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全国I卷2021届高三理科数学第二次模拟试卷(三)(Word版附答案)

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2021 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学(三)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知 均为 的子集,且 ,则 ( )A. B. C. D.2.欧拉恒等式: 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数:自然对数的底数 e、圆周率 、虚数单位 i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起,它是由欧拉公式:,令 得到的根据欧拉公式, 在复平面内对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知 为奇函数,则“ ”是“ ”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.随着“互联网+”上升为国家战略,某地依托“互联网+智慧农业”推动精准扶贫.其地域内 山村的经济收入从 2018 年的 4 万元,增长到 2019 年的 14 万元,2020 年更是达到 52 万元,在实现华丽蜕变的过程中,村里的支柱性收入也在悄悄发生变化,具体如下图所示,则下列结论正确的是( )A.2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入减少B.种植收入 2020 年增长不足 2019 年的 2 倍C.2020 年养殖收入与 2019 年其它收入持平D.2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高5.若 , 满足线性约束条件 ,则 的最大值是( )A. B. C.2 D.46.在 中, , , 的最小值是( )A. B. C. D.7.在 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 的面积为 S, , ,则 外接圆的面积为( )A. B. C. D.8.已知函数 的图象如图所示,则此函数可能是( )A. B.C. D.9.设函数 与 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,R M N⊆Rð ( )M N =R ð∅ M N Riπ 1 0e + =πi cos i sin ( )e θ θ θ θ= + ∈ R πθ = 2ie( )( ) 2 2x xf x a a= − ≠ 12m − ( ) 0f m Ax y3 2 6 04 2 02 3 0x yx yx y+ + ≥ − + ≥ − − ≤13yx+−1223ABC△ 1AB =2π3A = | | ( )AB tAC t+ ∈ R 32221233ABC△ ABC△ 2a = 2 24 4S b c= + −ABC△4π 8π π 2π( )y f x=( ) sin ln | |f x x x= ⋅ ( ) sin ln | |f x x x= − ⋅( ) sin lnf x x x= ⋅ ( ) | sin ln |f x x x= ⋅( ) 23 2 ( 0)2f x x ax a= − ( ) 2 lng x a x b= +此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 则实数 的最大值为( )A. B. C. D.10.在棱长为 的正方体 中, , 分别为棱 , 的中点, 为线段上的动点,则直线 与平面 的交点 的轨迹长度为( )A. B. C. D.11.已知动点 , 关于坐标原点 对称, , 过点 , 且与直线 相切.若存在定点 ,使得 为定值,则点 的坐标为( )A. B. C. D.12.已知定义域为 的函数 满足 ,且 , 为自然对数的底数,若关于 的不等式 恒成立,则实数 的取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13. 的值为_______.14.已知 ,则 ______.(结果用数字表示)15.中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线(图中楚河汉界处的“日”字没有画出),如图,“马”从点 A 处走出一步,只能到达点 B,C,D 中的一处.则“马”从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P处,最少需要的步数是_________.16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,过椭圆的右焦点 作一条直线 交椭圆于点 、 .