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全国I卷2021届高三文科数学第二次模拟试卷(四)(Word版附答案)

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2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学(四)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数 ,则 ( )A.2 B. C.1 D.2.已知全集 ,集合 , 是 的子集,且 ,则下列结论中一定正确的是( )A. B. C. D.3.已知等比数列 的前 n 项和为 ,则“ ”是“ 单调递增”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,则输出的 ( )A.19 B.21 C.23 D.255.上饶市婺源县被誉为“茶乡”,婺源茶业千年不衰,新时代更是方兴未艾,其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名,为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量 克与食客的满意率的关系,抽样得一组数据如下表:(克) 2 4 5 6 8(%) 30 50 70 60根据表中的全部数据,用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ,则表中 的值为( )A. B. C. D.6.若实数 , 满足不等式组 ,且 ,则 ( )A.4 B.3 C.2 D.17.当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时.透光度 的数学表达式为,其中系数 与吸光物质的性质及入射光线的波长有关, 为吸光物质的浓度(单位:), 为吸收介质的厚度(单位: ).已知吸光物质及入射光线保持恒定,当吸收介质的厚度为 时,透光度为 ,则当吸收介质的厚度增加 时,透光度为原来的( )A. B. C. D.8.向量 ( 是单位向量).若 , ,则( )A. B. C. D.9.在等差数列 中, , .记 ,则数列 ( )A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项10.已知圆 ,直线 ,若在直线 上任取一点 作圆的切线 , ,切点分别为 , ,则 最小时,原点 到直线 的距离为( )A. B. C. D.11.已知函数 , ,其中 .若 的图象在点 处的切线与 的图象在点 处的切线重合,则 a 的取值范围为( )A. B.z =222U M N U M NÜ( ) ( )U UM N U=ð ð ( )UM N = ∅ ð ( )UM N U= ð ( )U M N = ∅ð{ }na nS 1n nS S+ { }nan =x yxy my x ˆ 6.5 17.5y x= + m39 5. 40 43 5. 45x y1 02 1 02 4 0x yx yx y+ − ≤ − − ≤ − + ≥z x y= −max minz z− =T1lg kclT= k cmol/L l cm20 cm11020 cm1215110120≠a e e t∀ ∈ R t− ≥ −a e a e⊥a e ( )⊥ +a a e ( )⊥ −e a e ( ) ( )+ ⊥ −a e a e{ }na 1 11a = − 4 5a = − 1 2 ( 1, 2, )n nT a a a n= =  { }nT2 2: 2 2 1 0C x y x y+ − − + = : 4 0l x y+ − = l M CMA MB A B ACB∠ O AB3 222222 221 1( ) ( 0)4 2f x x x a x= + + ( ) ln ( 0)g x x x= a ∈ R ( )f x( )( )1 1,A x f x ( )g x ( )( )2 2,B x g x( 1 ln 2, )− + +∞ ( 1 ln 2, )− − +∞此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 C. D.12.已知四边形 是边长为 5 的菱形,对角线 (如图 1),现以 为折痕将菱形折起,使点 达到点 的位置.棱 , 的中点分为 , ,且四面体 的外接球球心落在四面体内部(如图 2),则线段 长度的取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13 .已知函数 ,在 上单调递增,那么常数 的一个取值__________.14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山底 C 在西偏北的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山底 C 在西偏北 的方向上,山顶 D 的仰角为 ,则此山的高度 ______ .15.