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广东省揭阳市2021届高三数学下学期开学质量测试试题(Word版附答案)

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时间:2021-03-09

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★开封前注意保密揭阳市 2020—2021 学年度高中三年级教学质量测试数学本试题共 6 页,考试时间 120 分钟,满分 150 分注意事项:1.答题前,考生先将自己的信息填写清楚、准确,将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。3.答题时请按要求用笔,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后,请将本试题及答题卡交回。一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合 , ,则A. B.C. D.2.已知复数 ,则 的虚部为A.2 B.-2 C. D.3.某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有 2 名教师和 3 名学生要进入校园(不分先后顺序),请问进入校园的方式共有A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.32 种4.科赫曲线因形似雪花,又被称为雪花曲线.其构成方式如下:如图 1 将线段 等分为 , , ,如图 2 以 为底向外作等边三角形 ,并去掉线段 .在图 2 的各条线段上重复上述操作,当进行三次操作后形成图 3 的曲线.设线段 的长度为 1,则图 3 曲线的长度为{ }2 2 3 0A x x x= − − { }2 4B x x= ≤ ≤ A B∩ ={ }2 3x x≤ { }1 4x x− ≤ { }2 3x x ≤ { }1 4x x− ≤4 2i1 2iz−=+z2i 2i−AB AC CD DBCD CMD CDABA.2 B. C. D.35.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合,而是根据中药配伍原则,总结临床经验,用若干药物配制组成的药方,以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”(由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成)和补血名方“四物汤”(由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成)两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味,取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是A. B. C. D.6.在新冠肺炎疫情期间,某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量 (单位:毫克)随时间 (单位:小时)的变化情况如图 4 所示.在药物释放的过程中, 与 成正比;药物释放完毕后,与 的函数关系式为 ( 为常数).据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.2 毫克以下时,学生方可进入教室.那么,从药物释放开始到学生能回到教室,至少在(参考数值 )A.42 分钟后 B.48 分钟后C.50 分钟后 D.60 分钟后7.在矩形 中, , , , 分别是 , 上的动点,且满足 ,设 ,则 的最小值为A.48 B.49 C.50 D.518. 已 知 函 数 定 义 域 为 , 满 足 , 且 对 任 意 均 有成立,则满足 的 的取值范围是A. B.836427135170184011680yt y t yt 10a ty −= alg 2 0.30103≈ABCD 4AB = 3AD = M N AB AD 2 1AM AN+ =AC xAM y AN= +  2 3x y+( )f x R ( ) ( )2f x f x= − 1 21 x x≤ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− ⋅ −    ( ) ( )2 1 3 0f x f x− − − ≥ x( ] 2, 2 ,3 −∞ − ∪ +∞ ( ] 4,0 ,3 −∞ ∪ +∞ C. D.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。9.已知一组直线为 ,则以该组直线为渐近线的双曲线有A. B.C. D.10.已知等比数列 的公比为 ,且 ,则下列选项正确的是A. B.C. D.11.