则 内切圆面积的最大值是_________.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)已知公比小于 1 的等比数列 中,其前 n 项和为 , , .(1)求 ;(2)求证: .b212e212e1e 232e−2 2 1 1 1 1ABCD A B C D− E F AB AD P1C D 1A P 1D EF Q2 1534 332 1334 23A B O 2AB = Me A B 1y =P MA MP− P10,2   10,2 −  ( )0,1 ( )0, 1−(0, )+∞ ( )f x2( ) 1( )f xf xx x′ + = 2( )f ee= ex( )2 0f x axx x− − + ≤ a[1, )+∞ [2, )+∞ 2 ,ee+ +∞ 3 22 2,e ee − + + +∞ ( )π20cos sin dx x x+∫( )6 2 60 1 2 61 3x a a x a x a x+ = + + + + 2 4 6a a a+ + =2 214 3x y+ = 1F 2F 2F lP Q 1F PQ△{ }na nS 214a = 378S =na112 nS≤ 18.(12 分)如图,在正四面体 中,点 E,F 分别是 的中点,点 G,H 分别在上,且 , .(1)求证:直线 必相交于一点,且这个交点在直线 上;(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.19.(12 分)(1)已知 ,求 ;(2)求证:椭圆 的面积为 .20.(12 分)一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员,甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为 ,乙类人员应用这种勘探技术的精准率为 .每个勘探小组配备 1 名甲类人员与 2 名乙类人员,假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响,记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为 .(1)证明:在 各个取值对应的概率中,概率 的值最大;(2)在特殊的勘探任务中,每次只能派一个勘探小组出发,工作时间不超过半小时,如果半小时内无法完成任务,则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组 可派出,若小组 能完成特殊任务的概率 t; ,且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组,可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.A BCD− ,AB BC ,CD AD14DH AD= 14DG CD=,EH FG BDAB EFGH0a 2 2 daaa x x−−∫2 22 21( 0)x ya ba b+ = πab0.6 ( )0 0.4a a ξξ ( )1P ξ =( 1, 2,3)iA i = iA( ) ( )1,2,3it P i iξ= = =21.(12 分)已知函数 ( …是自然对数的底数).(1)若 在 内有两个极值点,求实数 a 的取值范围;(2) 时,讨论关于 x 的方程 的根的个数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程为( 为参数).以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,其中点 的极坐标为 .(1)求直线 以及曲线 的普通方程;(2)若直线 与曲线 交于 、 两点,求 的值.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知 , , 均为正数,函数 的最小值为 .(1)求 的最小值;(2)求证: .221( ) 2 ( )2xaxf x x x ae= + − ∈R 2.71828e =( )f x (0, 2)x ∈1a = 21 1( ) 2 | ln | ( )2 xf x x x b x bxe − + + = ∈  RxOy l1 3x ty t= −= −t C2cos2 2sinxyθθ= = +θ x Mπ1,2   l Cl C A B1 1MA MB−a b c ( ) | | | |f x x a x b c= − + + + 12 2 22 3 6a b c+ +2 2 2 2 2 2 32a ab b b bc c c ca a+ + + + + + + + 理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】解法一: , ,据此可得 ,故选 B.