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辽宁省葫芦岛市2021届高三数学上学期期末考试试题(Word版附答案)

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高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)2021 年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共 4页.满分 150分;考试时间:120分钟.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束,将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合 A={x|1≤x4},集合 B={x|log2x1},则 A∩B=A. B. (1,2) C. [1,2) D. [1,4) 2. 已知命题 p:∀x∈[−2,0],x2+3x+20,则¬p 是A. ∃ x∈[−2,0],x2+3x+20 B. ∃ x∈[−2,0],x2+3x+2≤0 C. ∀x∈[−2,0],x2+3x+2≤0 D. ∃ x∈(−∞,−2)∪(0,+∞),x2+3x+2≤0 3. 已知复数 z=4−3i,则|z2−4z|的值为A. 5 B. 5 C. 15 D. 3 54. 明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑. 其中有一段著述“远望巍巍塔七层,红光点点倍加増,共灯三百八十一. ”注:“倍加增”意为“从塔顶到塔底,相比于上一层,每一层灯的盏数成倍增加”,则该塔从塔底数第二层灯的盏数为 A. 3 B. 6 C. 96 D. 1925. 已知 Օ· O:x2+y2=8 在 A 点处的切线与直线 x−y−4=0 平行,则 A 点坐标为A. (2,−2) B. (−2,2) C. (2,−2)或(−2,2) D. (2,2)6. 在 6 张奖券中,有一、二等奖各 1 张,其余 4 张无奖,将这 6 张奖券分配给 3 个人,每人 2 张,则不同获奖情况有∅高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页) A. 24 种 B. 18 种 C. 12 种 D. 9 种7. 若定义在 R 上的偶函数 在 单调递减且 ,则满足 的 取值范围是 A. B. C. D. 8. f(x)= cosx ·ln(1 + x1 - x)的图像可能是 A B C D二、选择题(本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得 5分,部分选对得 3分,有选错得 0分.)9. 已知 m,n,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是A.若 m//n,n⊂α,则 m//α B.若 m⊥α,m⊥n,则 n//α C.若α⊥β,m⊂α,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β D.若 m⊥α,m//n,n⊂β,则α⊥β10. 已知−1a0 且 b1,则下列不等式成立的是A. logb(b−a)0 B. logb(b−a) log(b−a)1b C. D.log(−a)(1−1b) log(−a)(b−1)11. 下图为国家统计局网站发布的《2018 年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图(注:同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比,环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)下列说法正确的是A. 2018 年 6 月 CPI 环比下降 0.1%,同比上涨 1.9%B. 2018 年 3 月 CPI 环比下降 1.1%,同比上涨 2.1%( )f x ( ,0)−∞ (2) 0f = ( 1) 0xf x + ≥ x[ 3,1]− [ 3,0] [1, )− +∞U ( , 3] [0,1]−∞ − U ( , 3] [1, )−∞ − +∞U( )1log ( ) logb aa b−− yxO 1−1yxO 1−1yxO 1−1yxO 1−1高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)C. 2018 年 2 月 CPI 环比上涨 0.6%,同比上涨 1.4%D. 2018 年 6 月 CPI 同比涨幅比上月略微扩大 1.9 个百分点高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)12. 设函数 ,已知 在 有且仅有 6 个零点,下述结论正确的是A. 在 有且仅有3个极大值点 B. 在 有且仅有3个极小值点C. 在 D. 在 单调递增 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.)13. 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b·c=0,则 t= .214. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1 局甲当裁判,在前 3 局中乙恰好当 1 次裁判的概率________.15. 正三棱锥 P- ABC 侧棱长为 7,底面棱长为 2 3,则三棱锥 P- ABC 内切球表面积是_______. 16. 若 F 为双曲线 M:x29−y216=1 的左焦点,过原点的直线 l 与双曲线 M 的左、右两支各交于 A,B两点,则1|FA|−9|FB|的取值范围是_______.四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题10分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. D 在 BC 边上,AD=CD=2BD=2. (1)若∠ACB=π6,求∆ABC 的面积;(2)求 bc 的取值范围.18. (本小题 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点.E 是 CC1 的中点.(1)求证:平面 A1EB⊥平面 A1ABB1;(2)若 AB=BB1=2,求 DE 与平面 A1BE 所成角的正弦值.19.