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全国I卷2021届高三文科数学第二次模拟试卷(一)(Word版附答案)

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时间:2021-04-08

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资料简介

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2021 届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学(一)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.复数 的虚部为( )A. B. C. D.3.已知 , , ,则 a,b,c 的大小关系为( )A. B. C. D.4.命题 , ,若 p 是真命题,则实数 a 的取值范围为( )A. B. C. D.5.已知函数 图象的一个对称中心为 ,为了得到函数的图象,只需将函数 的图象( )A.向左平移 1 个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移 1 个单位长度 D.向右平移 个单位长度6.已知函数 ,则函数 的大致图象是( )A. B.C. D.7.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法不正确的是( )A.小寒比大寒的晷长长一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长长8.中国古代几何中的勾股容圆,是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章,该章第 题为:“今有勾八步,股十五步,间勾中容圆,径几何?”意思是“直角三角形的两条直角边分别为 和 ,则其内切圆直径是多少?”若向上述直角三角形内随机抛掷 颗米粒(大小忽略不计,取 ),落在三角形内切圆内的米粒数大约为( )A. B. C. D.9.已知抛物线 的焦点为圆 的圆心,又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为 60°的直线交抛物线 C 于 A、B 两点,则 ( )A.12 B.14 C.16 D.1810.已知向量 , ,对任意 恒有 ,则( )A. B.C. D.11.已知四棱锥 中,底面 是矩形,侧面 是正三角形,且侧面 底面( ){ }2 0,B x x x x= − ≥ ∈ Z A B ={ }0, 2,3,4 { }0,2 { }3,4 { }0,1,24i1+ 3i1 1− i− i2log 7a = 3log 8b = 0.20.3c =a b c c b a b c a c a b : { |1 9}p x x x∃ ∈ ≤ ≤ 2 36 0x ax− + ≤37a ≥ 13a ≥ 12a ≥ 13a ≤( ) π2sin4f x x ϕ = +  π2ϕ   ( )3,0( ) π2cos4g x x= ( )f xπ4π4( )2 2cos sinx xx xf xe e−−=+( )f x168 15 100π 3=55 50 45 40( )2: 2 0C x py p= ( )22 1 2x y+ − =AB =≠a e 1=e t ∈ R t− ≥ −a e a e⊥a e ( )⊥ −a a e( )⊥ −e a e ( ) ( )+ ⊥ −a e a eP ABCD− ABCD PAD PAD ⊥此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 , ,若四棱锥 外接球的体积为 ,则该四棱锥的表面积为( )A. B. C. D.12.已知函数 ,若 有 2 个零点,则 的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.正实数 , 满足: ,则当 取最小值时, ________.14.已知圆 及点 ,点 P、Q 分别是直线 和圆 C 上的动点,则 的最小值为___________.15.设函数 ,若对 ,不等式 成立,则实数 的取值范围是_________.16.在 中, , , ,分别为角 , , 的对边,且 .若的内切圆面积为 ,则 面积 的最小值_______.三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)已知数列 的前 项和为 ,若 ( ),且 的最大值为 25.(1)求 的值及通项公式 ;(2)求数列 的前 项和 .18.(12 分)在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020年份代码 x 1 2 3 4 5 6学生人数 y(个) 66 67 70 71 72 74(1)根据表中数据,建立 y 关于 x 的线性回归方程 ;(2)根据线性回归方程预测 2021 年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).