解法二:如图所示,设矩形 ABCD 表示全集 R,矩形区域 ABHE 表示集合 M,则矩形区域 CDEH 表示集合 ,矩形区域 CDFG 表示集合 N,满足 ,结合图形可得: ,故选 B.2.【答案】B【解析】令 中, ,得 ,所以 在复平面内对应的点为 ,因为 , ,所以 在复平面内对应的点在第二象限,故选 B.3.【答案】B【解析】因为 为奇函数,所以 , , 恒成立,, , 为 上的减函数,且 ,所以 , ,M N⊆Rð M N∴ ⊇ Rð ( )M N M∴ =R ðRMðM N⊆Rð( )M N M=R ði cos i sin ( )e θ θ θ θ= + ∈ R 2θ =2i cos 2 isin 2e = + 2ie (cos 2,sin 2)cos 2 0 sin 2 0 2ie( )( ) 2 2x xf x a a= − ≠( ) ( ) 0f x f x+ − = 2 2 0x x x xa a− −− + − = ( ) ( )12 1 02x xxaa − − =   ( )2 1xa = 12a = ( ) 2 2x xf x −= − R ( )0 0f =( ) 0f m 0m 因此,“ ”是“ ”的充分不必要条件,故选 B.4.【答案】D【解析】对于选项 A:2020 年外出务工收入为 万元,2019 年外出务工收入为 万元,所以 2020 年外出务工收入比 2019 年外出务工收入增加,故选项 A 不正确;对于选项 B:2020 年种植收入为 万元,2019 年种植收入为 万元,种植收入 2020 年增长是 2019 年的 倍,故选项 B 不正确;对于选项 C:2020 年养殖收入为 万元,2019 年其它收入为 万元,2020 年养殖收入与 2019 年其它收入并不持平,故选项 C 不正确;对于选项 D:2020 年其它收入为 万元,2019 年全部收入总和为 万元,所以 2020 年其它收入比 2019 年全部收入总和高,故选项 D 正确,故选 D.5.【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,设 ,点 ,则 表示点 与可行域内的点的连线的斜率.12m − ( ) 0f m 52 5% 2.6× =14 15% 2.1× =52 50% 26× =14 45% 6.3× =26 6.33.127 26.3− 52 5% 2.6× =14 5% 0.7× =52 40% 20.8× = 1413ykx+=−( )3, 1M −13ykx+=−M易知 , ,则 , ,结合图形可知 的取值范围为 ,所以 ,故 的最大值是 2,故选 C.6.【答案】A【解析】 ,令 ,则 为直线 上的动点,如图所示,,当 直线 时, 取得最小值,∵ , ,∴ ,故选 A.7.【答案】D【解析】由余弦定理得 , ,所以 ,又 , ,所以有 ,即 ,又 ,所以 ,由正弦定理得 ,得 .所以 外接圆的面积为 ,故选 D.( )2,1A ( )0, 3C − ( )1 1 22 3AMk− −= = −−( )3 1 20 3 3CMk− − −= =−13ykx+=−22,3 −  [ ]1 0,23ykx+= ∈−13yx+−| | | ( ) |AB t AC AB t AC+ = − −   ( )P t ACA −= P AC| | | ( ) | | | | |AB t AC AB t AC AB AP PB+ = − − = − =      PB ⊥ AC | |BP1AB =2π3A =min3| |2BP =2 2 2 2 cosb c a bc A+ − = 2a =2 2 4 2 cos+ − =b c bc A1sin2S bc A= 2 24 4S b c= + −14 sin 2 cos2bc A bc A× = sin cosA A=( )0, πA∈ π4A =22πsin sin4aRA= = 2R =ABC△ ( )2π 2 2πS = =8.【答案】A【解析】图象关于原点对称,为奇函数,C、D 中定义域是 ,不符合,排除;A、B 都是奇函数,当 时,A 中函数值为负,B 中函数值为正,排除 B,故选 A.9.【答案】A【解析】设公共点坐标为 ,则 , ,所以有 ,即 ,解得 ( 舍去),又 ,所以有 ,故 ,所以有 ,对 求导有 ,故 关于 的函数在 为增函数,在 为减函数,所以当 时, 有最大值 ,故选 A.10.【答案】C【解析】连接 ,如图,因为 , 分别为棱 , 的中点,所以 ,则 , , , 四点共面.连接 , ,设 , ,连接 ,0x (0,1)x ∈0 0( , )x y ( ) 3 2f x x a′ = −2( )ag xx′ =0 0( ) ( )f x g x′ ′=2003 2ax ax− =0x a= 0 3x a= −0 0 0( ) ( )y f x g x= =2 20 0 032 ln2x ax a x b− = +2 20 0 032 ln2b x ax a x= − − 2 21 ln2b a a a= − −b 2 (1 ln )b a a′ = − +b a1(0, )e1( , )e+∞1ae= b 212e1 1B DE F AB AD 1 1 //B D EF1B 1D E F1 1AC 1A D 1 1 1 1AC B D M=I 1 1A D D F N= MN则点 的轨迹为线段 ,易得 ,,且 ,所以 ,易知 ,所以 ,又 ,所以在 中,由余弦定理可得 ,所以 ,即点 的轨迹长度为 ,故选 C.11.