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全国I卷2021届高三理科数学第二次模拟试卷(四)(Word版附答案)

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2021 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学(四)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数 ( )A. B. C. D.2.集合 , ,则集合 与 的关系是( )A. B.C. D. 且3.下列关于命题的说法中正确的是( )①对于命题 ,使得 ,则 ,均有②“ ”是“ ”的充分不必要条件③命题“若 ,则 ”的逆否命题是“若 ,则 ”④若 为假命题,则 、 均为假命题A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①③4.执行如图所示的程序框图,输出的 值为( )A.2048 B.1024 C.2046 D.40945.函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,对于函数 ,下列说法不正确的是( )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 对称6.已知数列 满足 , ,则数列 的前 项和 ( )A. B.C. D.7.已知 是不等式组 的表示的平面区域内的一点, , 为坐标原点,则 的最大值( )A.2 B.3 C.5 D.68.甲、乙、丙三人手持黑白两色棋子,在 3 行 8 列的网格中,三人同时从左到右,从 1 号位置摆到 8号位置,若甲的 1 号位置与乙的 1 号位置颜色相同,称甲乙对应位置相同,反之称甲乙对应位置不同,则下列情况可能的是( )1 1i2 2− − 1 1 i2 2− + 1 1 i2 2− 1 1 i2 2+{ }2 ,nM x x n= = ∈ N { }2 ,N x x n n= = ∈ N M NM N⊆ N M⊆M N = ∅ M N⊄ N M⊄:p x∃ ∈ R 2 1 0x x+ + :p x¬ ∀ ∈ R 2 1 0x x+ + ≥1x = 2 3 2 0x x− + =2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠p q∧ p qS2( ) 2 3 sin cos 2sin 1f x x x x= − +π24( )g x( )g x( )g x π ( )g x 5π24x =( )g x4π,4π −  ( )g x13π,024 −  { }na 2 2 1 3 1nn na a −− = − ( )2 1 2 3 5nn na a n+ ++ = + ∈ N { }na 4040S =213 1972+ 203 1972+109 98+ 209 98+( ),P x y1 03 00x yx yx+ − ≥− + ≥≤( )1,2A OOA OP⋅ 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A.甲乙丙相互有 3 个对应位置不同B.甲乙丙互相不可能有 4 个对应位置不同C.甲乙 1 个位置不同,甲丙 3 个位置不同,乙丙 5 个位置不同D.甲乙 3 个位置不同,甲丙 4 个位置不同,乙丙 5 个位置不同9.已知实数 、 满足 , 的取值范围是( )A. B. C. D.10 . 已 知 是 定 义 在 上 的 增 函 数 , 若 对 于 任 意 , 均 有, ,则不等式 的解集为( )A. B. C. D.11.已知函数 , ,若方程 有 4 个不同的实数根 ,, , ( ),则 的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知直三棱柱 的侧棱长为 , , .过 、 的中点、 作平面 与平面 垂直,则所得截面周长为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.若 ,则 的展开式中常数项为_________.14.小张计划从 个沿海城市和 个内陆城市中随机选择 个去旅游,则他至少选择 个沿海城市的概率是__________.15.已知椭圆 的右顶点为 P,右焦点 F 与抛物线 的焦点重合, 的顶点与 的中心 O 重合.若 与 相交于点 A,B,且四边形 为菱形,则 的离心率为____.16.在 中,记角 所对的边分别是 ,面积为 ,则 的最大值为_________.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)已知等差数列 满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)记数列 的前 n 项和为 .