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全国I卷2021届高三文科数学第二次模拟试卷(二)(Word版附答案)

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2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学(二)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( )A. B.C. D.2.已知 ,其中 为虚数单位,则复数 在复平面内对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知直线 , ,则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如果执行下面的程序框图,输入 , ,那么输出的 等于( )A.360 B.240 C.120 D.605.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设 ,用 表示不超过 的最大整数,则 称为高斯函数,也称取整函数,例如: , .已知 ,则函数 的值域为( )A. B. C. D.6.若实数 满足约束条件 ,则 的最小值是( )A. B.2 C.4 D.7.若两个非零向量 、 满足 ,则向量 与 的夹角是( )A. B. C. D.8.已知等差数列 满足 , ,则数列 的最大项为( )A. B. C. D.9.下列式子结果为 的是( )① ;② ;③ ;④ .2, ,B y y x yx = = ∈ ∈  Z Z A B ={ }2, 1,1,2− − { }2, 1,0,1, 2− −{ }1,1− { }2,2−( )1 i 2z+ = i z( )1 : 2 1 2 3 0l x a y a+ − + − = 22 : 3 4 0l ax y a+ + + = 1 2//l l32a =6n = 3m = px = R [ ]x x [ ]y x=[ ]3.7 4− = − [ ]2.3 2= ( ) 1 11 2xxef xe−= −+( )y f x =  { }0 { }1,0− { }2, 1,0− − { }1,0,1−,x y2 1 01 0x yx y− + ≥ − − ≤2 2 6 9z x y x= + − +212a b 2+ = − =a b a b a +a b −a bπ25π6π32π3{ }na 1 1a = 10 10a =1 8nn naa a+ +   1181153441143tan 25 tan 35 3 tan 25 tan 35° + ° + ° ° ( )2 sin 35 cos 25 cos35 cos 65° ° + ° ° 1 tan151 tan15+ °− °1 tan151 tan15−+°°此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A.①② B.③ C.①②③ D.②③④10.在区间 上任取两个数,则这两个数之和小于 的概率是( )A. B. C. D.11.设函数 的最大值为 5,则 的最小值为( )A. B.1 C.2 D.312.已知 为坐标原点, , 分别是双曲线 的左、右顶点, 是双曲线 上不同于 , 的动点,直线 , 分别与 轴交于点 , ,则 ( )A.16 B.9 C.4 D.3第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.若一组数据 的平均数是 30,另一组数据 的平均数是 ,则第三组数据 的平均数是___________.14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径 、 两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点 、 ,测得 , , , ,则 、 两点的距离为______ .15.在正三棱锥 中, ,点 是 的中点,若 ,则该三棱锥外接球的表面积为___________.16.已知函数 ,若关于 的方程 有三个不同实数根,则实数 的取值范围是__________.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)设数列 满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和 .18.(12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, , ,.(1)证明: 平面 .(2)若四棱锥 的体积为 12,求点 到平面 的距离.