附:对于一组数据 ,其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 , ;(参考数据: ).ABCD 2AB = P ABCD− 8 2π34 3 6 3 8 3 10 3( ) ( )2 21 ln 2 02x a a xf x e e x a x a− −= + + − − ( )f x a(0, e  ( )20,e ( ),e +∞ )2 ,e +∞x y 2 1x y+ =2 1x y+ x =2 22) 1) 5: ( (C x y− + − = (0, 2)A 2 0x y+ + =| | | |PA PQ+( )212221x xf xx− −= ++x∀ ∈ R ( ) ( )2 4f mx f x≥ + mABC△ a b c A B Ccos3 sintanc Bb C aC − =  ABC△ 4π ABC△ S{ }na n nS 2nS n kn= − + *k ∈ N nSk na{ }112 nan −⋅ n nTˆˆ ˆy bx a= +( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y  ˆ ˆy bx a= +( )( )( )121ˆni iiniix x y ybx x==− −=−∑∑ˆa y bx= −616 28i iix y xy=− =∑19.(12 分)如图,在直三棱柱 中,底面 是等边三角形, 是 的中点.(1)证明: 平面 ;(2)若 ,求点 到平面 的距离.20.(12 分)已知椭圆 的两焦点为 , ,点 在椭圆上,且 的面积最大值为 .(1)求椭圆 的标准方程;(2)点 为椭圆 的右顶点,若不平行于坐标轴的直线 与椭圆 相交于 两点( 均不是椭圆 的右顶点),且满足 ,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.21.(12 分)已知函数 .(1)当 时,求 的极值;(2)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.1 1 1ABC A B C− ABC D AC1AB∥ 1BC D1 2AA AB= 1B 1BC D( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = ( )1 1,0F − ( )2 1,0F P C1 2PF F△ 3CM C l C ,A B ,A BC AM BM⊥ l( ) 1xf x e ax= − −1a = ( )f x2( )f x x≥ [0, )+∞ a请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的极坐标方程为 .(1)将 的参数方程化为普通方程, 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求与直线 平行且与曲线 相切的直线 的直角坐标方程.23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 .(1)若关于 x 的方程 有两个不同的实数根,求 a 的取值范围;(2)如果不等式 的解集非空,求 的取值范围.xOy O x 1Csincos 2xyαα= =α 2Cπ6θ = −1C 2C2C 1C l( ) | 3 1| 2 | 3 |f x x x= − + −| 3 1| 2 | 3 |x x a− + − =( )f x bx≤ b文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】由集合 ,得 ,或 ,所以 ,故选 A.2.【答案】A【解析】 ,所以虚部为 1,故选 A.3.【答案】B【解析】因为 在 上单调递增,因为 ,所以 ,所以 ,因为 在 上单调递增, ,所以 ,所以 ,因为 在 上单调递减, ,所以 ,即 ,所以 ,故选 B.4.【答案】C【解析】 命题 ,使 为真命题,即 ,使 成立,即 能成立,设 ,则 ,( )( ){ }1 5 0,A x x x x= + − ∈ Z { }0,1,2,3,4A =( ){ }2 0, { | 0B x x x x x x= − ≥ ∈ = ≤Z 2, }x x≥ ∈ Z{ }0,2,3,4A B =( )4i 1 3i4i3 i41 3i−= = ++2logy x= ( )0, ∞+4 7 8 2 2 22 log 4 log 7 log 8 3= = 2 3a 3logy x= ( )0, ∞+ 3 8 9 3 3 31 log 3 log 8 log 9 2= = 1 2b 0.3xy = R 0.2 00.2 00 0.3 0.3 1 = 0 1c c b a  : { |1 9}p x x x∃ ∈ ≤ ≤ 2 36 0x ax− + ≤{ |1 9}x x x∃ ∈ ≤ ≤ 2 36 0x ax− + ≤36a xx≥ +36( )f x xx= + 36 36( ) 2 12f x x xx x= + ≥ ⋅ =当且仅当 ,即 时,取等号,即 , ,故 的取值范围是 ,故选 C.5.【答案】A【解析】因为函数 图象的一个对称中心为 ,所以 , ,所以 , ,又 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以为了得到 的图象,只需将函数 的图象向左平移 1 个单位长度,故选 A.6.