设函数 ,已知 在 上有且仅有 1 个极大值点,则下列四个结论中正确的有A. 在 内有 5 个零点 B. 在 有 2 个极小值点C. 在 上单调递增 D. 可以取12.如图,设正方体 的棱长为 2, 为 的中点, 为 上的一个动点,设由点, , 构成的平面为 ,则A.平面 截正方体的截面可能是三角形B.当点 与点 重合时,平面 截正方体的截面面积为22,3 −  40,3   2 0x y± =2 24 1x y− = 2 24 1y x− =22 14yx − =22 14xy− ={ }na q 5 1a =3 7 2a a+ ≥ 4 6 2a a+ ≥7 62 1 0a a− + ≥ 3 42 1 0a a− − ≥( ) ( )sin 2f x x ϕ= + ( )f x ( )0,2π( )f x ( )0,2π ( )f x ( )0,2π( )f x 0,10π   ϕ2π1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1A D F 1CCA E F ααF 1C α 2 6C.点 到平面 的距离的最大值为D.当 为 的中点时,平面 截正方体的截面为五边形三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.抛物线 的焦点坐标为________________.14.已知数列 满足: ,则 的前 100 项和为________________.15.长为 的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦,弓形高 ,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为______________ .16.已知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ,且满足 , ,则的面积的最大值为_______________.四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在 ,它的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 ,,______________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.已知数列 的前 项和为 ,且满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)记 ,求数列 的前 项和 .19.太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐,但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷,现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器,如果天气不好或冬季水温无法满D α2 63F 1CC α2: 2C y x={ }na( )2 1cos3nnaπ−= { }na1m2dmAB = ( )20 10 3 cmCD = − 2cmABC△ A B C a b c 2a = 2 2 22a b c= + ABC△sin 3 cos 2C C+ = 2C A= 2b a=aABC△ A B C a b c ( )3 2 cos 2 cosc b A a B− =1c ={ }na n nS 2 1n nS a+ ={ }na3logn nb a= − { }n na b n nT足需要时,就可以通过辅助电加热器把水温升高,方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示.日照情况 日均气温不低于 15℃ 日均气温低于 15℃日照充足 耗电 0 千瓦时 耗电 5 千瓦时日照不足 耗电 5 千瓦时 耗电 10 千瓦时日照严重不足 耗电 15 千瓦时 耗电 20 千瓦时根据调查,当地每天日照充足的概率为 ,日照不足的概率为 ,日照严重不足的概率为 .2020 年这一年的日均气温的频率分布直方图如图 7 所示,区间分组为 , , , , ,.(1)求图 7 中 的值,并求一年中日均气温不低于 15℃的频率.(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电 20 千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以 365 天计算)20.如图 8,在梯形 中, , , .将 与 分别绕 ,旋转,使得点 , 相交于一点,设为点 ,形成图 9,且二面角 与二面角 都是45°.252515[ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20, 25 [ )25,30[ ]30,35aABCD //AB CD AE CD⊥ BF CD⊥ ADE△ BCF△ AE BFD C P P AE F− − P BF E− −(1)证明:平面 平面 ;(2)若 ,且梯形 的面积为 ,求二面角 的余弦值.21.