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河北省衡水中学2021届高三数学(文)上学期期中试卷(Word版附解析)

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数学(文)试卷一、选择题1. 设集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合 A,再根据指数函数的值域求得集合 B,利用集合的交集运算可得选项.【详解】因为 ,又 时, ,所以 ,所以 ,故选:D.2. 已知复数 满足: (其中 为虚数单位),复数 的虚部等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出 ,由此能求出复数 的虚部.【详解】∵复数 满足: (其中 为虚数单位),∴ .∴复数 的虚部等于 ,故选 C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意复数代数形式的{ }2 1 0A x x= − { }2 ,xB y y x A= = ∈ A B =( )0,1 ( )1, 2− ( )1,+∞ 1 ,12   { } ( )( ){ } ( )2 1 0 +1 1 0 1,1A x x x x x= − = − = −1 1x− 1 112 2 22x−= { } 12 , 22xB y y x A = = ∈ =   ,A B = 1 ,12   z ( )( ) 31 2z i i i− + = i z15− 25− 45352 41 2 5 5iz i ii−= + = − ++zz ( )( ) 31 2z i i i− + = i( )( )( )1 2 2 41 2 1 2 1 2 5 5i iiz i i ii i i− −−= + = + = − ++ + −z45乘除运算法则的合理运用.3. 命题 若 为第一象限角,则 ;命题 :函数 有两个零点,则( )A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质,对于命题 可以举出反例 ,可得其为假,对于命题 ,根据零点存在定理可得其至少有三个零点,即 为假,结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题 ,当取第一象限角 时,显然 不成立,故 为假命题,对于命题 ∵ , ,∴函数 在 上有一个零点,又∵ ,∴函数 至少有三个零点,故 为假,由复合命题的真值表可得 为真命题,故选 C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假,考查三角函数的性质,零点存在定理的应用,属于中档题.若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可.4. 正项等比数列 中的 是函数 的极值点,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析:由 ,则 ,因为是函数的极值点,所以 ,又 ,所以:p α sinα α q ( ) 22xf x x= −p q∧ p q∨ p q¬ ∨ ¬ p q¬ ∧p 1112πα = − qqp 1112πα = − sinα α pq ( )1 0f − ( )0 0f ( )f x ( )1,0−( ) ( )2 4 0f f= = ( )f x qp q¬ ∨ ¬{ }na 1 4031,a a ( ) 3 21 4 6 33f x x x x= − + −20 66 1log a =1 22 1−( ) 3 21 4 6 33f x x x x= − + − ( ) 2 28 6 0f x x x= +′ − = 1 4031,a a( ) 3 21 4 6 33f x x x x= − + − 1 4031 6a a⋅ = 0na ,所以 ,故选 A.考点:对比数列与函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了数列与函数的综合应用,其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及知识点的灵活应用,试题涉及知识点多,应用灵活,属于中档试题,其中解答中根据函数极值点的概念,得到 是解答关键.5. O 是正方形 ABCD 的中心.若 =λ +μ ,其中 λ,μ∈R,则 =( )A. -2 B. -C. - D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方形几何特点,结合向量的线性运算,用 表示目标向量,即可求得结果.【详解】根据题意,作图如下:= + = + = - + = - ,所以 λ=1,μ=- ,因此 =-2.故选: .【点睛】本题考查平面向量的线性运算,属基础题.2016 1 4031 6a a a= ⋅ = 20 66 1log a = 11 4031 6a a⋅ =DOABAC λµ122 2,AB AC DODAAOCBAOABAC 12ACAB 12AC12λµA6. 在 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 若,则 的形状是()A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出 A 的值,进一步利用正弦定理得到:b=c,最后判断出三角形的形状.【详解】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc.则: ,由于:0<A<π,故:A .由于:sinBsinC=sin2A,利用正弦定理得:bc=a2,所以:b2+c2﹣2bc=0,故:b=c,所以:△ABC 为等边三角形.故选 C.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.7. 如图直角坐标系中,角 、角 的终边分别交单位圆于 、两点,若 点的纵坐标为 ,且满足 ,则 的值为( )ABC∆ 2 2 2b c a bc+ = +2sin sin sinB C A⋅ = ABC∆2 2 2 12 2 2b c a bccosAbc bc+ −= = =3π=02πα α    02πβ β −   A BB513− 34AOBS =△1sin 3 cos sin2 2 2 2α α α − +  A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 , 可 得 , 结 合 范 围 可 得 , 化 简,利用点 B 的坐标即可得解.【详解】由 ,得 .根据题意可知 ),所以 ,可知 , .所以 ..故选 C.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式,属于中档题.8. 