【答案】B【解析】设 ,因为点 关于坐标原点 对称,所以 是线段 的中点,又因为以 为圆心的圆过 两点,所以有 ,因此有 ,因为点 关于坐标原点 对称, ,所以 .又因为以 为圆心的圆与直线 相切,所以有 ,把 、 代入 中,得 ,化简得 ,因此点 的轨迹是抛物线,该抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 ,,由抛物线的定义可知 ,所以有 ,由题意可知存在定点 ,使得当 运动时, 为定值,因此一定有 ,此时定点 是该抛物线的焦点 ,故选 B.Q MN 2 21 1 1 1 4A D A D DD= + =1 1A ND DNF: △△ 1 1 2A DFD=1 12 83 3A N A D= = 1 1 1 1 4AC C D A D= = = 1 1 60C A D∠ = °1 2A M =1A MN△2 2 21 1 1 1 1522 cos9MN A N A M A N A M MA N= + − ⋅ ∠ =2 133MN = Q 2 133( , )M x y ,A B O O ABM ,A B OA OM⊥2 2 2OM OA MA+ =,A B O 2AB = 1OA =M 1y = 1MA y= −1OA = 1MA y= − 2 2 2OM OA MA+ =22 2 1 1x y y+ + = − 2 2 ( 0)x y y= − ≤ M1(0, )2F − 12y =1 1 1 11 12 2 2 2MA MP y MP y MP y MP y MP− = − − = − − = − − + = − − +12y MF− =12MA MP MF MP− = − +P A MA MP−MF MP= P1(0, )2F −12.【答案】B【解析】由 ,得 ,设 , ,则 ,从而有 .又因为 ,所以 , , ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 .因为不等式 恒成立,所以 ,即 ,又因为 ,所以 ,故选 B.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】2【解析】 ,故答案为 2.14.【答案】【解析】令 ,则 ,由题意可得 ,所以, ,2( ) 1( )f xf xx x′ + = 1( ) ( )xf x f xx′ + =( ) ( )g x xf x= 1( ) ( ) ( )g x xf x f xx′ ′= + =( ) lng x x c= + ln( ) x cf xx+=1 2( )cf ee e+= = 1c =ln 1( )xf xx+=2ln( )xf xx−′ =( )f x (0,1) (1, )+∞ max( ) (1) 1f x f= =( )2 0f x axx x− − + ≤ 2( ) 2 0f x x x a− + − ≤2( ) ( 1) 1f x x a− − + ≤2( ) ( 1) 1 2f x x− − + ≤ 2a ≥( ) ( )π20sin cos sin cos sin 0 cos 0 22ππ πcos sin d2 20x x x x x= − = − −+ + =∫2079( ) ( )61 3f x x= + ( ) 00 1f a= =( )( ) ( )60 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 61 41 2f a a a a a a af a a a a a a a = + + + + + + =− = − + − + − + = −( ) ( ) ( )66 11 50 2 4 61 1 4 22 2 2048 32 20802 2f fa a a a+ − + −+ + + = = = + = + =因此, ,故答案为 .15.【答案】6【解析】由题意可知,按如图所示的走法(走法不唯一),需要 6 步从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处,故答案为 6.16.【答案】【解析】令直线 ,与椭圆方程联立消去 得 ,可设 , ,则 , .可知 ,又 ,故 .