已知函数 , .(1)若直线 是函数 的切线,求 的值;(2)判断函数 的单调性,并证明.22.已知椭圆 的离心率为 ,且经过点 .设椭圆 的左、右焦点分别为 , , 是椭圆 上的一个动点(异于椭圆 的左、右端点).(1)求椭圆 的方程;(2)过点 作椭圆 的切线 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,求 面积的最大值.揭阳市 2020—2021 学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8A B D C A B B D1.A 本题考查集合的基本运算 . 解一元二次不等式求出集合 ,再与集合取 交 集 , 最 后 得 出 答 案 . 因 为 , 所 以.故选 A.2.B 本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成 的形PEF ⊥ ABFE2AB = ABCD 2 1+ F PB A− −( ) ( ) ( )e lnxf x x m x m x= − + + + 2m ≤: 1l y x= + ( )f x m( )f x( )2 22 2: 1 0x yC a ba b+ = 1262,2A    C1F 2F P C CCP C l 1F l Q 1 2QF F△{ }2 2 3 0A x x x= − − { }2 4B x x= ≤ ≤ { } { }2 2 3 0 1 3A x x x x x= − − = − { }2 3A B x x∩ = ≤ ( )i ,z a b a b= + ∈ R式,再根据虚部定义得出答案.因为 ,所以 的虚部为-2.故选 B.3.D 本题考查计数原理的应用,完成该事情分两步:先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式;再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园,所以 3 名学生进入校园的方式共种.因为教师只可以从南门或北门进入校园,所以 2 名教师进入校园的方式共有 种.所以 2 名教师和 3名学生要进入校园的方式共有 种情况.故选 D.4.C 本题考查等比数列通项公式的应用,根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列 的前 4 项,本题所求的结果为 .依题意得 , , , .所以当进行三次操作后形成图 3 的曲线时,曲线的长度 .故选 C.5.A 本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况,再利用古典概型概率公式求得答案 .记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件 .依题意得.故选 A.6.B 本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出 时的函数解析式,即求出 的值,再解不等式求得答案.把点 代入 中, ,解得 .所以当 时, ,解得 .至少需要经过 分钟后,学生才能回到教室.故选 B.7.B 本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图,建立平面直角坐标系,写出各点的坐标,根据向量性质得到 的关系式,再利用基本不等式求最小值.如图,建立平面直角坐标系,则 ,, , ,设 , ,因为 ,所以 , ,. 因 为 , 所 以 , , 所 以.当且仅当 ,即 ,( )( )( )( )4 2i 1 2i4 2i 10i2i1 2i 1 2i 1 2i 5z− −− −= = = = −+ + −z32 8=22 4=8 4 32× ={ }na4a 1 1a = 243a = 3169a = 46427a =46427a =M( ) 482 1C 35P M = =0.1t ≥ a( )0.1,1 10a ty −= 0.11 10a−= 0.1a =0.1t ≥ 0.110 0.2ty −= 1.1 lg 2 0.8t − ≈ 0.8 60 48× =x y+ ( )0,0A( )4,0B ( )4,3C ( )0,3D ( ),0M m ( )0,N n 2 1AM AN+ = 2 1m n+ = 102m 0 1n AC xAM y AN= +   4xm= 3yn=( )8 9 8 9 8 182 3 2 25 25 24 49n mx y m nm n m n m n + = + = + + = + + ≥ + =  8 18n mm n= 27m =时取等号.故选 B.8.D 本题考查函数的综合应用.