( 1)1 13 4 3 4 (3 4 ) 3 4k k k kk kk k k k − − + += + ⋅ − = + ⋅ = + + + + (2,0)B l2| 3 |1kdk=+所以 ,所 以 , 得, …………… 11 分所 以 直 线 的 方 程 为 或. …………… 12 分21.(本小题满分 12 分)解:(1)当 时, ,所 以. …………… 2 分当 时 当 时 ,所 以 在 上 单 调 递 减 , 在 上 单 调 递增, …………… 4 分所 以 当 时 函 数 有 极 小 值. ……………6 分(2)法一:因为 在 上恒成立,所以 在 上恒成立.当 时 恒 成 立 , 此 时. …………… 8 分当 时 在 上恒成立.令 ,则 .由 ( 1 ) 知 时 , 即. …………… 10 分当 时 ;当 时 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 时, ,所以 .22 21 1 12( 1) | 3 | 18 2| |2 2 3 4 71BMNk kS MN dk k∆+= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ +2 1k =1k = ±l 1 0x y− + =1 0x y+ + =1a = ( ) 1xf x e x= − −( ) 1xf x e′ = −0x ( ) 0f x′ 0x ( ) 0f x′ ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞0x = ( )f x(0) 0f =2( )f x x≥ [0, )+∞2 1 0xe x ax− − − ≥ [0, )+∞0x = 0 0≥a R∈0x 1( )xea xx x≤ − + (0, )+∞1( ) ( )xeg x xx x= − +22 2 2( 1) 1 ( 1)( ( 1))( ) ( )x xe x x x e xg xx x x− − − − +′ = − =0x ( ) 0f x ( 1) 0xe x− + 0 1x ( ) 0g x′ 1x ( ) 0g x′ ( )g x (0,1) (1, )+∞1x = min( ) 2g x e= −2a e≤ −综 上 可 知 , 实 数 的 取 值 范 围 是. …………… 12 分法二:因为 在 上恒成立,所以 ,即 在 上恒成立.令 , 则. ……………7 分(1)当 ,即 时 恒成立,所以 在 上单调递减,所 以 上 恒 成立. …………… 8 分(2)当 即 时,当 时, ;当 时, ;当 时, ;所以 在 上单调递减,在 上单调递增.又 , ,由(1)知 时 ,所以 ,即 ,所 以 , 满 足 恒 成立. …………… 10 分(3)当 即 时,当 时, ;当 时, ;当 时, ;所以 在 上单调递减,在 上单调递增.又 , ,所以 ,即 ,所以 .a( , 2]e−∞ −2( )f x x≥ [0, )+∞2 1xe x ax≥ + +2 11xx axe+ + ≤ [0, )+∞2 1( )xx axg xe+ +=( 1)( (1 ))( )xx x ag xe− − − −′ =1 1a− = 0a =2( 1)( ) 0xxg xe− −′ = ≤( )g x [0, )+∞( ) (0) 1g x g≤ =1 1a− 0a 0 1x ( ) 0g x′ 1 1x a − ( ) 0g x′ 1x a − ( ) 0g x′ ( )g x (0,1), (1 , )a− +∞ (1,1 )a−(0) 1g =12(1 )aag ae −−− =0x ≥ ( 1) 0xe x− + ≥1 (1 1) 0ae a− − − + ≥ 1 2ae a− ≥ −12(1 ) 1aag ae −−− = ≤0 1 1a − 0 1a 0 1x a − ( ) 0g x′ 1 1a x− ( ) 0g x′ 1x ( ) 0g x′ ( )g x (0,1 ), (1, )a− +∞ (1 ,1)a−(0) 1g = 2(1) age+=21ae+ ≤ 2a e≤ −0 2a e ≤ −(4)当 即 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,所以 不恒成立,综 上 可 知 , 实 数 的 取 值 范 围 是. …………… 12 分22.(本小题满分 10 分)解:(1)法一:联 立, …………… 1 分解 得, …………… 2 分所 以 点 的 极 坐 标 为, …………… 3 分所 以 点 的 直 角 坐 标 为 , 即. …………… 5 分法二:直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ① …………… 2 分直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ② …………… 4 分联立①②解方程组得 ,所 以 点 的 直 角 坐 标 为1 0a− ≤ 1a ≥ ( )g x (0,1) (1, )+∞(0) 1g = ( ) 1g x ≤a( , 2]e−∞ −33 cos sin 4 0πθρ θ ρ θ = + − =4 33ρ =P4 3 ,3 3π   P4 3 2 3cos3 3 34 3 sin 23 3xyππ = ⋅ = = ⋅ =2 3 ,23P   1l 3y x=2l 3 4 0x y+ − =2 332xy = =P. …………… 5 分(2)直线 的直角坐标方程为 ,倾斜角为 120°,所 以 直 线 的 参 数 方 程 为 ( 为 参 数 )① …………… 7 分圆 的普通方程为 ②将 ① 代 入 ② 得. …………… 8 分设 点 对 应 的 参 数 分 别 为 , 则. …………… 10 分23.(本小题满分 10 分)解:(1)当 时, .当 时, ,解得 ;当 时, ,无解;当 时 , , 解 得; …………… 3 分综 上 所 述 : 的 解 集 为 或. .…………… 5 分( 2 ) .…………… 7 分, .…………… 9 分当且仅当 时等号成立,所 以2 3 ,23   2l 3 4 0x y+ − =2l322 33212txy t= = +−tC 2 2 9x y+ =2 4 3 11 03 3t t+ − =,A B 1 2,t t1 2 1 211| | | | | | | | | |3PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ =1a = ( ) 1 1f x x x= + + −1x ≤ − ( ) 1 1 2 4f x x x x= − − − + = − ≥ 2x ≤ −1 1x− ( ) 1 1 2 4f x x x= + − + = ≥1x ≥ ( ) 1 1 2 4f x x x x= + + − = ≥2x ≥( ) 4f x ≥ { 2x x ≤ −}2x ≥1 1 1x x a x a x x a xa a a+ + − = + + − ≥ + + −1 2aa= + ≥1a =( )f x ≥2. .…………… 10 分

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