已知抛物线 的焦点为 F,点 ,过点 F 的直线与此抛物线交于两点,若 ,且 ,则 _________.16.已知函数 的定义域为 ,导函数为 ,若 ,且,则满足 的 的取值范围为_________.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)如图,四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形, , 平面 ,、 分别是 、 的中点.(1)求证:直线 平面 ;(2)求三棱锥 的体积.18.(12 分)已知函数 .(1)求函数 的单调递增区间;(2)设锐角 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,已知 , ,求的面积的取值范围.3,4 − +∞  (ln 2 ln3, )− +∞ABCD 8BD = ACB P AC PD E F PACDEF14,42    141,2    14,62    ( )3,4( ) sin ( 0)f x xω ω= 2π,4 3π −  ω30°75° 30°CD = m2 2 ( 0)y px p= ,02pM −  ,A B| | 24AB = tan 2 2AMB∠ = p =( )f x R ( )f x¢ ( ) ( )cosf x x f x= − −( ) ( )π 0f x f x− + ≤ xO ABCD− 2OA = OA ⊥ ABCDM N OA BC//MN OCDM OCD−( ) 2 π 33 cos 2sin cos6 2f x x x x = + + −  ( )f xABC△ A B C a b c ( ) 14f A = 1a =ABC△( ) sin2xf x′ +019.(12 分)为研究男、女生的身高差异,现随机从高三某班选出男生、女生各 10 人,并测量他们的身高,测量结果如下(单位:厘米):男:173 178 174 185 170 169 167 164 161 170女:165 166 156 170 163 162 158 153 169 172(1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位:厘米),并分别求出男、女生身高的平均值;(2)请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数 h(单位:厘米),将男、女生身高不低于 h 和低于 h 的人数填入下表中,并判断是否有 的把握认为男、女生身高有差异?人数 男生 女生 合计身高身高合计(3)若男生身高低于 165 厘米为偏矮,不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常,不低于 175 厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取 5 人作为样本.若从样本中任取 2 人,试求恰有 1 人身高属于正常的概率.0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 0012 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828参照公式: .20.(12 分)已知椭圆 的离心率 ,左、右焦点分别为 , ,抛物线 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)记椭圆 C 与 x 轴交于 A,B 两点,M 是直线 上任意一点,直线 , 与椭圆 C 的另一个交点分别为 D,E.求证:直线 过定点 .90%h≥h( )2 0P K k≥ . . . . . .0k . . . . . .( )( )( )( )( )22 n ad bcka b c d a c b d−=+ + + +2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 12e = 1F 2F2 8y x=1x = MA MBDE (4,0)H21.(12 分)已知函数 .(1)设函数 ,当 时,证明:当 时, ;(2)若 有两个不同的零点,求 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 .(1)写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程;(2)设点 的极坐标为 ,射线 分别交 、 于 、 两点(异于极点),当 时,求 .( ) ln1 1x aF xx x= −− +( ) ( ) ( )1h x x F x= − 2a = 1x ( ) 0h x ( )F x axOy 1C2 2cos2sinxyϕϕ= + =ϕ Ox 2C 4sinρ θ=1C 2CM ( )4,0 π04θ α α =    1C 2C A Bπ4AMB∠ = tanα23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知 .