根据 得到函数 关于直线 对称,对任意均有 成立得函数 在 上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案 .因为函数 满足 ,所以函数 关于直线 对称,因为对任意均有 成立,所以函数 在 上单调递减.由对称性可知在 上 单 调 递 增 . 因 为 , 即 , 所 以,,即 ,解得 .故选 D.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。9 10 11 12ABD AC BD BCD9.ABD 本题考查双曲线的渐近线计算.根据双曲线 的渐近线方程为 求得答案.因为的渐近线方程为 ,即 ,故 A 正确 .因为 的渐近线方程为,即 ,故 B 正确.因为 的渐近线方程为 ,即 ,故 C 错误.因为 的渐近线方程为 ,即 ,故 D 正确.故选 ABD.37n =( ) ( )2f x f x= − ( )f x 1x = 1 21 x x≤ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− −    ( )f x [ )1,+∞( )f x ( ) ( )2f x f x= − ( )f x 1x =1 21 x x≤ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− −    ( )f x [ )1,+∞( )f x ( ],1−∞ ( ) ( )2 1 3 0f x f x− − − ≥ ( ) ( )2 1 3f x f x− ≥ −2 1 1 3 1x x− − ≤ − − 2 2 2x x− ≤ −403x≤ ≤2 22 21x ym n− =ny xm= ±2 24 1x y− =12y x= ± 2 0x y± = 2 24 1y x− =12y x= ± 2 0x y± =22 14yx − = 2y x= ± 2 0x y± =22 14xy− =12y x= ± 2 0x y± =10.AC 本题考查等比数列的性质、基本不等式和一元二次不等式等知识.根据等比数列的性质可得 ,, , ,再代入四个选项,结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案,使用基本不等式时注意基本不等式成立的条件.根据等比数列的性质可得 , , , ,因为 ,故 A 正确 .因为 ,当 时式子为负数,故 B 错误 .因为,故 C 正确.因为 ,存在使得 ,故 D 错误.故选 AC.11.BD 本题考查三角函数的图象和性质的综合应用.根据函数 求出函数的周期为 ,再结合 在 上有且仅有 1 个极大值点画出函数图象,求得 的值及相关性质 .因为函数的最小正周期 ,又因为 在 上有且仅有 1 个极大值点,所以函数 的图象如图所示.所以 在 内有 4 个零点, 在 有 2 个极小值点, 在 上单调递减,由解得 , .所以 BD 正确,AC 错误.故选 BD.12.BCD 本题考查立方体的截面问题.现有的条件只显示了部分“平面”,为了获得“截面”的全貌,需要将平面进行“扩大补全”,考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力.如图,建立空间直角坐标系,延长 与 轴3 21aq=41aq= 6a q=27a q=3 21aq= 41aq= 6a q=27a q=23 7 212a a qq+ = + ≥ 4 61a a qq+ = + 0q ( )227 62 1 2 1 1 0a a q q q− + = − + = − ≥23 4 21 2 12 1 1 1 2a aq q q − − = − − = − −  q3 42 1 0a a− − ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + π( )f x ( )0, 2π ϕ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + 22Tπ π= = ( )f x ( )0,2π( )f x( )f x ( )0, 2π ( )f x ( )0,2π ( )f x 0,10π   ( )0 sin 1f ϕ= = 22kπϕ π= + k ∈ ZAE z交于点 ,连接 与 轴交于点 ,则平面 由平面 扩展为平面 .由此模型可知A错误,B,D 正确 .现主要解析一下 C 选项 .设点 的坐标为 ,则点 到直线 的距离为,则可知点 到直线 的距离为 ,则可得 的面积 .设点 到平面 的距离为 ,利用等体积法 可得 .当 时, 取到最大值为 .故选 BCD.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.【答案】【解析】本题考查抛物线的焦点问题.该抛物线的焦点在 轴上.14.【答案】1【解析】本题考查周期数列的前 项和的一般规律. , , , , ,,…可知数列 是以 3 为周期的周期数列,即可得答案为 1.15.