【答案】B【解析】函数 的定义域为 ,且 ,所以函数 为偶函数,其图象关于 轴对称,排除选项 A,D;因为 ,所以排除选项 C,故选 B.7.【答案】C【解析】由题意可知,夏至到冬至的晷长构成等差数列 ,其中 寸, 寸,公差为 寸,则 ,解得 (寸);同理可知,由冬至到夏至的晷长构成等差数列 ,首项 ,末项 ,公差 (单位都为寸),36xx= 6x = min( ) 12f x = 12a∴ ≥a 12a ≥( )f x ( )3,03π π4kϕ+ = k ∈ Z 3ππ4kϕ = − k ∈ Zπ2ϕ π4ϕ = ( ) π π2sin4 4f x x = +  ( ) ( )π π π π π2cos 2sin 2sin 14 4 2 4 4g x x x x   = = + = + +      ( ) π2cos4g x x= ( )f x( )2 2cos sinx xx xf xe e−−=+R ( ) ( )f x f x− =( )f x y( ) 10 12f = { }na1 15a = 13 135a = d135 15 12d= + 10d ={ }nb1 135b = 13 15b = 10d = −故小寒与大寒相邻,小寒比大寒的晷长长 10 寸,即一尺,选项 A 正确;春分的晷长为 , ,秋分的晷长为 , ,故春分和秋分两个节气的晷长相同,所以 B 正确;小雪的晷长为 , ,115 寸即一丈一尺五寸,故小雪的晷长为一丈一尺五寸,C 错误;立春的晷长,立秋的晷长分别为 , ,, , ,故立春的晷长比立秋的晷长长,故 D 正确,故选 C.8.【答案】C【解析】直角三角形的斜边长为 ,设三角形内切圆的半径为 ,面积为 ,利用等面积法可知 ,解得 ,向该直角三角形内随机抛掷 颗米粒,设落在三角形内切圆内的米粒数大约为 x,则利用几何概型可知 ,解得 颗,所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为 45,故选 C.9.【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为 ,则 ,即 ,则抛物线方程为 ,直线 的倾斜角为 60°,则斜率为 ,故直线 的方程为 ,联立直线与抛物线 ,可得 ,设 , ,则 , ,则 ,故选 C.10.【答案】C 7b 7 1 6 135 60 75b b d∴ = + = − = 7a 7 1 6 15 60 75a a d∴ = + = + = 11a 11 1 10 15 100 115a a d∴ = + = + = 4b 4a4 1 3 15 30 45a a d∴ = + = + = 4 1 3 135 30 105b b d= + = − = 4 4b a∴ 2 28 15 17+ = r S( )1 18 15 8 15 172 2S r= × × = × + + 3r =1002π 31100 8 152x ×=× ×2π 3 1004518 152x× ×= =× ×( )0,1 12p = 2p = 2 4x y= AB 3 AB 3 1y x= +2 43 1x yy x == +2 4 3 4 0x x− − =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4 3x x+ = 1 2 4x x = −( ) ( )21 3 4 3 4 4 16AB = + ⋅ − × − =【解析】 对任意 恒有 ,,即 ,即 对任意 恒成立,则 ,,故 和 不垂直,故 A 错误;, , ,故 B 错误;, ,故 C 正确;,故 D 错误,故选 C.11.【答案】B【解析】设四棱锥 外接球的球心为 ,过 作底面 的垂线,垂足为 ,因为四边形 是长方形,所以 为底面中心,即对角线 的交点,过 作三角形 的垂线,垂足为 ,所以 是正三角形 外心,设外接球半径为 ,外接球的体积为 ,所以 ,即 ,过 作 ,则 是 的中点,连接 ,所以 , ,因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,所以 ,所以 平面 ,所以 ,所以四边形 是平行四边形,即 ,设 ,则 , ,所以 ,由勾股定理得 ,即 ,解得 ,所以 , , t ∈ R t− ≥ −a e a e2 2t∴ − ≥ −a e a e 2 2 2 2 22 2t t− ⋅ + ≥ − ⋅ +a a e e a a e e( )2 2 2 1 0t t− ⋅ + ⋅ − ≥a e a e t ∈ R( ) ( ) ( )2 22 4 2 1 4 1 0Δ = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ≤a e a e a e1∴ ⋅ =a e a e≠a e 1=e 2 2( ) 1 0∴ ⋅ − = − ⋅ = − ≠a a e a a e a2( ) 1 1 0⋅ − = ⋅ − = − =e a e a e e ( )∴ ⊥ −e a e2 2 2( ) ( ) 1 0+ ⋅ − = − = − ≠a e a e a e aP ABCD− O O ABCD MABCD M AC BD、O APD N N APDr38 2π 4π3 3r= 2r = 2OA =N NE AD⊥ E AD EM112EM AB= = EM AD⊥APD ⊥ ABCD APD  ABCD AD=NE ⊥ ABCD //NE OM EM ⊥ APD //EM ONMENO OM NE=2AD x= 2 2 2 1AM AE EM x= + = +1 1 3 33 3 2 3NE PE AD x= = × =33OM NE x= =2 2 2OA OM AM= + 2 212 13x x= + + 32x =3AD = 21 3 3sin 602 4PADS AD= ° =△因为 ,所以 平面 , 平面 ,所以 , , ,因为 , ,作 于 ,所以 为 的中点,所以 ,所以 , ,所以 ,故选 B.12.