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全国I卷2021届高三理科数学第二次模拟试卷(二)(Word版附答案)

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2021 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学(二)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ,集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 与 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且 ,则 ( )A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框内可以填( )A. B. C. D.4.已知函数 ,则“ ”是“ 为奇函数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数 的部分图象如图所示.给出下列结论:① , , ;② , ;③点 为 图象的一个对称中心;④ 在 上单调递减.其中所有正确结论的序号是( )A.①② B.②③ C.③④ D.②④6.在 中, , , , ,则 ( )A. B. C. D.7.已知一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.8.已知数列 的前 项和为 , , ,则 ( ){ }1 1A x x= ∈ − ≤N { }1,2B = − ( )U A B =ð{ }2− { }1− { }1,3− { }1,2,3−1z 2z ( ) 1 3ii 42 z = −− 2z =2 i− 2 i+ 2 i− + 2 i− −i 131?S 2.5?S 3?S 4?S ( ) 1 1f x x a x= − + + 1a = − ( )f x( ) ( ) ( )sin 0, 0, πf x A x b Aω ϕ ω ϕ= + + 2A = 1ω = 1b = −2A ω= = 1b = −2π, 13 −  ( )f x( )f x 23π 17π,12 12 − −  ABC△ 1AB = 2AC = 2BD DC= 3AD AC⋅ = cos BAC∠ =121432563π28 2π38 3π38π{ }na n nS 2n nS n a= 1 1a = nS =此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A. B. C. D.9.如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机的向两边等概率的下落,当有大量的小球都滚下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下,落到 号位置的概率是( )A. B. C. D.10.已知函数 满足 和 ,且当 时,,则 ( )A.0 B.2 C.4 D.511.已知双曲线 的焦点在 ,过点 的直线与两条渐近线的交点分别为 M、N 两点(点 位于点 M 与点 N 之间),且 ,又过点 作 于 P(点 O 为坐标原点),且 ,则双曲线 E 的离心率 ( )A. B. C. D.12.已知函数 ,若 恰有四个不同的零点,则 a 取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13. 的展开式中 的系数是______.(用数字作答)14.已知函数 ,过点 作曲线 的切线 l,则直线 l 与曲线 及 y 轴围成的图形的面积为___________.15.若实数 , 满足不等式组 ,则 的最大值为________.16.已知圆 , , 是圆上两点,点 且 ,则 最大值是______.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)数列的 前 项和为 ,点 在函数 的图象上.(1)求数列 的通项公式;(2)令 ,求数列 的前 项和 .21nn + ( )2221nn +22 1nn−22 1nn −3116143818( )y f x= ( ) ( )111f xf x+ =− ( )2 ( 1)f x f x− = +1 3,2 2x ∈   ( ) 2 2f x x= + ( )2018f =2 22 2: 1( 0, 0)x yE a ba b− = 1F 1F1F 13MN F N= 1F 1F P OM⊥| | | |ON OP= e =5 32 3362( ) xf x x e= ( ) ( ) ( )2 1g x f x af x= − +( )2,+∞ 1 ,ee + +∞  12,ee +  1,e +∞  71xx −  1x−( ) xf x e= (1,0) ( )y f x= ( )y f x=x y2 02 02x yx yx+ − ≥ − + ≥ ≤4 2x yz = ⋅2 2: 4O x y+ = A B ( )1,2P PA PB⊥ AB{ }na n nS ( )( )*, nn S n∈ N 21 12 2y x x= +{ }na11nn nba a +=+ { }nb n nT18.