【答案】P PF y M α AEF APMM ( ) [ ]( )0, ,0 2,4t t ∈ D AM224tt+P AM2220 644tt++APM△ 25 16S t= + Dα h D APM M PADV V− −= 245 16tht=+4t = h2 6310,8   yn 1 1a = 212a = − 312a = − 4 1a = 512a = −612a = − { }na20003π【解析】本题考查垂径定理及弧长公式.以实际问题为背景体现了数学的“劳育”价值.设截面圆的半径为 ,连接 ,点 在线段 上, , ,根据垂径定理可得,解得 ,所以 ,则有 ,故可得弧 ,结合木材长 ,可得答案为 .16.【答案】【解析】本题考查解三角形中的正、余弦定理,面积公式以及不等式等相关知识,综合难度较大.由余弦定理可得 ,化简得 ,则 ,则 的面积.四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【答案】由 结合正弦定理可得 ,所以.因为 ,所以 .[选择条件①的答案]所以 .由 得 ,所以 .因为 ,所以 .所以 .RCO D CO110cm2AD AB= = ( )20 10 3OD R CD R= − = − −2 2 2R OD AD= + 20cmR =6AODπ∠ =3AOBπ∠ = 20 cm3ABπ=1m20003π232 2 2 22 cos 2b c bc A b c+ − = + cos2bAc= −2 24sin2c bAc−= ABC△2 2 2 2 2 2 21 4 3 4 9 4 2sin2 4 12 24 3b c b b c b b c bS bc A− − + −= = = ≤ =( )3 2 cos 2 cosc b A a B− = ( )3sin 2sin cos 2sin cosC B A A B− =( )3sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin 2sinC A A B A B A B C= + = + =sin 0C ≠2cos3A =5sin3A =sin 3 cos 2C C+ = 2sin 23Cπ + =  sin 13Cπ + =  ( )0,C π∈3 2Cπ π+ =6Cπ=由正弦定理 得 .[选择条件②的答案]方法一:所以 .因为 ,所以 .由正弦定理 得 .方法二:由正弦定理 得 .[选择条件③的答案]方法一:所以 .由 得 .因为 ,所以 .所以三角形不存在.方 法 二 : 由 , 得 , 即 , 所 以.所以三角形不存在.【解析】本题考查三角恒等变换、解三角形等知识,化简 可得 的值.条件①借助辅助角公式可求得 ,再利用正弦定理解题.条件② 可以利用二倍角公式计算 的值,再利用正弦定理解题.条件③ 可借助余弦定理构建一元二次方程或利用正弦定理求的值,再判断三角形不存在.sin sina cA C=5sin 2 531sin 32c AaC= = =5sin3A =2C A=4 5sin sin 2 2sin cos9C A A A= = =sin sina cA C=5sin 33sin 44 59c AaC= = =sin sina cA C= sin sin sin 1 34sin sin 2 2sin cos 2cos 43c A c A c A caC A A A A= = = = = =5sin3A =2b a= sin 2sinB A=5sin3A = 2 5sin 2sin 13B A= = 2b a= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 83 1 03a a− + = 29 8 3 0a a− + =28 4 3 9 44 0= − × × = − △( )3 2 cos 2 cosc b A a B− = cos Asin 3 cos 2C C+ = C 2C A=sin C 2b a=sin B18.【答案】(1)令 得 ,可得 ;当 时, 与 相减,可得 .所以 是以 为首项,公比为 的等比数列.故 .(2)利用对数的性质可得 ,① .②两式相减①-②可得 .整理得 .【解析】本题考查等比数列的前 项和 与 间的关系,并根据该关系求解 的通项公式,第(2)问考查错位相减法.19.【答案】(1)依题意得 .一年中日均气温不低于 15℃的频率为 .(2)这一年中日均气温不低于 15℃的概率的估计值为 ,一年中日均气温低于 15℃的概率的估计值为 ,设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为 , 的所有可能取值为 0,5,10,15,20., ,, , .