[ ]0,1 651225162517252425( )3 2( ) sin ln 1 3f x ax b x c x x= + + + + + ( )f x5−O A B2 2: 116 9x yC − = M CA B AM BM y P Q | | | |OP OQ⋅ =1 2 3, , , , nx x x x 1 1 2 2 3 3, , , , n nx y x y x y x y+ + + +70 1 2 34 1,4 1,4 1, , 4 1ny y y y+ + + +A BC D 45 mCD = 135ADB∠ = ° 15BDC DCA∠ = ∠ = ° 120ACB∠ = °A B mS ABC− 6AB BC CA= = = D SA SB CD⊥2, 1( )4 3, 1 3xe xf xx x x ≤= − + − x ( ) 2 0f x k x− + =k{ }na ( )*1 222 2 2nnaa an n+ + + = ∈ N{ }na2 1nna −  n nTP ABCD− ABCD 60BAD∠ = ° AC PB⊥2 2PB AB PD= =PD ⊥ ABCDP ABCD− D PBC19.(12 分)2020 年 11 月 24 日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器,12 月 17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆,探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功.某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试,测试满分为 分,该校某专业的 名大一学生参加了学校举行的测试,记录这 名学生的分数,将数据分成 组: , ,, ,并整理得到如下频率分布直方图:(1)估计这 名学生测试分数的中位数;(2)把分数不低于 分的称为优秀,已知这 名学生中男生有 人,其中测试优秀的男生有人,填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 的把握认为测试优秀与性别有关;男生 女生优秀不优秀附:.(3)对于样本中分数在 , 的人数,学校准备按比例从这 组中抽取 人,在从这 人中随机抽取 人参与学校有关的宣传活动,记这 人分数不低于 分的学生数为 ,求的分布列.20.(12 分)已知函数 , .(1)当 时,求 的最小值;(2)若曲线 与 有两条公切线,求 的取值范围.100 100100 7 [ )30,40 [ )40,50… [ ]90,10010080 100 70 4595%20( )P K k≥ 0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828( )( )( )( )( )22 n ad bcKa b c d a c b d−=+ + + +[ )80,90 [ ]90,100 2 1212 3 3 90 X X( ) 2f x ax= ( ) lng x x=1a = ( ) ( )f x g x−( )y f x= ( )y g x= a21.(12 分)已知椭圆 与 的离心率相同,过 的右焦点且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)若直线 与椭圆 、 的交点从上到下依次为 、 、 、 ,且 ,求 的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 与极轴交于点 ,且动点 满足 .(1)求直线 的极坐标方程和点 的轨迹的极坐标方程 ;(2)若直线 分别交直线 、曲线 于点 , (非极点),求 的值.2C2 21 : 14 3x yC + = 2C x2C 3 22C: 3l y x m= + 1C 2C C A B D45AC =mxOy l3 131132 1313x ty t= + =t O xl N M 1MN =l M C( )π4θ ρ= ∈ R l C A B1 1OA OB+23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 , .(1)若 , ,解不等式 ;(2)当 , 时, 的最大值是 ,证明: .( ) | 2 |f x x a= + ( ) | |g x x b= −1a = 3b = ( ) ( ) 4f x g x+ ≥0a 0b ( ) 2 ( )f x g x− 3 2 2942a b ≥+文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】因为 ,,所以 ,故选 B.2.【答案】D【解析】由题意 ,对应点为 ,在第四象限,故选 D.3.【答案】C【解析】若 ,则 ,解得 或 ,当 时, , ,直线 , 重合, ,充分性成立;当 时, , ,显然 , 必要性成立,故“ ”是“ ”的充要条件,故选 C.4.