(12 分)甲、乙两组各有 位病人,且 位病人症状相同,为检验 、 两种药物的药效,甲组服用 种药物,乙组服用 种药物,用药后,甲组中每人康复的概率都为 ,乙组三人康复的概率分别为 、 、 .(1)设甲组中康复人数为 ,求 的分布列和数学期望;(2)求甲组中康复人数比乙组中康复人数多 人的概率.19.(12 分)在如图所示的圆柱 中, 为圆 的直径, , 是 的两个三等分点,, , 都是圆柱 的母线.(1)求证: 平面 ;(2)若 ,求二面角 的余弦值.20.(12 分)已知动圆 与 轴相切且与圆 相外切,圆心 在 轴的上方, 点的轨迹为曲线 .(1)求 的方程;(2)已知 ,过点 作直线交曲线 于 两点,分别以 为切点作曲线 的切线相交于 ,当 的面积 与 的面积 之比 取最大值时,求直线 的方程.21.(12 分)已知函数 .(1)当 时,讨论函数 的单调性;3 6 A BA B 0.80.9 0.75 0.75X X21 2O O AB 1O C D »ABEA FC GB 1 2O O1FO∥ ADE2BC FC= = B AF C− −P x ( )22 2 4x y+ − = P x PCC( )4, 2E (0, 4) C ,A B ,A B CD ABE△ 1S ABD△ 2S12SSAB( ) ( )2 6 3lnf x ax a x x= − + +0a ≤ ( )f x(2)当 时,关于 的不等式 有解,求 的最大值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】已知某曲线 的参数方程为 ( 为参数).(1)若 是曲线 上的任意一点,求 的最大值;(2)已知过 的右焦点 ,且倾斜角为 的直线 与 交于 两点,设线段的中点为 ,当 时,求直线 的普通方程.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 , .(1)若关于 的不等式 的整数解有且仅有一个值 ,当 时,求不等式 的解集;(2)已知 ,若 , ,使得 成立,求实数 的取值范围.92a ≤ − x ( ) 0f x ax b+ − ≥ bC2cossinxyϕϕ= =ϕ( ),P x y C 2x y+C F 02πα α ≤   l C ,D E DEM3 1 116FMFE FD + =   l( ) | | | 2 | ( )f x x k x k= − + + ∈ R ( ) | 2 | ( )g x x m m= + ∈ Zx ( ) 1g x ≤ 4− 1k = ( )f x m≤2( ) 2 3h x x x= − + 1x∀ ∈ R 2 (0, )x∃ ∈ +∞ 1 2( ) ( )f x h x≥ k理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】由题可得 ,则 ,因此 ,故选 B.2.【答案】C【解析】 ,又复数 与 在复平面内对应的点关于虚轴对称,所以 ,故选 C.3.【答案】A【解析】执行给定的程序框图,可得:第 1 次循环: ;第 2 次循环: ;第 3 次循环: ;第 4 次循环: ;第 5 次循环: ;第 6 次循环: ,要使得输出的结果为 ,结合选项,判断框内可以填 ,故选 A.4.【答案】C【解析】若函数 为奇函数,且函数 的定义域为 ,,,解得 ,所以,“ ”是“ 为奇函数”的充分必要条件,故选 C.5.【答案】D【解析】由图象可知, , ,{ }0,1,2A = { }1,3U A = −ð ( ) { }1U A B = −ð( )( )( )14 3i 5 2 i2 i2 i 2 i 2 iz− += = = +− + −1z 2z 2 2 iz = − +2018, 3S i= =2018, 53S i= = 2018 , 715S i= =2018, 9105S i= = 2018 , 11935S i= =20181, 1310285S i= =13 1?S ( )f x ( )f x R( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1f x f x x a x x a x x a x x a x+ − = − + + + − − + − + = − + + + + + −( )( )1 1 1 0a x x= + − + + =1 0a∴ + = 1a = −1a = − ( )f x( )1 322A− −= = ( )1 3 12b+ −= = −再由 ,得 ,故①不正确,②正确;由于 为 图象的一个对称中心,又 的最小正周期为 ,故其全部的对称中心为 ,当 时,对称中心为 ,故③错误;由于 为 的单调递减区间, 的最小正周期为 ,故 的单调递减区间为 ,当 时,即为 ,故④正确,故选 D.6.【答案】A【解析】因为 ,所以 ,解得 ,故选 A.7.【答案】B【解析】如图,三视图的直观图为三棱锥为 ,且 , ,按如图所示放在长方体中,则其外接球的直径等于长方体的对角线长,且 ,因为长方体的对角线长为 ,则外接球半径为 ,且体积为 ,故选 B.