若 , ( 为偶数),求 的值.18.( 12 分)如图,在圆柱 中,四边形 是其轴截面, 为 的直径,且, , .x y ( )22 2 1x y+ − = 2 23x yx yω +=+( 3,2 [ ]1, 2 ( ]0, 2 3 ,12   ( )f x ( )1,+∞ ( ), 1,x y ∈ +∞( ) ( ) ( )2x yf x f y f +=+ ( )2 1f = ( ) ( )1 2 0f x f x+ − − ≥5,2 +∞ 5,2 +∞  51,2   52,2   ( ) 11 1f xx=− − ( )2 2g x x x a= − − ( ) ( )f x g x= 1x2x 3x 4x 1 2 3 4x x x x ( )1 4 3a x x x+ −( )1,4 ( )1,+∞ ( )0,4 ( )0,11 1 1ABC A B C− 2 AB BC⊥ 2AB BC= = AB 1BBE F α 1 1AAC C2 2 6+ 2 2 6+ 3 2 6+ 3 2 2 6+π02sin c( )os da x x x= −∫6axx   −5 4 2 12 21 2 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 2C 2C1C 1C 2C OAPB 1CABC△ , ,A B C , ,a b c S 2 4Sb ac+{ }na 12 3 5n na a n++ = +{ }na11n na a +   nS *n∀ ∈ N2 4nS λ λ − + λ λ1OO ABCD EF 1OeEF CD⊥ 2AB = ( )0BC a a= (1)求证: ;(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求二面角 平面角的余弦值.19.(12 分)2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人.2019 年 7 月份以来,共完成 1931 个志愿服务项目,8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小时.为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度,随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长(单位:小时),并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中间值代表);(2)由直方图可以认为,目前该地志愿者每月服务时长 服从正态分布 ,其中 近似为样本平均数 , 近似为样本方差 .一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若 ,令 ,则 ,且 .(ⅰ)利用直方图得到的正态分布,求 ;(ⅱ)从该地随机抽取 20 名志愿者,记 表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小时的人数,求 (结果精确到 )以及 的数学期望.参考数据: , .若 ,则 .BE BF=AE BEF63A BE F− −x 2sX ( )2,N µ σ µx 2σ 2s( )2~ ,X N µ σ XY µσ−= ( )~ 0,1Y N ( ) aP X a P Y µσ− ≤ = ≤  ( )10P X ≤Z( )1P Z ≥ 0.001 Z1.64 1.28≈ 200.7734 0.0059≈ ( )~ 0,1Y N ( )0.78 0.7734P Y ≤ =20.(12 分)已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .(1)求椭圆 的方程;(2)若矩形 的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围.21.(12 分)设 , ,其中 ,且 .(1)试讨论 的单调性;(2)当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 过点 且倾斜角为 .( )2 22 2: 1 0y xC a ba b+ = 32( )0,2CABCD( ) ( )ln af x axx= + ( ) 1 1lnxg x b ex x−= ⋅ + ,a b∈ R 0a ≠( )f x1a = ( ) ( ) lnf x xg x x− ≥ bC2costanxyθθ = =θ l (1,2)Pπ6(1)求曲线 的普通方程和直线 的参数方程;(2)设 与 的两个交点为 ,求 .23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】(1)已知函数 ,求 的取值范围,使 为常函数;(2)若 , ,求 的最大值.C ll C ,A B | | | |PA PB+( ) | 1 | | 3 |f x x x= − + + x ( )f x, ,x y z ∈ R 2 2 2 1x y z+ + = 2 2 5m x y z= + +理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】因为 , , ,所以 ,故选C.2.