三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍,则内切圆半径 ,其面积最大值为 ,故本题应填 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算2 4 6 2080 1 2079a a a+ + = − = 20799π16: 1l x my= + x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 263 4my ym+ = −+ 1 2 293 4y ym= −+( )( )1221 2 1 2 1 2 1 2 221 14 122 3 4F PQmS F F y y y y y ym+= − = + − =+△( ) ( )222 221 1 11 163 4 9 1 61mm mm+ = ≤+ + + ++13F PQS ≤△12 38 4F PQSr = ≤△9π169π16步骤.17.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)解:设等比数列 的公比为 q,由 ,得 ,解得 或 (舍去),所以 .(2)证明:由(1)得 ,所以 .因为 在 R 上为减函数,且 恒成立,所以当 ,即 时, ,所以 .18.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)因为 , , , ,所以 且 ,故 E,F,G,H 四点共面,且直线 必相交于一点,设 ,因为 , 平面 ,所以 平面 ,同理: 平面 ,而平面 平面 ,故 平面 ,即直线 必相交于一点,且这个交点在直线 上.12nna =   { }na231478aS = =2141 1 1 74 4 4 8aqq = + + =21412aq = =2142aq = =21 1 14 2 2n nna−   = × =      12nna =   1 112 2 111 212nnnS  −       = = −   −12xy =   102xy =   *n ∈ N 1n ≥1 102 2n  ≤1 11 12 2nnS ≤ = −   63//EF AC //GH AC12EF AC= 14GH AC=//GH EF12GH EF=,EH FG=EH FG M M EH∈ EH Ü ABD M ∈ ABDM ∈ BCD ABD  BCD BD=M ∈ BCD ,EH FG BD(2)取 的中点 O,则 , ,所以 平面 ,不妨设 ,则 , ,所以 ,以 O 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , , , ,故 , , , ,设平面 的法向量为 ,由 ,可得 ,令 ,则 ,则 ,故直线 与平面 所成角的正弦值为 .19.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)令 ,得 ,的几何意义是求以 为圆心,半径为 的半圆的面积,.BD BD OA⊥ BD OC⊥ BD ⊥ AOC4 3OD = 8 3BD AC= = 12AO CO= =144 144 192 1cos2 12 12 3+ −∠ = =× ×AOC(4,0,8 2)A (0, 4 3,0)B − (12,0,0)C (6, 2 3,0)F − (3,3 3,0)G(4,4 3,8 2)=BA ( 3,5 3,0)= −FG (8,0, 8 2)= −AC (4,0, 4 2)= −EFEFGH ( , , )x y z=n00EFFG ⋅ =⋅ =nn3 5 02 0x yx z− + =− =5 2x = (5 2, 6,5)=n18 2 6cos ,3| || | 9 2 3BABABA⋅ = = =×nnnAB EFGH6321 π2a2 2 ( )y a x a x a= − − ≤ ≤ 2 2 2( , 0)x y a a x a y+ = − ≤ ≤ ≥2 2 daaa x x−−∫ (0,0) a2 2 21d π2aaa x x a−∴ − =∫(2)先求半椭圆 的面积,由 ,可得 ,由(1)可知, ,半 椭 圆 的 面 积 为,根据椭圆的对称性可知,椭圆 的面积为 ,得证.20.【答案】(1)证明见解析;(2)按照完成任务概率从大到小的 的先后顺序派出勘探小组.【解析】(1)由已知, 的所有可能取值为 0,1,2,3,,,,.∵ ,∴ ,,,∴概率 的值最大.(2)由(1)可知,当 时,有 的值最大,且 ,2 22 21( 0, )x yy a x aa b+ = ≥ − ≤ ≤2 22 21( 0)x yya b+ = ≥22 2 2 22b by b x a xa a= − = −2 2 21d π2aaa x x a−− =∫∴2 22 21( 0, )x yy a x aa b+ = ≥ − ≤ ≤22 2 2 2 221 1d d π π2 2a aa ab b bb x x a x x a aba a a− −− = − = × =∫ ∫∴2 22 21( 0)x ya ba b+ = πab1 2 3, ,A A Aξ2 2( 0) (1 0.6) (1 ) 0.4(1 )P a aξ = = − ⋅ − = −2 12( 1) 0.6(1 ) (1 0.6) C (1 ) 0.2(1 )(3 )P a a a a aξ = = − + − ⋅ − = − +1 22( 2) 0.6 C (1 ) (1 0.6) 0.4 (3 2 )P a a a a aξ = = ⋅ − + − = −2( 3) 0.6P aξ = =0 0.4a ( 1) ( 0) 0.2(1 )(1 3 ) 0P P a aξ ξ= − = = − + ( )2( 1) ( 2) 0.2 3 8 3 0P P a aξ ξ= − = = − + ( )2( 1) ( 3) 0.2 4 2 3 0P P a aξ ξ= − = = − + − ( 1)P ξ =0 0.4a 1 ( 1)t P ξ= =2 3 ( 2) ( 3) 0.2 (6 7 ) 0t t P P a aξ ξ− = = − = = − ∴ .