π π 1 2π3 12 4 ω− = × 2ω =π, 13 −  ( )f x( )f x π ( )π π , 13 2kk + − ∈  Z1k =5π, 16 −  π 7π,12 12   ( )f x ( )f x π( )f x ( )π 7ππ, π12 12k k k + + ∈  Z2k = −23π 17π,12 12 − −  2 2 1 2( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC= + = + = + − = +         1cos2BAC∠ =A BCD− 2DB = 1CD =3AE =2 2 2 4 1 3 2 2AD DB CD AE= + + = + + =2 ( )34 8 2π 2 π3 3× × =1 2 1 2 1 81 2 cos 33 3 3 3 3 3AD AC AB AC AC AB AC AC BAC ⋅ = + ⋅ = ⋅ + = × × × ∠ + =         8.【答案】A【解析】当 时, ,则 ,且 ,即 ,所以 .两式作差得 ,即 ,即 ,所以 ,即 .则 ,所以 ,故选 A.9.【答案】C【解析】当小球经过第 层时,第一次碰到钉子,向左或向右滚下的概率均为 ,所以, .当小球经过第 层时,共碰到 次钉子,要使得小球经过第 号通道,必须满足 次向右、次向左滚下,所以, ,同理可得 .要使得小球经过 号位置(即第 层 号通道),可由第 层 号通道向右滚下、也可以由第层 号通道向左滚下,因此, ,故选 C.10.【答案】C2n ≥ 2 ,n nS n a=21 1( 1)n nS n a+ += +22 22S a=2 21 4a a+ = 213a =2 21 1( 1)n n n nS S n a n a+ +− = + −2 21 1( 1)n n na n a n a+ += + − ( ) 12 n nn a na++ =12nna na n+ =+( )1121nna nna n−−= ≥+1 11 1 1 1 2) 2(1 )1 12(12 3 12nnSn n n n− = − =+ += − + − + ++212( ) ( )2 211 22P P= =4 3 2 1 2( )314 31 32 C2 8P = ⋅ =  ( )4338P =3 5 3 4 2 43( ) ( ) ( )5 4 41 1 33 2 32 2 8P P P= + =( )1 2 32 21 2 3 21 2 3 2 2 1 12( )1 1 4 1 1n n nnn n na a a a n n na a aa a a a n n n n n n n− −− − −− − −= ⋅ ⋅ ⋅… ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅… ⋅ = = −+ − + +【解析】函数 满足 和 ,可函数是以 为周期的周期函数,且关于 对称,又由当 时, ,所以 ,故选 C.11.【答案】C【解析】由题意,可得如下示意图:其中, ,知 ,又 , ,即 且 ,∴ 中,有 ,得 ,∴在 中, ,若 与 x 轴夹角为 ,即 ,∴ ,由 ,即可得 ,故选 C.12.【答案】B【解析】函数 ,( )y f x= ( )y f x=1( 1)( 1)f xf x+ =−(2 ) ( 1)f x f x− = +432x =1 1,2 3x ∈   ( ) 2 2f x x= +(2018) (504 4 2) (2) (1) 2 1 2 4f f f f= × + = = = × + =| | | |ON OP= 1 1OPF ONF≅△ △1F P OM⊥ 13MN F N= 1F N ON⊥ 11 1 3 2F MMNF N F P= = =1MPFRt△1111sin2F PPMFF M∠ = =1π6PMF∠ =MNORt△π3MON∠ = by xa= α 2 π3α =3tan3baα = =2 2 2+ =a b c 2 33cea= =( ) , 0, 0xxxxe xf x x exe x ≥= = − , , ,因此 时,函数 单调递增;, , ,可得函数 在 单调递增;在 单调递减,可得: 在 时,函数 取得极大值, .画出图象:可知: .令 ,① 时,函数 无零点;② 时,解得 或 ,时,解得 ,此时函数 只有一个零点,舍去,,由 ,可知:此时函数 无零点,舍去;③ ,解得 或 ,解得 , .时, , .此时函数 无零点,舍去;因此 ,可得 .由 恰有四个不同的零点,0x ≥ ( ) xf x xe= ( ) ( )1 0xf x x e′ = + 0x ≥ ( )f x0x ( ) xf x xe= − ( ) ( )1 xf x x e′ = − + ( )f x ( ), 1−∞ −( )1,0−( )f x 1x = − ( )f x ( ) 11fe− =( ) 0f x ≥( ) ( )2 1 0f x af x− + =2 4 0Δ a= − ( )g x0Δ = 2a = 2−2a = ( ) 1f x = ( )g x2a = − ( ) 0f x ≥ ( )g x2 4 0Δ a= − 2a 2a −( )2 42a af x− −= ( )2 42a af x+ −=2a −2 402a a− − 2 402a a+ − ( )g x2a 2 24 40 12 2a a a a− − + − ( ) ( ) ( )2 1g x f x af x= − +∴ , , ,解得 ,则 a 取值范围为 ,故选 B.