所以 的分布列为1n = 1 12 1S a+ = 113a =2n ≥ 1 12 1n nS a− −+ = 2 1n nS a+ = 13 n na a −={ }na131313nna =   3 31log log3nn nb a n = − = − =  1 1 2 2 21 23 3 3n n n nnT a b a b a b= + + + = + + + 2 3 11 1 23 3 3 3n nnT += + + +2 3 1 12 1 1 1 1 1 2 33 3 3 3 3 3 2 2 3n n n nn nT + ++= + + + + − = −⋅3 2 34 4 3n nnT+= −⋅n nS na { }na( )1 1 0.02 5 0.03 5 0.03 5 0.04 5 0.03 5 0.055a = − × − × − × − × − × =30.03 5 0.04 5 0.05 5 0.03 5 0.754× + × + × + × = =3414X X( ) 2 3 6 305 4 20 10P X = = × = = ( ) 2 3 2 1 8 255 4 5 4 20 5P X = = × + × = =( ) 2 1 2 1105 4 20 10P X = = × = = ( ) 1 3 3155 4 20P X = = × = ( ) 1 1 1205 4 20P X = = × =X0 5 10 15 20所以 的数学期望所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为 (千瓦时)所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为 (千瓦时)【解析】本题是概率统计综合问题,第(1)问主要考查频率分布直方图的相关知识,根据频率分布直方图中频率和为 1 求出区间 的频率,再除以组距求得 的值.第(2)问考查随机变量分布列的应用,先求日均耗电的分布列及均值,再与原来的比较求得答案.20.【答案】(1)∵ , ,∴ , ,∴ .与 分别绕 , 旋转的过程中, , 的角度保持不变,故有 ,.又由 得 ,且 ,故可得 平面 .又由 平面 ,所以平面 平面 .(2)根据翻折过程中角度的不变性可知, , .故 为二面角 的平面角,同理 为二面角 的平面角.由题意可知 ,所以 为等腰直角三角形.依题意易求得 ,又求得 ,由此可得 .即可得 .结合梯形的面积公式可得 .如图,以 的中点 为原点建立空间直角坐标系 ,则可得点 , ,, , .XP 31025110320120X ( ) 3 2 1 3 1 250 5 10 15 20 6.2510 5 10 20 20 4E X = × + × + × + × + × = =20 6.25 13.75− =13.75 365 5018.75× =[ )25,30 aAE CD⊥ BF CD⊥90AED∠ = ° 90BFC∠ = ° //AE BFADE△ BCF△ AE BF AED∠ BFC∠ AE PE⊥BF PF⊥//AE BF AE PF⊥ PE PF P∩ = AE ⊥ PEFAE ⊂ ABFE PEF ⊥ ABFEPE AE⊥ EF AE⊥PEF∠ P AE F− − PFE∠ P BF E− −45PEF PFE∠ = ∠ = ° PEF△AB EF= 2EF = 1PE PF= = 2 2CD = +1AE BF= =EF O O xyz− 20, ,02F    20,0,2P    21, ,02B    21, ,02A −   20, ,02E −   所以有 , ,由第(1)问可知 是平面 的一个法向量,取平面 的一个法向量 .设平面 的一个法向量 ,则有即可得 解得 .令 ,可得 .即 .所以有 ,则有二面角 的余弦值为 .【解析】本题以翻折为背景,考查立体几何中的面面垂直以及二面角的计算等.本题需要学生综合运用两个图的关系发现平面图形中蕴含的几何关系.21.【答案】(1)函数 的定义域为 .对函数 求导可得 .设直线 关于函数 的切点为 ,则有解方程可得 , , .(2)由第(1)问可得 ,令 ,则 .可知在 上, ;在 上, ,即 在 上单调递减,在 上单调递增,于是有 ,即有 恒成立.2 21, ,2 2PB = −    ( )0, 2,0AB =EPPBF PBF ( )2 0,1,1m EP= = PBA ( ), ,n x y z= 0,0.n PBn AB ⋅ =⋅ =  2 20,2 22 0,x y zy+ − = =0y = 2z = 1x = ( )1,0, 2n =3cos ,3m nm nm n⋅= =⋅    F PB A− −33−( )f x ( ),x m∈ − +∞( )f x ( ) ( )e lnxf x x m′ = − +l ( )f x ( ),n t ( ) ( )( )1,e ln ,e ln 1.nnt nt m n m n nm n= + = − + + + − + =1m = 0n = 1t =( ) ( )e lnxf x x m′ = − + ( ) ( )e 1xg x x= − + ( ) e 1xg x′ = −( ),0−∞ ( ) 0g x′ ( )0,+∞ ( ) 0g x′ ( )g x ( ),0−∞ ( )0,+∞( ) ( ) ( )e 1 0 0xg x x g= − + ≥ = e 1x x≥ +构造函数 ,则 .