【答案】C【解析】程序在执行过程中,的值依次为 ;;;,此时 不成立,结束循环,{ } { } { }2 3 0, 3 3, 1,0,1A x x x x x x= − ≤ ∈ = − ≤ ≤ ∈ = −Z Z{ }2 , , 2, 1,1, 2B y y x yx = = ∈ ∈ = − −  Z Z{ }2, 1,0,1,2A B = − −U2 2(1 i) 2(1 i)1 i1 i (1 i)(1 i) 2z− −= = = = −+ + −(1, 1)−1 2//l l ( )2 1 3a a − = 32a = 1a = −1a = − 1 : 3 5 0l x y− − = 2 : 3 5 0l x y− + + = 1l 2l32a∴ =∴32a = 1 : 2 0l x y+ = 225: 2 06l x y+ + = 1 2//l l ∴∴ 1 2//l l32a =,p k 1, 1p k= =4, 2p k= =20, 3p k= =120p = k m输出 ,故选 C.5.【答案】C【解析】 ,当 时, ,则 ,故 ,故 ;但 时 , , 则 , 故 ,,综上所述,函数 的值域为 ,故选 C.6.【答案】B【解析】画出约束条件 或 所表示的平面区域,如图所示:则 表示可行域内的点到定点 距离的最小值,过 作 的垂线,距离为 ,则 的最小值为 ,故选 B.7.【答案】D【解析】在等式 两边同时平方可得 ,,120p =( ) 1 1 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2x xx x xe ef xe e e− + −= − = − = − ++ + +0x ≥ 1xe ≥21 01xe− ≤ − +( ) 2 1 1 1,1 2 2 2xf xe = − + ∈ − +  ( ) { }1,0f x ∈ −  0x 0 1xe 22 11xe− − −+( ) 2 1 3 1,1 2 2 2xf xe = − + ∈ − − +  ( ) { }2, 1f x ∈ − −  ( )y f x =   { }2, 1,0− −2 1 011 0x yxx y− + ≥ ≥ − − ≤2 1 011 0x yxx y− + ≥  + − ≥( )22 2 26 9 3z x y x x y= + − + = − + ( )3,0( )3,0 1 0x y− − =2 23 121 1d−= =+z 2 2d =+ = −a b a b 2 2 2 22 2+ ⋅ + = − ⋅ +a a b b a a b b0∴ ⋅ =a b在等式 两边同时平方可得 , ,,所以, ,,所以, ,故选 D.8.【答案】C【解析】因为数列 是等差数列, , ,所以 ,解得 , ,则 ,因为 ,当且仅当 时等号成立,所以当 时, ;当 时, ,故数列 的最大项为 ,故选 C.9.【答案】C【解析】对于①,由于 ,所以;对于②,由于 ,所以;对于③,因为 , ;2+ =a b a 2 2 22 4+ ⋅ + =a a b b a 3∴ =b a( ) ( ) 22 2 22 2∴ + ⋅ − = − = − = −a b a b a b a a( ) ( ) 22 1cos ,2 2 2−+ ⋅ − + − = = = −+ ⋅ − ×aa b a ba b a ba b a b a a0 , π≤ + − ≤ a b a b 2π,3 + − =a b a b{ }na 1 1a = 10 10a =10 1 9a a d= + 1d = na n=( )( ) 21 8181 8 9 8 9nn na n na a n n n n nn+ += = =+ + + + + +8 89 2 +9 9 4 2n nn n+ + ≥ × = + 2 2n =2n = 23 101 18 152 92aa a= =+ +3n = 34 111 38 443 93aa a= =+ +1 8nn naa a+ +   344( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β+ = + −tan 25 tan 35 3 tan 25 tan 35° + ° + ° °( )[ ] ( )tan 25 35 1 tan 25 tan 35 3 tan 25 tan 35 tan 25 35 3= ° + ° − ° ° + ° ° = ° + ° =cos 65 sin 25° = °( ) ( )2 sin 35 cos 25 cos35 cos 65 2 sin 35 cos 25 cos35 sin 25° ° + ° ° = ° ° + ° °2sin 60 3= ° =tan 45 1° =1 tan15 tan 45 tan15tan 60 31 tan15 1 tan 45 tan15+ +° °= = =−° °° °−°对于④,因为 , ,故选 C.10.【答案】C【解析】设所取的两个数分别为 、 ,则事件构成的全部区域为 ,区域 是边长为 的正方形区域,事件“这两个数之和小于 ”构成的区域为 ,如下图所示:直线 交直线 于点 ,区域 表示的是图中阴影部分区域.则三角形区域是直角边长为 的等腰直角三角形,区域 的面积为 ,因此,事件“这两个数之和小于 ”的概率为 .故选 C.11.