(本小题12分)已知等差数列{an}满足 a3=3,a8 +a9 =28.(1)求{an}的通项公式; ( ) sin( )( 0)6f x xπω ω= + ( )f x [0,2 ]π( )f x (0,2 )π ( )f x (0,2 )πω 35 41[ , )12 12( )f x (0, )10πA1 C1 B1 EA C D B高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)(2)等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 b1=a2,再从①b3 = a2+a3 +a4,②S3=13,③bn+1bn这三个条件中选择两个作为已知条件,求{|anbn|}的前 n 项和 Tn.20. (本小题 12 分)2020 年,世界各地相继爆发新冠肺炎疫情,唯有我国 将疫情防护做到令世界瞩目. 然而,自 2020 年 7 月以来,我国多 地先后在进品冷冻食品或包装上检验出新冠病毒呈阳性,此消息 一出,很快引起了相关部门的高度重视,为了研究国内冷冻市场 是否受到这些事件的影响,做了如下调查,将某商家 2020 年连续 20 天的营业额(单位:元)与2019 年同期对比,结果如下表格. 2730 2800 2850 2850 2870 2910 2920 2940 3030 30302019 年3030 3050 3100 3110 3140 3190 3250 3250 3260 32902710 2730 2740 2760 2820 2840 2840 2850 2850 28502020 年2870 2940 2960 2970 2980 2990 3010 3020 3030 3040(1)根据上述数据,对比商家两年的营业额,写出两个统计结论;(2)若从两年营业额超过 3000 元的天中随机抽取 3 天作进一步分析,设抽到 2020 年的天数为 X,列出 X 的分布列并求数学期望 E(X).21.(本小题 12 分)已知椭圆 Q:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为53,P( 5,43)为 Q 上的一点.(1)求椭圆 Q 的方程;(2)设过点 M(0,3)的动直线 l 与椭圆 Q 相交于 A,B 两点,A,B 点关于原点的对称点分别为 C,D 点,当四边形 ABDC 的面积 S 最大时,求 的方程.22.(本小题 12 分)已知函数 f(x)=lnx−x−mx.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,求(m+1)[ f(x2) +f(x1)]的取值范围;(3)令 g(x)=mex−x+lnm . 若 g(x) f(x)+mx恒成立,求 m 的取值范围.l高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)2021 年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学参考答案及评分标准一.单选题:1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A二.多选题:9. CD 10. ABC 11. AB 12. BC三.填空题:13. 2 14. 34 15. 4π3 16. [−23,+∞)17. (本小题满分10分)(1) AD2=CD2+AC2−2CD·ACcos∠ACB 即4=4+AC2−2 3AC 解得AC=2 3………………………………………………2S∆ABC= 12× AC×BCsinπ6=3 32 ……………………………………………………5 (2)在△ABD中,c2=BD2+AD2−2BD·ADcosθ=5−4cosθ在△ACD中,b2=CD2+AD2−2CD·ADcos(π−θ)=8+8cosθ………………………………72c2+b2=18≥2 2b2c2 0bc≤9 22 当且仅当b= 2c时等号成立故 bc 的取值范围是(0, 9 22] ……………………………………………………10 18. (本小题满分 12分)(1)证明:分别取 AB,A1B 中点为 M,N 连接 EM,MN,NC则 MN∥ =12AA1,∵CE∥ =12AA1, CE∥ =MN∴四边形 NMCE 为平行四边形,则 EN∥CM在△ABC 是等边三角形中,CM⊥AB……………………2直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面 ABC,AA1⊥CM,∴CM⊥平面 ABB1A1,…………………………………………………………4EN⊥平面 ABB1A1EN⊂平面 A1BE,∴平面 A1BE⊥平面 ABB1A1…………………………………6(2)因为△ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC.取 B1C1中点为 F,连接 DF,则 DF∥CC1,DF 平面 ABC,以 D 为原点,分别以建立如图所示空间坐标系 D-xyz.由已知 AB=BB1=2,得 D(0,0,0),A( 3,0,0),A1( 3,0,2),E(0,-1,1),B(0,1,0)则BA1→ =( 3,−1,2),BE→ =(0,-2,1),DE→ =(0,-1,1)……………………8设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),由Error!得Error!取 z=2,则 x=- 3,y=1,∴n=(- 3,1,2).…………………………………………10 Z A1 C1 F B1 EX A C D B YA1 C1 B1 E NA C M D B高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)∴cosDE→ ,n=12×2 2=14设 A1D 与平面 ADC1所成角为 θ,则故 A1D 与平面 ADC1所成角的正弦值 sinθ=|cosDA1→ ,n|=14……………………1219.