可知在 上, 在 上 ,即 在 上单调递减,在 上单调递增,于是有 ,即有 恒成立.当 时, 成立.综上可得 ,即有 恒成立,故函数 为单调递增函数.【解析】本题考查切线的定义,利用待定系数法求参数,利用放缩法证明函数的单调性.该题的本质构造了两个函数 , 的公切线 ,并分别与其进行对比,以得到比较的目的.22.【答案】(1)由椭圆 的离心率 ,可得: ,即有 .再结合 , , 三者的关系可得 .椭圆 的方程可化为 ,将点 代入上述椭圆方程可得 .求解得 ,所以 , , .椭圆 的方程为 .(2)方法一:设直线 ,联立直线 与椭圆 的方程可得:.若直线 与椭圆 相切,可得上述方程只有一个解,即有 ,化简可得 …(*).设点 的坐标为 ,过点 作 的垂线为 ,联立 与 求得, .由上式可得 ,( ) ( ) ( )1 ln 2h x x x= + − + ( ) 112h xx′ = −+( )2, 1− − ( ) 0h x′ ( )1,− +∞ ( ) 0h x′ ( )h x ( )2, 1− − ( )1,− +∞( ) ( ) ( ) ( )1 ln 2 1 0h x x x h= + − + ≥ − = ( )ln 2 1x x+ ≤ +2m ≤ ( ) ( )ln ln 2 1x m x x+ ≤ + ≤ +( )e 1 lnx x x m≥ + ≥ + ( ) 0f x′ ≥ ( )f xexy = ( )ln 2y x= + 1y x= +C12ca=2214ca= 2 24a c=a b c 2 23b c=C2 22 214 3x yc c+ =62,2A    2 21 112 2c c+ =2 1c = 1c = 2a = 3b = C2 214 3x y+ =:l y kx b= + l C( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =l C ( ) ( )( )2 2 28 4 4 3 4 12 0kb k b= − + − =△2 24 3b k= +Q ( ),x y 1F l ( )11: 1l y xk= − + 1l l211kbxk− −=+ 21k byk− +=+( ) ( )2 2 2 2 2 22 22 22 2( 1) ( ) 11 1kb b k k b k bx yk k+ + − + + ++ = =+ +将(*)代入上式可得 ,故可知点 的轨迹为以原点为圆心,以 2 为半径的圆.∵ 是椭圆 上的异于端点的动点,故该轨迹应去掉点 .的面积为 .面积的最大值为 2.注:求点 的轨迹中,如果没有去掉两个端点也不扣分.方法二:根据椭圆切线的光学性质,即由点 发射的光线经过椭圆反射后经过点 .由此可知点 关于 的对称点 直线 .即有 ,则有 .在 中, , 分别为 , 的中点,根据中位线性质可得 ,即可知点 的轨迹为以原点为圆心,以 2 为半径的圆,的面积 .所以 面积的最大值为 2.方法三:设 ,则切线 的方程为 ①,因为 ,所以直线 的斜率为 .故直线 的方程为 ②.2 2 4x y+ = QP C ( )2,0±1 2QF F△ 1 2 1 2122QF F Q QS F F y y= ⋅ ⋅ = ≤△1 2QF F△Q1F 2F1F l 1F ′∈ 2PF1 1PF PF ′= 1 2 1 2 1 2 2 4F F F P PF F P PF a′ ′= + = + = =1 1 2F F F′△ Q O 1 1F F′ 1 2F F 1 2122OQ F F′= = Q1 2QF F△ 1 2 1 2122QF F Q QS F F y y= ⋅ ⋅ = ≤△1 2QF F△( )0 0,P x y l 0 0 14 3x x y y+ =1FQ l⊥ 1FQ0043yx 1FQ ( )00413yy xx= +设 ,联立①②,解得 .又 ,所以 .从而 ,变形得 ③.由 得 ④.③代入④并化简,得 ..解得 .的面积 .所以 面积的最大值为 2.【解析】本题考查椭圆的离心率,还考查三个参数 , , 三者的关系以及椭圆的光学性质.( ),Q s t 0 0 02 20 048 1216 9Qy x yyy x+=+2 20 0 14 3x y+ = 2 2 20 0 016 9 48 3y x x+ = − 0 0 0 020 048 12 448 3 4y x y ytx x+= =− −( )0 04 4y t x= −2 20 0 14 3x y+ = ( )220 012 4 48x y+ =( )2 2 2 20 012 8 16 48 0t x t x t+ − + − =( )( ) ( )4 2 2 264 64 12 3 64 9 4 0t t t t= − + − = − × − ≥△ 2 2t− ≤ ≤1 2QF F△ 1 2 1 2122QF F Q QS F F y y= ⋅ ⋅ = ≤△1 2QF F△a b c

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