【答案】B【解析】由题可知, ,设 ,其定义域为 ,又 ,tan 45 1° = 1 tan15 tan 45 tan15 3tan 301 tan15 1 tan 45 tan15 3° ° − ° °° ° °− = = =+ +x y( ){ }, 0 1,0 1x y x yΩ = ≤ ≤ ≤ ≤Ω 165( ) 6, 0 1,0 1,5A x y x y x y = ≤ ≤ ≤ ≤ +   65x y+ = 1y =1,15   A45A22 1 4 1712 5 25AS = − × =  65 21717251 25ASPSΩ= = =( )3 2( ) sin ln 1 3f x ax b x c x x= + + + + +( )3 2( ) sin ln 1g x ax b x c x x= + + + + R( )3 2( ) ( ) sin ln( ( ) 1)g x a x b x c x x− = − + − + − + − +即 ,由于,即 ,所以 是奇函数,而 ,由题可知,函数 的最大值为 5,则函数 的最大值为 ,由于 是奇函数,得 的最小值为 ,所以 的最小值为 ,故选 B.12.【答案】B【解析】设动点 ,由双曲线方程可得 , ,则 , ,所以直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,由此可得 , ,所以 .因为动点 在双曲线 上,所以 ,所以 ,则 ,故选 B.( ) 3 2sin ln( 1)g x ax b x c x x− = − + − + +−( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 1 ln 1g c x x cx g x x x− + += + + − + +( )( ) ( )2 2 2 21 1 ln 1 ln1 0ln x x x x c x x cc + + − + + = + − = ==( ) ( ) 0g x g x− + = ( )g x( ) ( ) 3f x g x= +( )f x( )g x 5 3 2− =( )g x ( )g x 2−( )f x 2 3 1− + =0 0( ),M x y ( 4,0)A − (4,0)B00 4AMykx=+00 4BMykx=−AM00( 4)4yy xx= ++ BM00( 4)4yy xx= −−004(0, )4yPx +004(0, )4yQx−−20 0 020 0 04 4 16· ·( )4 4 16y y yOP OQx x x= − =+ − −M2 2: 116 9x yC − =2 20 0 116 9x y− =2 20 016 9( 16)y x= −2 20 02 20 016 9( 16)· 916 16y xOP OQx x−= = =− −第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】161【解析】数据 共有 个,其平均数为 ,因此 ,故数据 的平均数是 ,故答案为 161.14.【答案】【解析】在 中, ,, , ,在 中, , , ,由正弦定理可得 , ,在 中, , , ,由余弦定理可得 ,因此, ,故答案为 .15.【答案】【解析】设 的中心为 ,连接 , ,∴ 平面 ,面 ,∴ ,又 , ,∴ 平面 ,平面 ,∴ ,又 , ,∴ 平面 .平面 , , ,∵ 为正三棱锥,∴ , , 两两垂直,,1 1 2 2 3 3, , , , n nx y x y x y x y+ + + + n1 1 11 1 1( ) 30 70n n ni i i ii i ix y x y yn n n= = =+ = + = + =∑ ∑ ∑ 40y =1 2 34 1,4 1,4 1, , 4 1ny y y y+ + + + 4 40 1 161× + =45 5ACD△ 150ADC ADB BDC∠ = ∠ + ∠ = °15DCA = °∠ 15DAC∴∠ = ° ( )45 mAD CD∴ = =BCD△ 15BDC∠ = ° 135BCD ACB ACD∠ = ∠ + ∠ = ° 30CBD∴∠ = °sin sinCD BDCBD BCD=∠ ∠( )2452 45 2 m12BD×∴ = =ABD△ ( )45 mAD = ( )45 2 mBD = 135ADB∠ = °2 2 2 22 cos 45 5AB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ = ×( )45 5 mAB = 45 554πABC△ G SG BG SG ⊥ ABCAC ⊂ ABC SG AC⊥AC BG⊥ BG SG G= AC ⊥ SBGSB ⊂ SBG AC SB⊥SB CD⊥ AC CD C= SB ⊥ ACS,SA SC ⊂ ACS SB SA∴ ⊥ SB SC⊥S ABC− SA SB SC3 2SA SB SC∴ = = =故外接球直径为 ,故三棱锥 外接球的表面积为 ,故答案为 .16.【答案】【解析】当 时, ,令 ,则 , ,故此时 的图象为圆的一部分,在坐标平面中画出 的图象如下:因为关于 的方程 有三个不同的实数根,所以 的图象与 的图象有 3 个不同的交点.