(1)在 时,解不等式 ;(2)若关于 的不等式 对 恒成立,求实数 的取值范围.2( 2)f x ax x= − − +2a = ( ) 1f x ≤x 4 ( ) 4f x− ≤ ≤ x ∈ R a文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】因为 ,所以 ,故选 B.2.【答案】B【解析】集合 , 是 的子集,且 ,对于 A, ,故 A 不正确;对于 B, ,故 B 正确;对于 C, ,不包括属于 且不属于 的部分,故 C 不正确;对于 D, ,其交集为属于 且不属于 的部分,故 D 不正确,故选 B.3.【答案】D【解析】 ,例如 ,但是数列 不单调递增,故不充分;数列 单调递增,例如 ,但是 ,故不必要,故选 D.4.【答案】C【解析】当输入 时,则 , , 成立;当输入 时,则 , , 成立;当输入 时,则 , , 成立,由程序框图可知程序的规律为 , ,则 ,2 2 ( 1 i)1 i1 i ( 1 i)( 1 i)z⋅ − −= = = − −− + − + − −2 2( 1) ( 1) 2z = − + − =M N U M NÜ( ) ( )U U UM N M=ð ð ð( )UM N = ∅ ð( )UM N U≠ ð N M( )U M N ≠ ∅ð N M1 1 0+ + ⇒ n n nS S a102= n na { }na{ }na12n na = − 1n nS S+ 1n = 1S = 2, 3i n= = 121S 3n = 1 3 4S = + = 3, 5i n= = 121S 5n = 1 3 5 9S = + + = 4, 7i n= = 121S 2 1n i= − ( )21S i= −( )2 21 2 1S n i i i+ = − + − =由条件 ,解得 ,即 时程序结束,此时 ,故选 C.5.【答案】B【 解 析 】 由 表 中 数 据 , 计 算 可 得 ,,因为回归直线方程 过样本中心点,所以有 ,解得 ,故选 B.6.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中 , , .在直线 中, , 表示直线的纵截距.作出直线 并平移,数形结合知当平移后的直线经过点 时, 取得最小值,且;当平移后的直线经过点 时, 取得最大值,且 ,所以 ,故选 A.7.【答案】C【解析】因为 时, ,所以 , ,所以 .2 121S n i+ = 11i 12i =2 12 1 23n = × − =2 4 5 6 855x+ + + += =30 50 70 60 2105 5m my+ + + + += =ˆ 6.5 17.5y x= +2106.5 5 17.55m+ = × + 40m =( )3, 2A − − ( )1,2B − ( )1,0Cz x y= − y x z= − z−y x= ( )1,2B − zmin 1 2 3z = − − = −( )1,0C z max 1 0 1z = − =( )max min 1 3 4z z− − − ==20l = 110T =120 lg 1110kc = = 120kc =2010lT−=设吸收介质的厚度增加 时,透光度为 ,则 ,故选 C.8.【答案】C【解析】因为 ,所以 ,所以 对 恒成立,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选 C.9.【答案】C【解析】依题意可得公差 ,,所以当 时, ;当 时, ,因为 , , ,, ,,又当 时, ,且 ,即 ,所以当 时,数列 单调递增,所以数列 无最大项,数列 有最小项 ,故选 C.10.【答案】A【解析】由 ,得 ,所以圆心 ,半径 ,在 中, ,当 最小时, 最小, 最大, 最小,此时 ,20 cm T ′20120 20 110 10 1010l lT T+− − −′ = = × =t− ≥ −a e a e 2 2( ) ( )t− ≥ −a e a e2 2 2 1 0t t− ⋅ + ⋅ − ≥a e a e t∀ ∈ R2( 2 ) 4(2 1) 0Δ = − ⋅ − ⋅ − ≤a e a e 2( 1) 0⋅ − ≤a e1 0⋅ − =a e 0⋅ − ⋅ =a e e e( ) 0⋅ − =e a e ( )⊥ −e a e4 1 5 11 24 1 3a ad− − += = =−1 ( 1) 11 2 2 2 13na a n d n n= + − = − + − = −6n ≤ 0na 7n ≥ 0na ≥1 11 0T = − 2 11 ( 9) 99 0T = − × − = 3 11 ( 9) ( 7) 693 0T = − × − × − = − 4 11 ( 9) ( 7) ( 5) 3465 0T = − × − × − × − = 5 3465 ( 3) 