【答案】D【解析】因为 , 且 , ,所以 且 ,故选 D.3.【答案】A【解析】①对于命题 ,使得 ,则 均有 ,故①正确;②由“ ”可推得“ ”,反之由“ ”可能推出 ,则“ ”是“ ”的充分不必要条件,故②正确;③命题“若 ,则 ”的逆否命题是“若 ,则 ”,故③正确;④若 为假命题,则 , 至少有一个为假命题,故④错误,则正确的命题的有①②③,故选 A.4.【答案】C【解析】 , ,运行第 1 次, , ,运行第 2 次, , ,,运行第 9 次, , ,运行第 10 次, , ,结束循环,故输出的 值 2046,故选 C.2i 1= − 3i i= − 4i 1=1 M∈ 1 N∉ 0 N∈ 0 M∉ M N⊄ N M⊄:p x∃ ∈ R 2 1 0x x+ + :p x¬ ∀ ∈ R 2 1 0x x+ + ≥1x = 2 3 2 0x x− + = 2 3 2 0x x− + = 2x =1x = 2 3 2 0x x− + =2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠p q∧ p q2n = 2S =0 2S = + 22 1024n = 22 2S = + 32 1024n = 2 3 92 2 2 2S = + + + +L 102 1024n = =2 3 102 2 2 2 2046S = + + + + = 112 1024n = S2 3 4i i i i(1 i) 1 1i1 i 1 i 2 2i2+ + − − += = = −− −5.【答案】C【解析】因为 .其图象向右平移 个单位长度后得到函数的图象,所以 的最小正周期为 ,故 A 正确;当 时, ,所以 的图象关于直线 对称,故 B 正确;当 时, ,所以 在间 上不单调,故 C 错误;当 时, ,所以函数 的图象关于点 对称,故 D 正确,故选 C.6.【答案】A【 解 析 】 由 题 意 可 得 , 两 式 相 减 得 ,,两式相加得 ,故,故选 A.7.【答案】D【解析】由题意可知, ,令目标函数 ,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,当目标函数 经过点 时取得最大值,最大值为 ,故选D.2( ) 2 3 sin cos 2siπn 1 2sin 26f x x x x x = − + = +  π24( ) 2sin24π2π6g x x  = − +    π2sin 212x = +  ( )g x π5π24x = π π212 2x + = ( )g x 5π24x =,4 4π πx ∈ −  5π 7π2 ,12 12 12πx + ∈ −  ( )g x4π,4π −  13π24x = − 2 π1π2x + = − ( )g x13π,024 −  2 2 12 1 23 13 5nn nnn na aa a−+ − = − + = +2 1 2 1 6n na a+ −+ =2 2 2 12 1 23 3 13 5nn nnn na aa a+ ++ − = ⋅ − + = +2 2 2 4 3 4nn na a+ + = × +( ) ( )40 1 3 37 39 2 4 38 40S a a a a a a a a= + + ⋅⋅⋅+ + + + + ⋅⋅⋅+ +( ) ( )10 211 3 193 9 1 3 1976 10 4 10 4 3 3 3 100 48 2− += × + × + × + + ⋅⋅⋅+ = + × =2OP OA x y⋅ = + 2z x y= +2z x y= + ( )0,3B 0 2 3 6+ × =8.【答案】D【解析】对 A,若甲乙有 3 个对应位置不同,不妨设前 3 个对应位置不同,则后 5 个对应位置相同,若丙和甲、丙和乙都要有 3 个对应位置不同,则只能在后 5 个对应位置中有 3 个和甲乙不同,若丙和甲在后 5 个对应位置中有 3 个对应位置不同,则必和乙有 6 个位置不同,故 A 错误;对 B,若甲和乙前 4 个对应位置不同,乙和丙后 4 个对应位置不同,则甲和丙后 4 个对应位置也不同,故存在,所以 B 错误;对 C,若甲乙第 1 个位置不同,后 7 个位置相同,甲丙在后 7 个位置中有 3 个位置不同,此时乙丙最多有 4 个位置不同,故 C 错误;对 D,若甲乙前 3 个位置不同,甲丙第 3 个到第 6 个位置不同,则成立,故 D 正确,故选 D.9.