【答案】C【解析】 可转化为 .设 ,由基本不等式得 ,当且仅当 时, 取到最小值 0.设 ,则 ,当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减,所以当 时, 取到最大值 .若 有 2 个零点,则 与 有两个交点,// //CDAB OM AB ⊥ APD CD ⊥ APDPA AB⊥ PD CD⊥132PAB PCDS S AB AP= = × × =△ △2 2 7PB PC PA AB= = + = 3BC =PH BC⊥ H H BC22 1 3 572 4 2PH PB BC = − = − =  1 5 32 4PBCS PH BC= × × =△ 2 3ABCDS =矩形6 3PAD PAB PCD ABCDS S S S S= + + + =△ △ △表 矩形( ) 0f x = 2 212 ln2x a a xe x a xe − −+ − = − +( ) 2x a a xg x e e− −= + −2 2 2 0x a a x x a a xe e e e− − − −+ − ≥ ⋅ − =x a= ( )g x( ) ( )2 21 ln 02h x x a x a= − + ( )2 2 2a a xh x xx x−′ = − + =0 x a ( ) 0h x′ ( )h xx a ( ) 0h x′ ( )h xx a= ( )h x 2 21 ln2a a a− +( )f x ( )g x ( )h x此时 ,解得 ,故选 C.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.【答案】【解析】 , , ,,当且仅当 ,即 时,等号成立.故答案为 .14.【答案】【解析】如图所示:设点 关于直线 的对称点为 ,则 ,解得 ,则 ,因 为 , 所 以 的 最 小 值 为,2 21 ln 02a a a− + a e130x  0y 2 1x y+ =( )2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 5 2 4 9y x y xx yx y x y x y x y∴ + = + + = + + ≥ + ⋅ = +  =2 2y xx y= 13x y= =132 5A : 2 0l x y+ + = ( ),A x y′22 02 221x yyx+ + + = − =42xy= − = −( )4, 2A′ − −PA PA′= PA PQ+ ( ) ( )2 24 2 2 1 5 2 5A C r′ − = − − + − − − =故答案为 .15.【答案】【解析】函数 的定义域为 ,,所以,函数 为偶函数,当 时, ,由于函数 为减函数, 在 上为减函数,所以,函数 在 上单调递减,由 可得 ,可得 ,所以, 对任意的 恒成立,设 ,则 对任意的 恒成立,由于二次函数 的对称轴为直线 ,,解得 ,因此,实数 的取值范围是 ,故答案为 .16.【答案】【解析】因为 ,所以 ,即 ,所以 ,即 , ,由题意知 内切圆的半径为 ,如图,内切圆的圆心为 , 为切点,则 , ,2 5[ ]4, 4−( )212221x xf xx− −= ++R( ) ( )( )( )2 21 12 22 22 211x xx xf x f xxx− − −− − −− = + = + =++ −( )f x0x ≥ ( ) ( )212 23 1 2 32 11 2 1xxxf xx x−− += + = + −+ +122xy = 2 231yx=+[ )0,+∞( )212221x xf xx− −= ++[ )0,+∞( ) ( )2 4f mx f x≥ + ( ) ( )2 4f mx f x≥ + 2 4mx x≤ +2 4 0x m x− ⋅ + ≥ x ∈ R0t x= ≥ 2 4 0t m t− + ≥ 0t ≥2 4y t m t= − + 02mt = ≥2 16 0Δ m∴ = − ≤ 4 4m− ≤ ≤m [ ]4, 4− [ ]4,4−12 3cos3 sintanc Bb C aC − =  ( )3 sin sin cos cos sinB C B C A− =( )3 cos sinB C A− + = 3 cos sinA A= tan 3A = π3A∴ =ABC△ 2 I ,M N4AI = 2 3AM AN= =从而 ,由余弦定理得 ,整理得 ,解得 或 (舍去),从而 ,即 面积 的最小值为 ,故答案为 .三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】(1) , ( );(2) .【解析】(1)由题可得 , ,所以当 为偶数时, ,解得 ;当 为奇数时, ,此时 无整数解,综上可得: , .① 时, .