10395 0T = × − = − 6 10395 ( 1) 10395 0T = − × − = 6n ≥ 1 2 3 4 5 6 0n nT a a a a a a a= 1 1 2 111 22 11 1n n nn nT a a aa nT a a a+ ++= = = − ≥1n nT T+ ≥ 6n ≥ { }nT{ }nT { }nT 5 10395T = −2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − =(1,1)C 1r =CAMRt△ cosACACMMC∠ = 1MC=ACB∠ ACM∠ cos ACM∠ MC MC l⊥的最小值为圆心 到直线 的距离 ,此时 , ,因为 ,所以 ,所以圆心 到直线 的距离为 ,所以两平行直线 与 之间的距离为 ,因为原点 到直线 的距离为 ,所以原点 到直线 的距离为 ,故选 A.11.【答案】A【解析】∵ , ,∴ , ,函数 在点 处的切线方程为 ,函数 在点 处的切线方程为 ,两直线重合的充要条件是 ①, ②,由①及 ,得 ,故 ,令 ,则 ,且 ,设 , , ,MC C l|1 1 4 |21 1+ − =+1 2cos22ACM∠ = =π4ACM∠ =MC AB⊥ AB l∥ C AB 22l AB2 222 2− =O l| 0 0 4 |2 21 1+ − =+O AB2 3 22 22 2− =21 1( ) ( 0)4 2f x x x a x= + + ( ) ln ( 0)g x x x= ( ) ( )1 1 02 2f x x x′ = + ( ) ( )1 0g x xx′ = ( )f x ( )( )1 1,A x f x ( )21 1 1 11 1 1 14 2 2 2y x x a x x x   − + + = + −      ( )g x ( )( )2 2,B x f x ( )2 221lny x x xx− = −121 1 12 2xx+ = 21 21ln 14x a x− + = −1 20x x 21 102x 2 222 2 21 1 1 1 1ln 1 ln 12 2a xx x x   = − + − = − − −      21tx= 102t 21ln 12a t t = − − −  ( )21ln 12h t t t = − − −  102t    ( ) ( )( )2 2 1 11 2 12 1t tt th t tt t t+ −− −′ = − − = =当 时, 恒成立,即 单调递减,, 时, ,即 a 的取值范围为 ,故选 A.12.【答案】A【解析】如图,由题意可知 的外心 在中线 上,设过点 的直线 平面 ,易知 平面 ,同理, 的外心 在中线 上.设过点 的直线 平面 ,则 平面 .由对称性易知直线 , 的交点 在直线 上.根据外接球的性质,点 为四面体 的外接球球心.易知 , ,而 , ,∴ .令 ,显然 ,∴ .∵ ,∴ ,又 ,∴ ,即 ,综上所述, ,故选 A.102t ( ) 0h t′ ( )h t( ) 1 1 ln 22h t h  = − +  0x → ( )h t → +∞( 1 ln 2, )− + +∞APC△ 1O PE1O 1l ⊥ APC 1l ⊂ PEDADC△ 2O DE2O 2l ⊥ ADC 2l ⊂ PED1l 2l O EFO APCD3EA = 4PE = 2 2 21 1O A O E EA= + 1 1 4O A O E PE+ = = 178O E =PEF θ∠ = 0 π2θ cos 4cos 4EF PE θ θ= = 1cosEF O EPE OEθ = = 172OE EF O E PE⋅ = ⋅ =OE EF 272EF 142EF 1442EF 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】 (答案不唯一)【解析】 在 上单调递增,则 , ,,取一个该范围内的值即可,如 ,故答案为 .14.【答案】【解析】在 中, , , ,,,即 ,解得 .又在 中, ,,即山高 为 ,故答案为 .15.【答案】6【解析】设 的方程为 , , ,则由 ,得 , , ,,12ω =( )( ) 2sin ( 0)f x xω ω= 2π,4 3π −  2π2π3ω ⋅ ≤ π( )4 2πω ⋅ − ≥ −304ω∴ ≤ 12ω =12ω =100 6ABC△ 30BAC∠ = ° 600AB = 180 75 105ABC∠ = ° − ° = °45ACB∴∠ = °sin sinAB BCACB BAC=∠ ∠600sin 45 sin 30BC=° ° 300 2BC =BCDRt△ 30CBD∠ = °3tan 300 2 100 63CD BC CBD∴ = ⋅ ∠ = × = CD 100 6 m100 6AB2px my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y2 22y pxpx my == +2 22 0y pmy p− − = 1 2 2y y pm∴ + =21 2y y p= −( ) ( )( )( )1 2 2 11 2 1 21 2 1 21 22 2MA MBy my p y my py y y yk kp p my p my p my p my px x+ + +∴ + = + = + =+ + + ++ +( )( )( )( )( )( )2 21 2 1 21 2 1 22 220m p mpmy y p y ymy p my p my p my p− ++ += = =+ + + +,,又 为锐角, .