【答案】B【解析】如图所示:设 为圆 上的任意一点,( ),P x y ( )22 2 1x y+ − =则点 P 到直线 的距离为 ,点 P 到原点的距离为 ,所以 ,设圆 与直线 相切,则 ,解得 ,所以 的最小值为 ,最大值为 ,所以 ,所以 ,故选 B.10.【答案】A【解析】根据 , ,可得 ,由 , ,可得 ,则 ,又 是定义在 上的增函数,所以 ,解得 ,所以不等式 的解集为 ,故选 A.11.【答案】D【解析】作出 , 的大致图象如图所示,3 0x y+ = 32x yPM+=2 2PO x y= +2 23 22sinx y PMPOMPOx yω += = = ∠+( )22 2 1x y+ − = y kx= 2211 k=+3k = ±POM∠ 30° 90°1sin 12POM≤ ∠ ≤ 1 2sin 2POM≤ ∠ ≤( ) ( ) ( )2x yf x f y f +=+ ( )2 1f =( ) ( ) ( )42 1 1 2 2 2f f f= + = + =( ) ( ) ( )2x yf x f y f +=+ ( ) ( )1 2 0f x f x+ − − ≥( )2 12 2xf − ≥ ( ) ( )2 1 42 2xf f− ≥( )f x ( )1,+∞2 1 42 211 1xxx− ≥  − 52x ≥( ) ( )1 2 0f x f x+ − − ≥ 5 ,2 +∞ ( )f x ( )g x可知 , 的图象都关于直线 对称,可得 , .由 ,得 ,则 ,所以 .设 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 的取值范围是 ,故选 D.12.【答案】C【解析】如下图所示,取 的中点 ,连接 ,取 的 ,连接 ,取 的中点 ,连接 、 ,, 为 的中点,则 ,平面 , 平面 , ,( )f x ( )g x 1x = 1 4 2x x+ = 31 2x ( ) ( )3 3f x g x= 23 33122x x ax= − −−23 33122a x xx= − −−( ) ( ) 3 21 4 3 3 3 3 32 4 4 1a x x x a x x x x+ − = − = − + − +( ) ( )3 24 4 1 1 2h x x x x x= − + − + ( ) ( )( )23 8 4 2 3 2 0h x x x x x′ = − + − = − − − ( )h x ( )1,2 ( )1 4 3a x x x+ − ( )0,1AC J BJ AJ D DE1 1AC K KJ 1B KAB BC= J AC BJ AC⊥1AA ⊥ ABC BJ ⊂ ABC 1BJ AA∴ ⊥, 平面 ,、 分别为 、 的中点,则 且 ,平面 ,平面 ,所以,平面 平面 ,所以,平面 即为平面 ,设平面 交 于点 ,在直棱柱 中, 且 ,所以,四边形 为平行四边形, 且 ,、 分别为 、 的中点, 且 ,所以,四边形 为平行四边形, 且 ,且 , 且 ,所以,四边形 为平行四边形,, 平面 , 平面 , 平面 ,设平面 平面 , 平面 ,所以, , ,,所以,四边形 为平行四边形,可得 ,所以, 为 的中点,延长 交 于点 , ,所以, , ,又 ,所以, ,, 为 的中点,因为平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,,, , , , 为 的中点,1AC AA A=  BJ∴ ⊥ 1 1AAC CDQ E AJ AB //DE BJ12DE BJ=DE∴ ⊥ 1 1AAC CDE ⊂ DEF DEF ⊥ 1 1AAC Cα DEFα 1 1B C I1 1 1ABC A B C− 1 1//AA CC 1 1AA CC=1 1AAC C 1 1//AC AC∴ 1 1AC AC=J K AC 1 1AC 1//AJ A K∴ 1AJ A K=1AA KJ 1//KJ AA∴ 1KJ AA=1 1//BB AA 1 1BB AA= 1//KJ BB∴ 1KJ BB=1BB KJ//DE BJ DE ⊄ 1BB KJ BJ ⊂ 1BB KJ //DE∴ 1BB KJα  1BB KJ FG= DE ⊂ α //DE FG //FG BJ∴//BF GJ BFGJ 11 12 2GJ BF BB KJ= = =G KJDG 1 1AC H //DJ KH DJG HKG∠ = ∠ JDG KHG∠ = ∠JG KG= DJG HKG≅△ △11 12 2HK DJ AJ KC∴ = = = H∴ 1KC//ABC 1 1 1A B C α  ABC DE= α  1 1 1A B C IH=//DE IH∴//DE BJ 1//BJ B K //DE IH 1//IH B K∴ I∴ 1 1B C, ,则 ,为 的中点, ,则 ,同理 ,因为直棱柱 的棱长为 , 为 的中点, ,由勾股定理可得 ,同理可得 ,且 , 平面 , 平面 ,平面 , ,、 分别为 、 的中点,则 , ,由勾股定理可得 ,同理 .