②当 时, ,当 时也成立.综上可得 ,所以 , ( ).(2) ,4 3a b c= + − ( )2 2 24 3b c b c bc+ − = + −( )3 48 8 3 16 3bc b c bc+ = + ≥ 48≥bc 163≤bc1 1 3sin 48 12 32 2 2S bc A= ≥ × × =ABC△ S 12 3 12 310k = 2 11na n= − + *n∈ N4 3 49 9 3n nnT+= −⋅2 22 4nk kS n= − − +  *k ∈ Zk ( )2max2254n kkS S= = = 10k =k ( )21max21254n kkS S +−= = = k10k = 2 10nS n n= − +1n = 1 1 9a S= =2n ≥ ( ) ( ) ( )( )221 10 1 10 1 2 11n n n n n n n na S S − = − + − − − + − = − += −1n =2 11na n= − +10k = 2 11na n= − + *n∈ N11 22 24na nnnn n− −⋅ = ⋅ =① ②两式相减得 ,,则 ,则 .18.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)由题意, , ,,, ,∴ 关于 的线性回归方程为 .(2)由(1)可知,当年份为 2021 年时,年份代码 ,此时 ,保留整数为 人,所以 2021 年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为 人.19.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】(1)设 ,连接 ,由直棱柱的性质可知四边形 是矩形,则 为 的中点,因为 是 的中点,所以 ,因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .(2)连接 ,由(1)知 平面 ,所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,因为底面 是等边三角形, 是 的中点,所以 ,1 21 24 4 4n nnT = + + ⋅ ⋅ ⋅ +2 3 11 1 2 14 4 4 4 4n n nn nT +−= + + ⋅ ⋅ ⋅ + +2 13 1 1 14 4 4 4 4n n nnT += + + ⋅ ⋅ ⋅ + −1 11 113 1 14 414 4 3 3 4 414nn n n nn nT + + −  = − = − −⋅−14 19 9 4 3 4n n nnT −= − −⋅ ⋅4 3 49 9 3n nnT+= −⋅ 1.6 64.4y x= + 751 2 3 4 5 63.56x+ + + + += = 66 67 70 71 72 74 706y+ + + + += =( ) ( ) ( ) ( )7 2 2 2 2 2 2 212.5 1.5 0.5 0.5 1.5 2.5 17.5iix x=− = − + − + − + + + =∑( )171277281.617.5iiiiix xx y x yb ==−−∴ = = =∑∑ 70 1.6 3.5 64.4a y bx= − = − × =$ $y x  1.6 64.4y x= +7x =  1.6 7 64.4 75.6y = × + =75 754 17171 1B C BC E= DE1 1BCC B E 1B CD AC 1//DE AB1AB ⊄ 1BC D DE ⊂ 1BC D 1 //AB 1BC D1AC 1 //AB 1BC D1B 1BC D A 1BC DABC D AC BD AC⊥因为 ,所以 ,则 ,从而 的面积为 ,故三棱锥 的体积为 ,由直棱柱的性质可知平面 平面 ,则 平面 ,因为 平面 ,所以 ,又 ,所以 的面积为 ,设点 到平面 的距离为 ,则 ,解得 ,故点 到平面 的距离为 .20.【答案】(1) ;(2)证明见解析,定点坐标为 .【解析】(1)由椭圆的对称性可知:当点 落在椭圆的短轴的两个端点时, 的面积最大,此时 ,解得 ,由 ,得 ,椭圆 的标准方程为 .(2)设 , ,直线 的方程为 ,2AB = 1AD = 3BD =ABD△ 1 31 32 2× × =1C ABD−1 3 2 343 2 3× × =ABC ⊥ 1 1ACC A BD ⊥ 1 1ACC A1C D ⊂ 1 1ACC A 1BD C D⊥2 21 1 17C D CC CD= + = 1BC D△1 513 172 2× × =A 1BC D h1 51 2 33 2 3h× = 4 1717h =1B 1BC D4 17172 214 3x y+ =2,07   P 1 2PF F△12 32b× × = 3b =2 2 2a b c= + 2 3 1 4a = + =∴ C2 214 3x y+ =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l y kx m= +联立 ,得 ,则 ,即 ,, ..椭圆的右顶点为 , , ,,即 ,,整理可得 ,解得 , ,( , 均满足 ).当 时, 的方程为 ,直线 过右顶点 ,与已知矛盾;当 时, 的方程为 ,过定点 ,直线 过定点,定点坐标为 .21.【答案】(1)极小值 0,无极大值;(2) .