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】【解析】由题设二项式知: ,∴ 项 ,即 ,∴系数为 ,故答案为 .14.【答案】【解析】由 ,过点 作曲线 的切线 l,设切点为 ,则 ,所以切线 的方程为 ,由切线过点 ,则 ,解得 ,所以切线 的方程为 ,直 线 l 与 曲 线 及 y 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 为,故答案为 .15.【答案】256【解析】作出可行域,如图 内部(含边界), ,令 ,作直线 ,在直线 中 为直线的纵截距,直线向上平移时增大,2a 2 4 102a ae− − 2 412a a+ −1a ee +1,ee + +∞  35−7 3721 7 71C ( ) ( 1) Crrr r r rrT x xx−−+ = ⋅ ⋅ − = − ⋅1x− 3r = 3 3 1 14 7( 1) C 35T x x− −= − ⋅ = −35− 35−2 1e −( ) xf x e′ = (1,0) ( )y f x=( )00 , xx e 0xk e= l ( )0 0 0− = −x xy e e x x(1,0) ( )0 0 01x xe e x− = − 0 2x =l 2 2y e x e= −( )y f x=( )( )22 2 2 2 2 2021d 102x xe e x e x e e x e x e  − − = − − = −    ∫2 1e −ABC△ 24 2 2x y x yz += ⋅ =2= +t x y : 2 0l x y+ = 2= +t x y tt所以平行直线 ,当直线 过点 时, ,所以 ,故答案为 256.16.【答案】【解析】如图所示,设 是线段 的中点,则 ,因为 ,于是 ,在 中, , , ,由勾股定理得 ,整理得 ,故 的轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,故 ,l l (2, 4) max 2 2 4 8t = × + =8max 2 256z = =5 3+( ),R x y AB OR AB⊥PA PB⊥1| | = | | = | |2PR AB RBORBRt△ 2OB = 2 2OR x y= + ( ) ( )2 21 2RB RP x y= = − + −( ) ( )2 22 2 22 1 2x y x y= + + − + −( )221 312 4x y − + − =  ( ),R x y 1 ,12C   32r =min1 3 5 314 2 2 2OR OC r= − = + − = −又由圆的弦长公式可得,故答案为 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意知:点 ( )均在二次函数 的图象上,故 ,,当 时, ,当 时, ,也适合上式.所以 .(2) ,.18.【答案】(1)分布列见解析,期望为 ;(2) .【解析】(1)由题意可知, ,所以, , ,, ,所以,随机变量 的分布列如下表所示:( )22max max min 5 32 2 2 4 2 2AB BR OB OR = = − = − −   8 2 15 5 3= + = +5 3+na n= 1 1nT n= + −( ), nn S *n∈ N 21 12 2y x x= +21 12 2nS n n= +( ) ( )2111 1 ( 22 21)nS n n n− += − − ≥,2n ≥ ( ) ( )2211 1 11 12 2 2 21n n na S S n n n n n−   = − + − − =      = − +1n = 1 1a =na n=11 111nn nb n na a n n+= = = + −+ + +( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 2 4 3 1n nT b b b n n= + + + = − + − + − + + + − 1 1n= + −( ) 2.4E X = 631250( )~ 3,0.8X B( ) 30 0.2 0.008P X = = = ( ) 1 231 C 0.8 0.2 0.096P X = = × × =( ) 2 232 C 0.8 0.2 0.384P X = = × × = ( ) 33 0.8 0.512P X = = =XX 0 1 2 3因此, .(2)设乙组中康复人数为 ,记事件 甲组中康复人数比乙组中康复人数多 人,, ,则 .19.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)连接 , ,因为 , 是半圆 的两个三等分点,所以 ,又 ,所以 , , 均为等边三角形,所以 ,所以四边形 是平行四边形,所以 ,又因为 , 平面 , 平面 ,所以 平面 .因为 , 都是圆柱 的母线,所以 ,又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .又 平面 , ,所以平面 平面 ,又 平面 ,所以 平面 .