不妨设 ,如图,作 轴,垂足为 H,过 M 作直线 轴,,垂足为 ,则 ,,, , ,,故 ,故答案为 6.16.【答案】【解析】令 ,又 ,则 ,即 ,故函数 为奇函数.,故函数 在 上单调递减,则 ,AMF BMF∴∠ = ∠22 tantan 2 21 tanAMFAMBAMF∠∠ = =− ∠AMF∠ 2tan2AMF∴ ∠ =AF BF AH x⊥ l x⊥AA l′ ⊥ A′ AA AF′ =tan sinAH AH AHAMF AFHMH AA AF′∠ = = = = ∠2sin2AFH∴ ∠ = 45AFH∴∠ = ° 1m∴ =( ) ( )22 21 2 1 2 1 2| | 1 1 4 4 24AB m y y m y y y y p ∴ = + − = + + − = =  6p =π,2 +∞ ( ) ( ) cos2xg x f x= −( ) ( )cosf x x f x= − − ( ) ( ) ( )coscos2 2xxf x f x−− = − − +( ) ( )g x g x= − − ( )g x( ) ( ) ( )cos sin 02 2x xg x f x f x′ ′ ′= − = +   ( )g x R( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos π cosπ 0 π 02 2x xf x f x f x f x−− + ≤ ⇒ − − + − ≤即 ,即 ,即 ,故 ,所以 x 的取值范围为 ,故答案为 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)证明:取 OD 的中点 P,连接 PC、PM,∵M、N 分别是 OA、BC 的中点,∴ ,且 , ,且 ,∴ ,且 PM=NC,则 PMNC 是平行四边形,得 ,∵PC⊂平面 OCD, 平面 OCD,∴直线 平面 OCD.(2) 平面 ,所以平面 平面 ,又 ,所以 平面 ,,又 到平面 的距离为 1,所以三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积,为 .18.【答案】(1) , ;(2) .( ) ( )π 0g x g x− + ≤ ( ) ( ) ( )πg x g x g x− ≤ − = −πx x− ≥ − π2x ≥π,2 +∞ π,2 +∞ 16PM AD∥12PM AD= NC AD∥12NC AD=PM NC∥ MN PC∥MN ⊄MN∥OA ⊥ ABCD OAD ⊥ ABCDCD AD⊥ CD ⊥ OAD1 1 12 12 2 2MODS = × × × =△C MODM OCD− O MCD−1 1 113 2 6× × =π π π π,6 2 12 2k k − + +  k ∈ Z1 1 2,2 4 +  【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 意 知.令 , ,则 , ,所以 的单调递增区间为 , .(2)因为 ,所以 ,所以 ,所以 或 , ,即 或 , .又 为锐角三角形,故 ,因为 ,所以由正弦定理可知, , .所以.因为 是锐角三角形,所以 , ,所以 ,所以 , ,所以 .19.【答案】(1)茎叶图见解析,男: ,女: ;(2)列联表见解析,有 90%把握认为;(3) .( ) 2πcos 2 1π 3 333 cos 2sin cos 3 sin 26 2 2 2xf x x x x x + +    = + + − = ⋅ + −  3 1 3 1 3 1 πcos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 4 4 2 3x x x x x x   = − + = + = +       π π2 π, π3 2x k k + ∈ +  k ∈ Zπ π π π,6 2 12 2k kx ∈ − + +  k ∈ Z( )f x π π π π,6 2 12 2k k − + +  k ∈ Z( ) 14f A =1 π 1sin 22 3 4A + =  π 1sin 23 2A + =  π π2 2 π3 6A k+ = + 5π 2 π6k+ k ∈ Z π π12A k= − + π π4k+ k ∈ ZABC△π4A =1a = 2 sinb B= 2 