当 时, 的图象与 的图象无交点,舍去;当 时, 的图象的左边的射线与 的图象有一个交点,当射线 与 相切时,( ) ( ) ( )2 2 23 2 3 2 3 2 3 6+ + =S ABC−23 64π 54π2 × =   54π15 1(0, ) ,15 3ee   1 3x ( ) 2 4 3f x x x= − + −2 4 3y x x= − + − ( )2 22 1x y− + = 1 3x ( )f x( )f xx ( ) 2 0f x k x− + =( )y f x= 2y k x= +0k ≤ ( )y f x= 2y k x= +0k 2y k x= + ( )y f x=( )( )2 2y k x x= + − xy e=设切点为 ,则 ,故 , .当射线 过 时, ;当 与圆 相切时,有 ,故 .因为 ,故当 的图象与 的图象有 3 个不同的交点时,有 或 .故答案为 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)数列 满足 ,当 时, ,两式作差有 ,所以 ,当 时, ,上式也成立,所以 .(2) ,则 ,,( ),a b ( )2aae k ae k = +=1a = −1ke=( )( )2 2y k x x= + − ( )1,e3ek =( )( )2 2y k x x= + − ( )2 22 1x y− + =2411kk=+1515k =15 115 3ee ( )y f x= 2y k x= +15015k 13eke ≤15 1(0, ) ,15 3ee   2nna =2 332n nnT+= −{ }na 1 222 2 2nnaa an+ + + =2n ≥ 11 22 1 12 2 2nnaa an−−+ + + = −12nna = 2nna =1n = 1 2a =2nna =2 221 1nnn na− −=21 1 11 3 (2 1)2 2 2nnT n   = × + × + + − ×      2 3 11 1 1 11 3 (2 1)2 2 2 2nnT n+     = × + × + + − ×          ,所以 .18.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)证明:因为底面 是菱形,所以 .因为 ,且 ,所以 平面 .因为 平面 ,所以 .因为 ,且 ,所以 ,因为 ,所以 ,则 .因为 与 相交,所以 平面 .(2)解:由(1)可知 平面 , ,则 .设 ,则四棱锥 的体积为 ,解得 .在 中, , ,则 的面积为 .设点 到平面 的距离为 .( )2 3 11 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2n nnT n+        = × + + + + − − ×                 ( ) ( )1111 111 1 3 14 22 2 1 2 312 2 2 212nnnn n+−+ −    = + × − − = − + ×  −2 332n nnT+= −6 77ABCD AC BD⊥AC PB⊥ BD PB B= AC ⊥ PBDPD ⊂ PBD AC PD⊥AB AD= 60BAD∠ = ° BD AB=2 2PB AB PD= = 2 2 2PD BD PB+ = PD BD⊥AC BD PD ⊥ ABCDPD ⊥ ABCD BD CD= 2PB PC PD= =AB m= P ABCD− 31 3 123 2m× = 2 3m =PBC△ 2 3BC = 2 6PB PC= =PBC△12 3 24 3 3 72× × − =D PBC h因为三棱锥 的体积为 ,所以三棱锥 的体积为 ,解得 ,即点 到平面 的距离为 .19.【答案】(1) ;(2)列联表见解析,没有 的把握认为测试优秀与性别有关;(3)分布列见解析.【解析】(1)设这 名学生测试分数的中位数为 ,由前 5 组频率之和为 ,前 6 组频率之和为 ,可得 ,所以 , .(2)列联表如下:男生 女生优秀不优秀,所以没有 的把握认为测试优秀与性别有关.(3)由题意可知, 人中分数在 内的共有 人,分数不低于 分的学生有 人,的取值依次为 ., , ,,所以 的分布列为:P BCD−112 62× =D PBC−13 7 63h× = 6 77h =D PBC6 7782.5 95%100 a0.4 0.8 80 90a ( )0.4 80 0.04 0.5a+ − × = 82.5a =45 1525 15( )22 100 45 15 25 15 1.786 3.84170 30 60 40K× − ×= ≈ × × ×95%12 [ )80,90 8 90 4X 0,1,2,3( )38312C 140C 55P X = = = ( )2 18 4312C C 281C 55P X = = = ( )1 28 4312C C 122C 55P X = = =( )34312C 13C 55P X == =XX 0 1 2 3P14552855125515520.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时,令 ,,令 且 ,可得 ,; ,即函数 在 上单调递减,在 上单调递增,.(2)由函数 和 的图象可知,当 时,曲线 与 有两条公切线,即 在 上恒成立,即 在 上恒成立,设 , ,令 .; ,即函数 在 上单调递增,在 上单调递减,即 ,因此, .21.