(2)连接 ,因为 是圆柱 的母线,所以 圆柱 的底面,因为 为圆 的直径,所以 ,所以直线 , , 两两垂直,以 为原点建立空间直角坐标系如图:P 0.008 0.096 0.384 0.512( ) 3 0.8 2.4E X = × =Y :A 2( )21 1 1010 4 160P Y = = × =  ( )2129 1 1 3 1 15110 4 4 4 10 160P Y C = = × + ⋅ ⋅ ⋅ =  2171O C 1O DC D »AB 1 1 1 60AO D DO C CO B∠ = ∠ = ∠ = °1 1 1 1O A O B O C O D= = =1AO D△ 1CO D△ 1BO C△1 1O A AD DC O C= = = 1ADCO 1CO AD∥1 1O A AD DC O C= = = 1CO ⊄ ADE AD ⊂ ADE1CO∥ ADEEA FC 1 2O O EA FC∥⊄FC ADE EA ⊂ ADE FC∥ ADE1,CO FC ⊂ 1FCO 1CO FC C=1FCO∥ ADE1FO ⊂ 1FCO 1FO∥ ADEACFC 1 2O O FC ⊥ 1 2O OAB 1O 90ACB∠ = °CA CB CF C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 48 1 64 15 632 0 3 1125 160 125 160 1250P A P X P Y P X P Y= = = + = = = × + × =因为 ,所以 , , , ,, ,由题知平面 的一个法向量为 ,设平面 的一个法向量为 ,则 ,令 , , ,∴ .所以 .由图可知,二面角 的平面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 .20.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意知, 到点 的距离等于它到直线 的距离,由抛物线的定义知,圆心 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线(除去坐标原点),则 的方程为 .(2)由题意知, 在曲线 上,直线 的斜率存在,设 方程为 ,因为直线 不经过 点,所以 .2BC FC= = ( )0,0,0C ( )2 3,0,0A ( )0, 2,0B ( )0,0,2F( )2 3,2,0AB = − ( )2 3,0,2AF = −ACF ( )0,2,0CB =uurABF ( ), ,x y z=n 2 3 2 02 3 2 0AB x yAF x z ⋅ = − + =⋅ = − + =nn1x = 3y = 3z = ( )1, 3, 3=n2 3 21cos ,72 7CBCBCB⋅= = =nnnB AF C− −B AF C− − 217( )2 8 0x y x= ≠ 4 0x y− + =P (0, 2) 2y = −P (0, 2) 2y = −C ( )2 8 0x y x= ≠( )4,2E C ABAB 4y kx= +AB E12k ≠ −由 ,可得 ,设 , ,则 , ,以 为切点的切线方程为 ,即 ,同理以 为切点的切线为 ,由 ,故两式做差整理得 ,所以 ,两式求和整理得 ,故 ,所以交点 ,设 到 的距离为 , 到 的距离为 ,则 ,设 ,则 ,当 ,即 时, 取最大值,直线 的方程为 .21.【答案】(1)在 上单调递增,在 上单调递减;(2) .【解析】(1)函数 的定义域为 ,248y kxx y= + =2 8 32 0x kx− − =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 8x x k+ = 1 2 32x x⋅ = −A ( )11 14xy y x x− = −21 14 8x xy x= −B22 24 8x xy x= −21 122 24 84 8x xy xx xy x= − = −2 21 2 1 24 4 8 8x x x xx − = −  1 2 42x xx k+= =( )22 2 1 2 1 21 1 2 12 2 22 84 8 4 8xx x x xx x x xx xxy+ −= − = −+ + =+4y =( )4 , 4D k −E AB 1d D AB 2d21 12 22 224 2 42 114 4 4 2 41kkS d kS d k kk− +++= = =+ + ++( )2 1 0k t t+ = ≠ 12292SStt=+ −3t = 1k = 12SSAB 4 0x y− + =10,2   1,2 +∞  53ln32− −( )f x ( )0,+∞., .当 时, ;当 时, ,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.(2)设 ,则 .当 时, 有两个根 ,不妨令 ,又 , , ,由题意舍去 .当 时, ;当 时, ,在 上单调递增,在 上单调递减,存在 使 成立,,即 .又 , ,, , ,.令 ,则 .