因此,截面的周长为 ,故选 C.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】240【解析】 ,展开式的通项公式为 ,令 ,即 .的展开式中,常数项是 ,故答案为 240.14.【答案】AB BC⊥ 2AB BC= = 2 2 2 2AC AB BC= + =J AC122BJ AC∴ = = 1 22 2DE BJ= = 22IH =1 1 1ABC A B C− 2 F 1BB 1112BF BB∴ = =2 2 2EF BF BE= + = 2IF =1//KJ BB 1 2KJ BB= = 1BB ⊥ ABC KJ∴ ⊥ ABCAC ⊂ ABC KJ AC∴ ⊥G D KJ AJ112GJ KJ= = 1 22 2DJ AJ= =2 2 62DG DJ GJ= + = 62GH =22 2 2 6 3 2 62DE IH EF IF DH+ + + + = × + × + = +π002sin cos d ( 2cos sin ) | (2 0) ( 0) 2 )( 4a x x x x x π= − = − − = − − − − =∫64xx   ∴ − ( ) ( )6 366 21 6 614C 4 Cr rr rr r rrT x xx−−−+ = − −=  36 02r − = 4r =64xx   ∴ − ( )46 4 464 1 C =240− −56【解析】由题不选沿海城市的方法有 种,从 9 个城市任意选 2 个城市有 种,所以所求概率 ,故答案为 .15.【答案】【解析】设抛物线的方程为 ,, , .由题得 ,代入椭圆的方程得 ,所以 , ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,故答案为 .16.【答案】【解析】 ,令 ,则 ,故 ,故 ,24C29C2429C 6 51 136 6CP = − = − = 56132 2y px=2pc= 2p c∴ = 2 4y cx∴ =( , 2 )2aA ac22 224 1aaca b+ =2 2 28 3 3( )ac b a c= = − 2 23 8 3 0c ac a∴ + − =23 8 3 0e e+ − = (3 1)( 3) 0e e− + =0 1e 13e = 13216( )2 2 21 1sin sin sin2 24 2 cos 4 6 2 cos 4 3 cosac B ac BS Bb ac a c ac B ac ac ac B B= ≤ =+ + − + − −sin3 cosByB=−23 sin cos 1 sin( )y B y B y B ϕ= + = + +23 1y y≤ + 2 24 4y− ≤ ≤又 ,故 ,当且仅当 满足 时,等号成立,此时 , ,故 的最大值为 ,故答案为 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)设等差数列 的公差为 d,因为 ,所以 ,即 ,解得 , ,所以 .经检验, 符合题设,所以数列 的通项公式为 .(2)由(1)得 ,所以 , ,∴ ,因为 , ,所以 ,即 .因为 为偶数,所以 .0y 204y ≤ B 3 2 2sin cos4 4B B= +2 2sin3B =1cos3B =2 4Sb ac+2162161na n= + 2λ ={ }na12 3 5n na a n++ = +1 22 32 82 11a aa a+ = + =113 2 83 5 11a da d+ = + =1 2a = 1d =2 ( 1) 1na n n= + − = +1na n= +{ }na 1na n= +11 1 1 1( 1)( 2) 1 2n na a n n n n+= = −+ + + +1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 1 2 2 2     = − + − + + − = −     + + +     nS n n nn∈ *N12nS *n∀ ∈ N 2 4nS λ λ − +2 142λ λ− + ≥ 2 7( 2)2λ − ≤λ 2λ =18.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)证明:连接 ,在圆柱中 中, 平面 ,平面 , ,, , 平面 ,又 平面 , ,在 中, 为 的中点, .