sinc C=1 1 2 2sin 2 sin 2 sin sin sin2 2 2 2ABCS bc A B C B C= = × × × =△( ) ( )22 π 1 1sin sin sin sin cos sin sin cos2 4 2 2B B B B B B B B = + = + = +  ( )1 1 cos 2 1 1 1 2 π 1sin 2 sin 2 cos 2 sin 22 2 2 4 4 4 4 4BB B B B−   = + = − + = − +      ABC△π0,2B ∈  3π0,4 2πC B = − ∈  π π,4 2B ∈  π π 3π2 ,4 4 4B − ∈  π 2sin 2 ,14 2B  − ∈      2 π 1 1 1 2sin 2 ,4 4 4 2 4ABCS B + = − + ∈      △171.1 163.40.6【解析】(1)茎叶图为男生平均身高为 ;女: .( 2 ) 将 20 名 学 生 身 高 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 列 :,则 20 名学生身高的中位数 ,男、女身高的 列联表:人数 男生 女生 合计身高 7 3 10身高 3 7 10合计 10 10 20因为 ,所以有 90%把握认为男、女身高有差异.(3)由测量结果可知,身高属于正常的男生有 人,身高属于不正常的男生有 人,用分层抽样的方法从这 人抽取 人,其中身高正常的男生有 人,记这三名男生为 a,b,c,身高不正常的男生有 人,记这两名男生为 1,2,从以上 5 名学生中任取 2 人的结果有 , , , , , , , , , 共( )1 173 178 185 170 174 169 167 164 161 170 171.110+ + + + + + + + + =( )1 165 166 156 170 163 162 158 153 169 172 163.410+ + + + + + + + + =153,156,158,161,162,163,164,165,166,167,169,169,170,170,170,172,173,174,178,185167 1691682h+= =2 2×h≥h( )( )( )( )( )22 20 7 7 3 3 32 3.2 2.7067 3 3 7 7 3 3 7 10K× − ×= = = + + + +6 410 565 310× =45 210× =ab ac 1a 2a bc 1b 2b 1c 2c 1210 种,其中恰好一名身高属于正常的男生的事件有 , , , , , ,共 6 种,所以恰有 1 人属于正常的概率为 .20.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)因为椭圆 C 的离心率 ,所以 ,即 .由 ,得 ,所以 ,其焦点为 ,因为抛物线 的焦点 恰好是该椭圆的一个顶点,所以 ,所以 , .所以椭圆 C 的方程为 .(2)由(1)可得 , ,设点 M 的坐标为 ,直线 的方程为 .将 与 联立,消去 y,整理得 ,设点 D 的坐标为 ,则 ,故 ,则 .直线 的方程为 .将 与 联立,消去 y 整理得 .设点 E 的坐标为 ,则 ,1a 2a 1b 2b 1c 2c60.610=2 214 3x y+ =12e = 12ca= 2a c=2 8y x= 2 8p = 4p = (2,0)F2 8y x= (2,0)F2a = 1c = 3b =2 214 3x y+ =( 2,0)A − (2,0)B(1, )m MA ( 2)3my x= +( 2)3my x= +2 214 3x y+ =( )2 2 2 24 27 16 16 108 0m x m x m+ + + − =( ),D Dx y2216 10824 27Dmxm−− =+2254 84 27Dmxm−=+( ) 23623 4 27D Dm my xm= + =+MB ( 2)y m x= − −( 2)y m x= − −2 214 3x y+ =( )2 2 2 24 3 16 16 12 0m x m x m+ − + − =( ),E Ex y2216 1224 3Emxm−=+故 ,则 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,因为 ,所以直线 经过定点 H.21.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1) , ,所以 在 上为单调递增函数,且 ,当 时, .(2)设函数 ,则 ,令 ,当 时,当 时, ;当 时, ,得 ,所以当 时, ,在 上为单调递增函数,此时 至多有一个零点,至多一个零点不符合题意舍去;当 时,有 ,此时 有两个零点,设为 ,且 .