【解析】(1)当 时, ,所以 .当 时, ;当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 时,函数 有极小值 ,无极大值.(2)因为 在 上恒成立,2 214 3y kx mx y= ++ =( ) ( )2 2 23 4 8 4 3 0k x mkx m+ + + − =( )( )2 2 2 264 16 3 4 3 0Δ m k k m= − + − 2 23 4 0k m+ − 1 2 283 4mkx xk∴ + = −+( )21 2 24 33 4mx xk−=+( )( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 23 43 4m ky y kx m kx m k x x mk x x mk−∴ = + + = + + + =+ ( )2,0M AM BM⊥ 0MA MB∴ ⋅ = ( )( )1 2 1 22 2 0x x y y∴ − − + = ( )1 2 1 2 1 22 4 0y y x x x x+ − + + =( ) ( )2 2 22 2 23 4 4 3 164 03 4 3 4 3 4m k m mkk k k− −∴ + + + =+ + +2 27 16 4 0m km k+ + =1 2m k= − 227km = − 1m 2m 2 23 4 0k m+ − 2m k= − l ( )2y k x= − l ( )2,0227km = − l27y k x = −  2,07   ∴ l2,07   ( , 2]e−∞ −1a = ( ) 1xf x e x= − − ( ) 1xf x e= −′0x ( ) 0f x′ 0x ( ) 0f x′ ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞0x = ( )f x (0) 0f =2( )f x x≥ [0, )+∞所以 在 上恒成立.当 时, 恒成立,此时 ;当 时, 在 上恒成立.令 ,则 .由(1)知 时, ,即 .当 时, ;当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 时, ,所以 ,综上可知,实数 的取值范围是 .22.【答案】(1) , ;(2) .【解析】(1)因为曲线 的参数方程为 ( 为参数),所以 ,消去 ,得 .因为直线 的极坐标方程为 ,所以 ,即 ,所以 .(2)设切线方程为 ,由 ,得 ,2 1 0xe x ax− − − ≥ [0, )+∞0x = 0 0≥ a ∈ R0x 1( )xea xx x≤ − + (0, )+∞1( ) ( )xeg x xx x= − +22 2 2( 1) 1 ( 1)( ( 1))( ) ( )x xe x x x e xg xx x x− − − − +′ = − =0x ( ) 0f x ( 1) 0xe x− + 0 1x ( ) 0g x′ 1x ( ) 0g x′ ( )g x (0,1) (1, )+∞1x = min( ) 2g x e= − 2a e≤ −a ( , 2]e−∞ −21 1 2: y xC = − ( )2 : 3 3 0, 0C x y x+ = ≥ 3 253 24y x= − +1Csincos 2xyαα= =α2sin1 2sinxyαα= = −α 21 2y x= −2Cπ6θ = −π sin 3tan tan6 cos 3ρ θθρ θ = − = = −  33yx= − ( )3 3 0, 0x y x+ = ≥33y x b= - +2331 2y x by x= − + = −2 32 1 03x x b− + − =所以 ,解得 ,所以切线方程是 .23.【答案】(1) ;(2) 或 .【解析】(1) ,当 时,函数 单调递增,并且 ;当 时,函数 单调递增,并且 ;当 时,函数 单调递减,并且 ,综上:当 时,函数 单调递增,当 时,函数 单调递减,且.作出 的图象如图所示:要使关于 x 的方程 有两个不同的根,( )238 1 03Δ b = − − × − =   2524b =3 253 24y x= − +16|3a a   { 5b b −∣ 83b≥ 5 7, 31( ) 3 1 2 3 5, 3315 7,3x xf x x x x xx x − ≥= − + − = + ≤ − + 3x ≥ ( )f x ( ) 8f x ≥133x≤ ( )f x 16( )3f x ≥13x ( )f x 16( )3f x 13x ( )f x 13x ( )f x16( )3f x ≥( )f x| 3 1| 2 | 3 |x x a− + − =则 a 的取值范围 .(2)因为 ,记点 ,坐标原点为 ,则直线 的斜率为 .当直线 与 平行时,无交点,所以当 或 时,该直线与函数 的图象相交.因为不等式 的解集非空,所以 的取值范围是 或 .16|3a a   (3) 8f = (3,8)M (0,0)O OM83k =y bx= 5 7y x= − +5b −83b ≥ ( ) | 3 1| 2 | 3 |f x x x= − + −( )f x bx≤b { 5b b − 83b≥ 

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