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)设椭圆 的方程为 ,焦距为 ,将 代入 的方程可得 ,解得 .1 1ln 22 2+ 12ae1a = ( ) ( ) ( ) 2 lnF x f x g x x x= − = −( ) ( )21 2 12 0xF x x xx x−′ = − = ( ) 0F x′ = 0x 22x =2( ) 02F x x′ ⇒ 2( ) 0 02F x x′ ⇒ ( )F x 20,2   2,2 +∞   min2 1 1ln 2 ln 22 2 21 12 2F F= − −   = = +       ( )f x ( )g x( ) ( )f x g x ( )y f x= ( )y g x=2 lnax x ( )0,+¥ 2ln xax ( )0,+¥( ) 2ln xh xx= ( ) 31 2ln xh xx−′ = ( ) 31 2ln0,xh x x ex−= =′ =( ) 0 0 xh x e ⇒ ′ ( ) 0h x x e′ ⇒ ( )h x ( )0, e ( ),e +∞( )max 12h h e e= =12ae2 218 6x y+ = 3m = ±2C ( )2 22 21 0x ya ba b+ = 2cx c= 2C2 22 21c ya b+ =2bya= ±由题意得 ,解得 ,因此 的方程为 .(2)设 、 、 、 ,由 ,得 ( 或 ),与 、 相交,只需当 时, ,解得 .当 时, ,由韦达定理可得 ,所以, 与 的中点相同,所以, ,即,整理可得 ,解得 ,满足条件.22 2 21223 2cabac a b = == +2 26ab ==2C2 218 6x y+ =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y2 24 33x yy x mλ + = = +2 215 8 3 4 12 0x mx m λ+ + − = 1λ = 2l 1C 2C 1λ = ( ) ( )2 2 21 64 3 60 4 12 48 15 0Δ m m m= × − − = − 15 15m− 2λ = ( ) ( )2 2 22 64 3 60 4 24 48 30 0Δ m m m= × − − = − 1 2 3 48 315mx x x x+ = + = − AB CD2CD ABAC−=( ) ( ) ( )2 23 4 1 248 30 48 15122 15 15m mAC x x x x− −= × × − − − = −( )2 24 3 30 15 415 5m m− − −= =2 3m = 3m = ±22.【答案】(1) ; ;(2) .【解析】(1)由 ( 为参数)得 ,∴直线 的极坐标方程为 .令 ,得 ,∴点 ,由 得点 的轨迹为以点 为圆心, 为半径的圆,∴点 的轨迹方程为 ,∴ .(2)联立 ,得 ,∴点 , ;联立 ,得 ,∴点 , ,∴ .23.【答案】(1) ;(2)证明见解析.【解析】(1)当 , 时, ,当 时,由 ,解得 ;: 2 cos 3 sin 2 0l ρ θ ρ θ− − = 2: cosC ρ θ= 3 243 131132 1313x ty t= + =t 2 3 2 0x y− − =l 2 cos 3 sin 2 0ρ θ ρ θ− − =0θ = 1ρ = ( )1,0N1MN = M ( )1,0N 1M ( )2 21 1x y− + = 2cosρ θ=2 cos 3 sin 2 0π4ρ θ ρ θθ− − = =2 2ρ = −π2 2,4A −  2 2OA =2cosπ4ρ θθ= =2ρ =π2,4B   2OB =1 1 1 1 3 242 2 2OA OB+ = + =2, [0, )3 −∞ − +∞  1a = 3b =12 3 ,21( ) ( ) | 2 1| | 3 | 4, 323 2, 3x xf x g x x x x xx x − ≤ −+ = + + − = + − ≤− 12x ≤ − 2 3 4x− ≥23x ≤ −当 时, ,解得 ;当 时,由 ,解得 ,所以不等式 的解集为 .(2)当 , 时,由三角不等式得,所以 .因为 ,即 ,所以 .当且仅当 ,即 , 时取得等号.132x− ≤ 4 4x + ≥ 0 3x≤ ≤3x 3 2 4x − ≥ 3x ( ) ( ) 4f x g x+ ≥ 2, [0, )3 −∞ − +∞  0a 0b ( ) 2 ( ) | 2 | 2 | | | 2 | | 2 2 | | 2 2 2 | 2f x g x x a x b x a x b x a x b a b− = + − − = + − − ≤ + − + = +2 3a b+ =2 22 42 2a b a b+ +≤2 23 42 2a b+≤2 2 942a b ≥+2a b=32a = 34b =

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