(本小题满分12分) (1)∵a1+2d=3, a1+7d +a1+8d =28,∴a1=−1,d=2,an=2n−3…………………………4(2) b1=a2=1注:如果多次做答,按所做第一个解答计分选择①③: b3=9,q2=b3b1=9, ∵bn+1bn , q0∴q=3 ,bn=3n−1 ………………8选择①②: b3= b1q2=9 且 b1+b1q+b1q2=13,解得q=3,bn=3n−1 ………8选择②③: b1+b1q+b1q2=13且bn+1bn,q0解得q=3,bn=3n−1 …………8 Tn=1×1+1×3+3×32+……+(2n−3) 3n−1 3 Tn=3+1×32+……+(2n−5) 3n−1+(2n−3)3n−2 Tn=1+2[32+33+……+3n−1]− (2n−3)3n…………………………………………10 =1+2×32(1−3n−2)1−3− (2n−3)3n =−8− (2n−4)3n Tn=4+ (n−2)3n……………………………………………………………………1220. (本小题满分 12分)(1)由表格可以得到如下结论:(任写一个赋 2 分,任写两个均赋 4 分.)①2019 年该店营业额的平均数 3030 元大于今年该店营业额的平均数 2890 元.②2020 年该店营业额较去年该店营业额更集中.(或去年该店营业额较今年该店营业额更分散) ③2019 年该店营业额的中位数 3030 元,2020 年该店营业额的中位数 2860 元.④2019 年该店营业额的众数 3030 元,2020 年该店营业额的众数 2850 元(2)由图表可知,两年营业额超过 3000 元的共有 16 天,其中 2019 年有 12 天,2020 年有 4天.由题意得 X 可能的取值为 0,1,2,3, ………………………………………………6P(X=0)=C 312C 316=1128,P(X=1)=C14C 212C 316=3370,P(X=2)=C24C 112C 316=970,P(X=3)=C34C 316=1140. …………………………………………8于是,X 的概率分布列如下:X 0 1 2 310高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页)P112833709701140故 X 的均值 E(X)=0×1128+1×3370+2×970+3×1140=34………………………………1221. (本小题满分 12 分)(1) 根据题意得:Error!解得Error!所以椭圆 Q 的方程为x29+y24=1………………………………………………………………4(2)由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+3,代入 Q 得 (9k2+4)x2+54kx+45=0当△=(54k)2−4(9k2+4)×450,即 k259时,直线 l 与椭圆 Q 相交, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=−54k9k2 + 4,x1x2=459k2 + 4, …………………………………6所以 S=4S∆AOB=4×12×|OM||x1-x2|=6 (x1 + x2)2−4x1x2=6 ()2−4×=72 9k2−59k2 + 4………………………………………8设 t= 9k2−50, S=72tt2 + 9=72t +9t≤12 当且仅当 t=9t,即 t=3,时等号成立…………………10此时 k=±143,四边形 ABDC 的面积最大,直线 l 的方程为:y=±143x+3 ……………………………………………………………12 22. (本小题满分 12 分)(1)根据题意,函数 f '(x)= −x2−x−mx2(x0),∆=1+4m①若 m≤−14,则∆≤0, f '(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减 ………………………………………2②若 m−14,则∆0, 令 f '(x)=0,设两根为 x1=1− 1 + 4m2,x2=1 + 1 + 4m2 , (i)若 1 + 4m1 即−14m0,则 x10,x20 x∈(0, 1− 1 + 4m2), f '(x)0 ,f(x)单调递减 x∈(1− 1 + 4m2,1 + 1 + 4m2), f '(x)0 ,f(x)单调递增 x∈(1 + 1 + 4m2,+∞), f '(x)0 ,f(x)单调递减 ……………………………………………3(ii)若 1 + 4m≥1 即 m≥0,则 x1≤0,x20 x∈(0, 1 + 1 + 4m2), f '(x)0 ,f(x)单调递增高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页) x∈(1 + 1 + 4m2,+∞), f '(x)0 ,f(x)单调递减 ………………………………………………4(2)由(1)知 x1,x2,且 x1<x2是﹣x2+x+m=0 的两个不等的正实数根,所以,x1+x2=1,x1x2=﹣m,且−14m0.………………………………………………………6设 t=(m+1) [ f(x2)+f(x1)]= (m+1)[( lnx2−x2−mx2)+ (lnx1−x1−mx1)]=(m+1)ln(−m)t'=ln(−m)+m + 1m t''=m−1m20 t'单调递减,t'|m=−14=ln14−30, t 单调递减,所以,t 的范围是(−∞,34ln14) ……………………………………………………………………8(3)解法一: , ………………………………………………………………………10 减…………………………………………………………………………12第三问解法二:(3)由 恒成立即 恒成立,令易知 F′(x)为增函数, , 两边取对数 ………………………………………………………………10ln lnx m xme + mxxme lnlnln lnx x xx m m mxxe em = ⋅ ,( )( ) ( ) +1x xh x xe h x x e′= =令 , ( )( ) 0 +h x ∞可 知 在 , 增2( ) (ln ) ln1( )= ( )( )xxx xx x x xh x h x e mm m m exx e xex xx xex e eϕ ϕ − −′ = =由 ,可得 , ,令 ,( )( ) (0 ,1) 1 +xϕ ∞可 知 在 增 , 在 ,1 1(1) .me eϕ = ,所以xmxfxg + )()(0lnln −+ xmmex xmmexF x lnln)( −+=xmexF x1)( −=′0 0( ) 0x x F x′∴ = =存在 使得0100 =−∴xmex010xmex =00 lnln xxm −=+高三数学试卷 第 2 页 (共 4 页),即……………………………………………………120lnln100+++=∴ xmmx原式 mxx ln2100 −+由均值不等式的∴12ln 2 ln 1m m me− − , , 所以

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