∴应当以 的顺序派出勘探小组,可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小,即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.证明如下:假定 为 的任意一个排列,即若三个小组 按照某顺序派出,该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为 ,记在特殊勘探时所需派出的小组个数为 ,则 ,且 的分布列为1 2 3P∴数学期望 .下面证明 成立,∵.∴按照完成任务概率从大到小的 的先后顺序派出勘探小组,可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.21.【答案】(1) ;(2)答案见解析.【解析】(1)由题意可求得 ,因为 在 内有两个极值点,所以 在 内有两个不相等的变号根,即 在 上有两个不相等的变号根.1 2 3t t t 1 2 3, ,A A A1 2 3, ,p p p ( )1 2 3 1 2 3, ,t t t t t t ( 1, 2,3)iA i =1 2 3, ,p p pη 1,2,3η = ηη1p ( )1 21 p p− ( )( )1 21 1p p− −( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 1 3 1 1 3 2E p p p p p p p p pη = + − + − − = − − +1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 2 3 2E p p p p t t t tη = − − + ≥ − − +( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 23 2 3 2p p p p t t t t− − + − − − +( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 t p t p p p p t p t t t= − + − + − + −( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 2 1 12 t p t p p p t t p t= − + − + − + −( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 22 1 1 1t t p p t p p t p p t p= − − + − − ≥ − − + − −( ) ( ) ( )1 1 2 1 21 0p t t p p= − + − + ≥  1 2 3, ,A A A22ee a ( ) ( )22 ( 2)( ) 2xx xa x x x e axf x xe e− − −′ = + − =( )f x (0, 2)x ∈ ( ) 0f x′ = (0, 2)x ∈0xe ax− = (0, 2)x ∈设 ,则 ,①当 时, , ,所以 在 上单调递增,不符合条件;②当 时,令 ,得 ,当 ,即 时, , ,所以 在 上单调递减,不符合条件;当 ,即 时, , ,所以 在 上单调递增,不符合条件;当 ,即 时, 在 上单调递减, 上单调递增,若要 在 上有两个不相等的变号根,则 ,解得 ,综上所述, .(2)设 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减.(ⅰ)当 时, ,则 ,所以 .