(2)连接 ,则 与该圆柱的底面垂直,以点 为坐标原点,过点 作垂直于直线 为 轴, 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ,则 、 、 、 ,, , ,设平面 的法向量分别是 ,由 ,得 ,取 ,得 ,设直线 与平面 所成角为 ,由 ,化简得 ,,解得 , ,设平面 的法向量分别是 ,131BO 1OO BC⊥ CEDFEF ⊂ CEDF EF BC∴ ⊥EF CD⊥ BC CD C= EF∴ ⊥ ABCD1BO ⊂ ABCD 1EF BO∴ ⊥ BEF△ 1O EF BE BF∴ =1OO 1OOO O OB x OB 1OO y zO xyz−( )0, 1,0A − ( )0,1,0B ( )1,0,E a− ( )1,0,F a( )1,1,AE a= −( )1, 1,BE a= − −( )1, 1,BF a= −BEF ( )11 1 1, ,x y z=n1100BEBF ⋅ =⋅ =nn1 1 11 1 100x y azx y az− − + = − + =1 1z = ( )1 0, ,1a=nAE BEF θ1 2 2sin cos ,2 632 1AEa aaθ = = =+ ⋅ +n ( )( )2 22 1 0a a− − =1a Q 2a = ( )1 0, 2,1∴ =nABE ( )2 2 2 2, ,x y z=n,由 ,得 ,取 ,得 ,,由图象可知,二面角 为锐角,因此,二面角 的余弦值为 .19.【答案】(1) , ;(2)(ⅰ) ,(ⅱ) , .【 解 析 】 ( 1 )..(2)(ⅰ)由题知 , ,所以 , .所以 .(ⅱ)由(ⅰ)知 ,可得 ,,故 的数学期望 .20.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1) ,∴ ,又椭圆 过点 ,∴ , ,∴椭圆 的方程 .(2)①当矩形 的四条边与椭圆相切于顶点时,易知 ;②当矩形的各边均不与坐标轴平行时,由矩形及椭圆的对称性,( )0,2,0AB =2200ABAE ⋅ =⋅ =nn22 2 22 02 0yx y z=− + + =2 1z = ( )2 2,0,1=n2211211cos ,3⋅∴ = =⋅nnnnnnA BE F− − A BE F− −139 1.64 0.7734 0.994 4.5326 0.02 7 0.1 8 0.2 9 0.38 10 0.18 11 0.08 12 0.04 9x = × + × + × + × + × + × + × =( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 6 9 0.02 7 9 0.1 8 9 0.2 9 9 0.38 10 9s = − × + − × + − × + − × + −( ) ( )2 20.18 11 9 0.08 12 9 0.04 1.64× + − × + − × =9µ = 2 1.64σ = ( )~ 9,1.64X N 1.64 1.28σ = ≈( ) ( )10 910 0.78 0.77341.28P X P Y P Y− ≤ = ≤ = ≤ =  ( ) ( )10 1 10 0.2266P X P X = − ≤ = ( )~ 20,0.2266Z B( ) ( ) 201 1 0 1 0.7734 1 0.0059 0.9941 0.994P Z P Z≥ = − = = − ≈ − = ≈Z ( ) 20 0.2266 4.532E Z = × =22 14yx+ = [ ]8,1022312c bea a= = − = 2 24a b=C ( )0,2 2 4a = 2 1b =C22 14yx+ =ABCD 4 2 8S = × =设其中一边所在的直线方程为 ,则其对边所在的直线方程为 ,另外两边所在的直线方程分别为 , ,联立 ,消去 并整理可得 ,由题意可得 ,整理可得 ,同理可得 ,设两平行直线 与 之间的距离为 ,则 ,设两平行直线 与 之间的距离为 ,则 ,依题意可知, 为矩形的两邻边的长度,所以矩形的面积,因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号,所以 ,所以 ,所以 ,综上所述:该矩形面积的取值范围为 .( 0)y kx m k= + ≠y kx m= − ( 0)k ≠1y x nk= − + 1y x nk= − −2 24 4y kx mx y= + + =y 2 2 2(4 ) 2 4 0k x kmx m+ + + − =2 2 2 24 4(4 )( 4) 0Δ k m k m= − + − = 2 24k m+ =2214 nk+ =y kx m= + y kx m= − 1d2 21 2 22 2| ( ) | 2 | | 42 21 11 1m m m m kdk kk k− − += = = =+ ++ +1y x nk= − + 1y x nk= − − 2d22 2 222 2 2 22 21(4 )| ( ) | 2 | | 4 12 2 21 1 11 11 1kn n n k n kkdk k kk k+− − += = = = =+ + ++ +1 2,d d( )( )( ) ( )2 2 4 21 2 2 22 21 4 4 4 17 44 41 1k k k kS d dk k+ + + += ⋅ = ⋅ = ⋅+ +( )( )22 2 22 4 22 224 1 9 9 94 4 4 4 412 11 2k k kk kk kk+ += ⋅ = ⋅ + = ⋅ ++ ++ + +2 0k 2212kk+ ≥ 2 1k =229 90,1 42kk ∈  + + 2 29 54 2,1 22kk + ∈  + +( ]8,10S ∈[ ]8,1021.