函数 在 上单调递增,23 2 (6 ) 3 (2 1)( 3)( ) 2 (6 )ax a x x axf x ax ax x x− + + − −′ = − + + = =0a ≤ 3 0ax∴ − 10,2x ∈  ( ) 0f x′ 1 ,2x ∈ +∞  ( ) 0f x′ ∴ ( )f x 10,2   1,2 +∞  2( ) ( ) 6 3lng x f x ax b ax x x b= + − = − + −23 2 6 3( ) 2 6ax xg x axx x− +′ = − + = 0a 22 6 3 0ax x− + = 1 2,x x 1 2x x1 2302x xa= 1 0x∴ 2 0x 1x ( )20,x x∈ ( ) 0g x′ ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ ( )g x∴ ( )20, x ( )2 ,x +∞ 0x ( ) 0f x ax b+ − ≥( ) 2max 2 2 2 2( ) 6 3ln 0g x g x ax x x b∴ = = − + − ≥ 22 2 26 3lnax x x b− + ≥22 22 6 3 0ax x− + =2226 32xax−∴ =92a ≤ − 2 226 3 92 2xx−∴ ≤ −2103x∴ ≤2 222 2 2 2 2 2 2 2226 3 36 3ln 6 3ln 3 3ln2 2xb ax x x x x x x xx−∴ ≤ − + = ⋅ − + = − + −3 1( ) 3 3ln 02 3h x x x x = − + − ≤  3 3( ) 0xh xx−′ = ∴ ( )h x 10,3   ,即 得最大值为 .22.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)依题意得 , ,,当 ,即 时, , ,的最大值为 .(2) , ,由于 ,整理得 .由直线 的倾斜角为 ,依题意易知: ,可设直线 的参数方程为 ( 为参数),代 ,得到 ,易知 ,设点 和点 对应的参数为 和 ,所以 , ,则 ,由参数的几何意义: ,, ,max1 5( ) 3ln33 2h x h ∴ = = − −  b53ln32− −2 2 5 2 15 0x y− − =2cosx ϕ= siny ϕ=2 2cos 2sin 2 24πsinx y ϕ ϕ ϕ + = + = +  2 π π ,4 2πk kϕ + = + ∈ Z4π2 πkϕ = + k ∈ Z sin 14πϕ + =  2x y+ 2 22cosx ϕ= siny ϕ=2 2cos sin 1ϕ ϕ+ =22 14xy+ =l 02πα α ≤   ( )3,0Fl3 cossinx ty tαα = +=t22 14xy+ = ( )2 21 3sin 2 3 cos 1 0t tα α+ + − =( )2 212cos 4 1 3sin 16 0Δ α α= + + = D E 1t 2t1 2 22 3 cos1 3sint tαα−+ =+ 1 2 2101 3sint tα= − +( )21 2 1 2 1 2 2441 3sint t t t t tα− = + − =+1 21 2 1 2| |1 1 1 14| | | | | | | | | |t tEF FD t t t t−+ = + = =3 1 1 316 | | | | 4EF FD ∴ + =  0π2α≤ ,所以 ,所以直线 的斜率为 ,直线 的普通方程为 .23.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)不等式 ,即 ,所以 ,由 ,解得 .因为 ,所以 ,当 时, ,不等式 等价于 或 或 ,即 或 或 ,故 ,故不等式 的解集为 .(2)因为 ,由 ,可得 ,又由 , ,使得 成立,则 ,解得 或 .1 22 23 cos 3 cos 32 1 3sin 1 3sin 4t tFMα αα α+ −= = = =+ +2cos3α =l 52l 5 2 15 0x y− − =9 7,2 2 −  ( , 4] [0, )−∞ − +∞( ) 1g x ≤ | 2 | 1x m+ ≤ 1 12 2m mx− − − +≤ ≤1 15 4 32 2m m− − − +− ≤ − ≤ − 7 9m m∈ Z 8m =1k = ( ) | 1| | 2 |2 1, 23, 2 12 1, 1x xxxf x xxx− − ≤= −−= −  + ≥++( ) 8f x ≤22 1 8xx≤ −− − ≤2 13 8x−  ≤12 1 8xx≥ + ≤922x− ≤ ≤ − 2 1x− 712x≤ ≤9 72 2x− ≤ ≤( ) 8f x ≤ 9 7,2 2 −  ( ) | | | 2 | | ( ) ( 2) | | 2 |f x x k x x k x k= − + + ≥ − − + = +2 2( ) 2 3 ( 1) 2, (0, )h x x x x x= − + = − + ∈ +∞min( ) (1) 2h x h= =1x∀ ∈ R 2 (0, )x∃ ∈ +∞ 1 2( ) ( )f x h x≥| 2 | 2k + ≥ 4k ≤ − 0k ≥故实数 的取值范围为 .k ( , 4] [0, )−∞ − +∞

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