因为 , ,所以 ,因此 在 上单调递增;(ⅱ)当 时, ,则 ,( ) xg x e ax= − ( ) xg x e a′ = −0a ≤ (0, 2)x ∈ ( ) 0xg x e a′ = − ( )g x (0, 2)0a ( ) 0xg x e a′ = − = lnx a=ln 2a ≥ 2a e≥ (0, 2)x ∈ ( ) 0xg x e a′ = − ( )g x (0, 2)ln 0a ≤ 0 1a ≤ (0, 2)x ∈ ( ) 0xg x e a′ = − ( )g x (0, 2)0 ln 2a 21 a e ( )g x (0, ln )a (ln , 2)a0xe ax− = (0, 2)x ∈(0) 0(2) 0(ln ) 00 ln 2ggg aa   22ee a 22ee a 221 1( ) | ln | ( ) 2 | ln | , (0, )2 x xxh x x f x x x b x b xxe e = − − + − = − − ∈ +∞  2xxye=21 2xxye−′ =2xxye=10,2   1,2 +∞  (1, )x ∈ +∞ ln 0x 2( ) ln xxh x x be= − −22( ) 2 1xx eh x e xx−  ′ = + −  2 1 0x − 20xex ( ) 0h x′ ( )h x (1, )+∞(0,1)x ∈ ln 0x 2( ) ln xxh x x be= − − −所以 .因为 , , , ,即 ,又 ,所以 ,因此 在 上单调递减.综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当 时, ,当 ,即 时, 没有零点,故关于 x 的方程根的个数为 0;当 ,即 时, 只有一个零点,故关于 x 的方程根的个数为 1;当 ,即 时,①当 时, ,要使 ,可令 ,即 ;②当 时, ,要使 ,可令 ,即 ,所以当 时, 有两个零点,故关于 x 的方程根的个数为 2,综上所述:当 时,关于 x 的方程根的个数为 0;当 时,关于 x 的方程根的个数为 1;当 时,关于 x 的方程根的个数为 2.22.【答案】(1) , ;(2) .【解析】(1)在 的参数方程中消去参数 可得 ,在曲线 的参数方程中,可得 ,,即 ,22( ) 2 1xx eh x e xx−  ′ = − + −  ( )2 21,xe e∈ 2 1xe 0 1x 21xex∴ 21xex− −2 1 1x − 22( ) 2 1 0xx eh x e xx′ −  = − + −   ( )h x (0,1)(0, )x ∈ +∞ 2( ) (1)h x h e b−≥ = − −2(1) 0h e b−= − − 2b e− − ( )h x2(1) 0h e b−= − − = 2b e−= − ( )h x2(1) 0h e b−= − − 2b e− −(1, )x ∈ +∞221( ) ln ln ln 1xxh x x b x b x be e = − − − + − −  ( ) 0h x ln 1 0x b− − ( )1 ,bx e +∈ +∞(0,1)x ∈ 121( ) ln ln ln 12xxh x x b x e b x be− = − − − ≥ − − + − − −  ( ) 0h x ln 1 0x b− − − ( )10, bx e− −∈2b e− − ( )h x2b e−= −2b e−= −2b e− −: 3 1l y x= + 2 2: 4 0C x y y+ − = 33l t 3 1y x= +C2cos2 2sinxyθθ= − =( ) ( ) ( )2 2 22 2 2cos 2sin 4x y θ θ∴ + − = + = 2 2 4 0x y y+ − =所以,直线 的普通方程为 ,曲线 的普通方程为 .(2)易知点 ,设直线 的参数方程为 ( 为参数),设点 、 对应的参数分别 、 ,将直线 的参数方程代入 ,得 ,,所以 , .由于直线 过 ,故 .23.【答案】(1)1;(2)证明见解析.【解析】(1) ,,,即 的最小值为 .(2) ,, ,因此.l 3 1y x= + C 2 2 4 0x y y+ − =( )0,1M l12312x ty t = = +tA B 1t 2tl 2 2 4 0x y y+ − = 2 3 3 0t t− − =3 4 3 15Δ = + × = 1 2 3t t = − 1 2 3t t+ =l ( )0,1M 1 21 21 1 33MA MtBtt t+− = =( ) | | | |f x x a x b c= − + + + ≥ | | | |x a x b c a b c− − − + = + + 1a b c= + + =( )22 2 21 1 1 1 1 12 3 6 2 3 6 12 3 6 2 3 6a b c a b c  ∴ + + + + ≥ × + × + × =      2 2 22 3 6 1a b c∴ + + ≥ 2 2 22 3 6a b c+ + 122 2 23 2 32 4 2 2 2b b ba ab b a b a  + + = + + ≥ + +       2 2 2 32 2 2c cb bc c b∴ + + ≥ + +   2 2 2 32 2 2a ac ca a c+ + ≥ + +   2 2 2 2a ab b b bc c+ + + + + 2 2c ca a+ + +232 2 2a b c a b ca b c+ + + + ≥ + + + + ×  2 3 3 32 2 2 2= +   

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