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】(1) ,①当 时,由 ,得 ,即 定义域为 ;当 时, ;当 时, ,在 上单调递减,在 上单调递增;②当 时,由 ,得 ,即 定义域为 ;当 时, ;当 时, ,在 上单调递减,在 上单调递增,综上所述:当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.(2)由 ,得 ,即 ,设 ,则 ,当 时, ;当 时, ,在 上单调递增,在 上单调递减,又 在 上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增, ,在 上恒成立, ;设 ,则 ,当 时, ;当 时, ,在 上单调递减,在 上单调递增,( ],e−∞0a 0ax 0x ( )f x ( ),0−∞∴ ( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x′ ( ),0x a∈ ( ) 0f x′ ( )f x∴ ( ),a−∞ ( ),0a0a 0ax 0x ( )f x ( )0, ∞+∴ ( )0,x a∈ ( ) 0f x′ ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ ( )f x∴ ( )0,a ( ),a +∞0a ( )f x ( ),a−∞ ( ),0a0a ( )f x ( )0,a ( ),a +∞( ) ( ) lnf x xg x x− ≥ 1 1ln ln lnxx bxe xx x−+ − − ≥ 1 1lnxbxex x− ≤ −( ) lnh t t t= − ( ) 1 11 th tt t−′ = − =∴ ( )0,1t ∈ ( ) 0h t′ ( )1,t ∈ +∞ ( ) 0h t′ ( )h t∴ ( )0,1 ( )1,+∞1tx= ( )0, ∞+1 1lnyx x∴ = − ( )0,1 ( )1,+∞min1 1ln 1 ln1 1x x ∴ − = − =  1xbxe−∴ ≤ ( )0, ∞+xebx∴ ≤( )xem xx= ( ) ( )21xe xm xx−′ =∴ ( )0,1x ∈ ( ) 0m x′ ( )1,x ∈ +∞ ( ) 0m x′ ( )m x∴ ( )0,1 ( )1,+∞( ) 2 21 a x af xx x x−′ = − =, ,即实数 的取值范围为 .22.【答案】(1) , ( 为参数);(2) .【解析】(1)由 ,得 ,由 ,得 ,所以 ,代入 ,整理可得 ,所以曲线 的普通方程为 …①直线 的参数方程为 ( 为参数)…②(2)②代入①,得 ,所以 ,设 对应的参数分别为 ,则 ,所以 .23.【答案】(1) ;(2)3.【解析】(1) ,则当 时, 为常函数.( ) ( )min 1m x m e∴ = = b e∴ ≤b ( ],e−∞22 1:4xC y− =312122:x ty tl= + = +t 32 4 3−2cosxθ= 2cosxθ =tany θ= sincosyθθ=2sin cosyyxθ θ= = 2 2sin cos 1θ θ+ =22 14xy− =C22 14xy− =l312122x ty t= + = +t( )2 32 4 3 76 0t t+ − + =( ) ( )216 8 3 4 76 256 3 3 0Δ = − − × = × − ,A B 1 2,t t( )1 21 232 4 376 0t tt t + = − −= 1 2 1 2 32 4 3PA PB t t t t+ = + = + = −[ ]3,1x ∈ −( )2 2, 31 3 4, 3 12 2, 1x xf x x x xx x− − −= − + + = − ≤ ≤ + [ ]3,1x ∈ − ( )f x(2)由柯西不等式得 ,所以 ,当且仅当 ,即 , , 时,取最大值,因此 的最大值为 3.( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 5 2 2 5x y z x y z + + + + ≥ + +  3 2 2 5 3x y z− ≤ + + ≤2 2 2x y z= =23x = 23y = 53z = m

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