又因为 , ,所以 ,得 在 , 为单调递增函数,在 上为单调递减函数,且 ,228 64 3Emxm−=+( ) 21224 3E Emy m xm= − − =+HD ( )1 22 236 64 4 954 8 4 4 27DDy m mkx mm m= = = −− +− − +HE ( )2 22 212 64 4 98 6 4 4 3EEy m mkx mm m= = = −− +− − +1 2k k= DE2a ( ) ( ) ln 2 2( 1)1 ( ) ln1 1 1x xh x x xx x x−= − − = −− + +( ) ( )( )22101xh xx x−′ = +( )h x ( )1,+∞ ( )1 0h =1x ( ) 0h x ( ) ( )1ln1a xf x xx−= −+( ) ( )( )222 1 11x a xf xx x+ − +′ =+( ) ( )2 2 1 1g x x a x= + − +1a ≤ 0x ( ) 0g x 1 2a ≤ 24 8 0Δ a a= − ≤ ( ) 0g x ≥2a ≤ ( ) 0f x′ ≥( )f x ( )0, ∞+ ( )g x( ) ( )11F x f xx=−2a 24 8 0Δ a a= − ( )g x 1 2,t t 1 2t t( )1 2 2 1 0t t a+ = − 1 2 1t t = 1 20 1t t ( )f x ( )10, t ( )2 ,t +∞( )1 2,t t ( )1 0f =所以 , ,又因为 , ,且 图象连续不断,所以存在唯一 ,使得 ,存在唯一 ,使得 ,又因为 ,所以,当 有两个不同的零点时, .22.【答案】(1) , (或 );(2).【解析】(1) ( 为参数),得 ( 为参数),曲线 的普通方程为 ,即 ., , ,所以,曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为 ,即 ,, ,所以,曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程得 ,即 .(2)依题意设 、 ,由 ,得 ;由 ,得 ,, , .是圆 的直径, .在 中, ,( )1 0f t ( )2 0f t ( ) 2 01aaaf ee− = − +( ) 2 01aaaf ee= +( )f x( )1 1,ax e t−∈ ( )1 0f x =( )2 2 , ax t e−∈ ( )2 0f x =( ) ( )11F x f xx=−( )F x 2a 1 : 4cosC ρ θ= ( )22 2 2: 4x yC + − = 2 2 4 0x y y+ − =1tan2α =2 2cos2sinxyϕϕ= + = ϕ2 2cos2sinxyϕϕ− = =ϕ∴ 1C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4 0x y x+ − =cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 4 cos 0ρ ρ θ∴ − =1C 4cosρ θ=2C 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ=cosx ρ θ= siny ρ θ=2C2 2 4x y y+ = ( )22 2 4x y+ − =( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α4cosθ αρ θ= =1 4cosρ α= 4sinθ αρ θ= =2 4sinρ α=04πα  1 2ρ ρ∴ 1 2 4cos 4sinAB OA OB ρ ρ α α∴ = − = − = −OMQ 1C2πOAM∴∠ =OAMRt△ 4sinAM α=在 中, , ,即 , ,即 .23.【答案】(1) ;(2) 或 .【解析】(1)在 时, .在 时, ,∴ ;在 时, , ,∴ 无解;在 时, , ,∴ ,综上可知:不等式 的解集为 .(2)∵ 恒成立,而 或 ,故只需 恒成立,或 恒成立,∴ 或 ,∴ 的取值为 或 .BAMRt△π4AMB∠ = AB AM∴ =4cos 4sin 4sinα α α− = 4cos 8sinα α∴ = 1tan2α =1{ | 5}3x x− ≤ ≤ 1 1−2a = 2 2 2 1x x− − + ≤1x ≥ ( ) ( )2 2 2 1x x− − + ≤ 1 5x≤ ≤2x ≤ − ( ) ( )2 2 2 1x x− − + + ≤ 3x ≥ x2 1x− ≤ ≤ ( ) ( )2 2 2 1x x− − − + ≤ 13x ≥ − 1 13x− ≤ ≤( ) 1f x ≤ 1{ | 5}3x x− ≤ ≤2 2 4x ax+ − − ≤( )2 2 1x ax a x+ − − ≤ + ( )2 2 1 4x ax a x+ − − ≤ − +( )1 4a x+ ≤ ( )1 4 4a x− + ≤1a = − 1a = a 1 1−

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