已知公比不为 1 的等比数列 的前 项和为 ,且满足 成等差数列,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】的513− 1213− 1213513AOBSV ( ) 3sin2α β− = β3πα β− =1sin 3cos sin cos2 2 2 2α α α β − + =  ( )1 3sin2 4AOBS OA OB α β= − =V n ( )3sin2α β− =12 5B( ,13 13− 5 12sin ,cos13 13β β= − =06π β− 203πα β − 3πα β− =1 3 1 1 12sin 3cos sin sin sin sin cos2 2 2 2 2 2 2 6 3 6 2 13cossinα α α α π π π πα α β β β−       − + = − + = + = + + = + = =              { }na n nS 2 5 8,2 ,3a a a363SS=1341312941112成等差数列, ,即 ,解得 或 (舍去), ,故选 C.9. 已知函数 ,若函数 与 图象的交点为 , ,…, ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得 ,求出 的对称轴为 ,根据两图象的对称关系分为 为奇数和偶数即可得出答案.【详解】∵ ,∴∴ 的图象关于直线 对称,又 的图象关于直线 对称,当 为偶数时,两图象的交点两两关于直线 对称,∴ ,当 为奇数时,两图象的交点有 个两两对称,另一个交点在对称轴上,∴ ,故选 A.【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系,分类讨论的思想,解题的关键是根据函数的性质得到 ,属于中档题. 2 5 8, 2 ,3a a a 5 2 84 3a a a∴ = +4 7 6 31 1 14 3 ,3 4 1 0a q a q a q q q= + − + =3 13q = 3 1q =( )( )31366 11 13 3 13 91 31 41 191a qS qS a qq−  × − −  = = =− −−( ) 5 1cos 12 4 2f x xx = + − −  ( ) 2 4 2g x x x= − + − ( )f x( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y1miix==∑2m 3m 4m m( ) ( )4f x f x− = ( )f x 2x =m( ) 5 1cos 12 4 2f x xx = + − −  ( ) ( ) ( )5 1 5 14 cos 4 1 cos 12 4 2 22 4 4f x x xxx   − = + − − = + −   −− −    ( )f x=( )f x 2x =2 4 2x x− + − 2x =m 2x =14 22miimx m== × =∑m 1m −114 2 22miimx m=−= × + =∑( ) ( )4f x f x− =10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后,再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象,且 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ,若 对任意 恒成立,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得 ,再由已知得函数 的最小正周期为 ,求得,结合 对任意 恒成立列关于 的不等式组求解.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后,再将所得的图象向下平移一个单位长度,得 ,又 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ,得 ,即 .∴ ,当 时, ,∵ , ,∴ ,解得 ,∴ 的取值范围是 ,故选 B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质,根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键,是中档题.11. 已知函数 , ,在其共同的定义域内, 的图象不可能在 的上方,则求 的取值范围( )( )2sin 0y x= ω ω 02φ πφω  ≤  ( )y g x= ( )y g x= 1y =π ( ) 1g x − ,12 3xπ π ∈ −  φ,12 2π π   ,6 3π π   ,12 3π π   ,6 2π π   ( ) ( )2sin 1g x xω ϕ= + − ( )g x π2ω = ( ) 1g x − ,12 3xπ π ∈ −  ϕ( )2sin 0y x= ω ω (0 )2ϕ πϕω ≤( ) ( )2sin 1 2sin 1g x x xϕω ω ϕω = + − = + −  ( )y g x= 1y = π T π= 2 2πωπ= =( ) ( )2sin 1g x xω ϕ= + − ,12 3xπ π ∈ −  22 ,6 3xπ πϕ ϕ ϕ + ∈ − + +  ( ) 1g x − 02πϕ ≤0623π ϕπ ϕ π− + ≥ + ≤6 3π πϕ≤ ≤ ϕ [ ]6 3π π,( ) 2f x x ax= − ( ) ln xg x x e= − ( )g x( )f x aA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为:不等式恒成立,分离参数 ,然后构造函数利用导数,求解函数的最值即可.【详解】函数 , ,在其共同的定义域内, 的图象不可能在 的上方,当 时,∴ 恒成立,化为: ,即 , ;令 ,( ), .令 , ,函数 在 单调递增, ,∴ 时, , ,函数单调减函数, 时, ,,函数单调增函数,所以 ,∴ ,故选 C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为 或 恒成立,即 或 即可,利用导数知识结合单调性求出 或 即得解.12. 已知函数 满足 ,且存在实数 使得不等式成立,则 的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】101ae +0a 1a e≤ + 0a ≤lnxe xa xx x≤ − +( ) 2f x x ax= − ( ) ln xg x x e= − ( )g x( )f x 0x 2 ln xx ax x e− ≥ −2lnxe x x ax− + lnxe xa xx x≤ − + 0x ( ) lnxe xh x xx x= − + 0x ( ) ( )221 1 ln'xe x x xh xx− + − +=( ) ( ) 21 1 lnxt x e x x x= − + − + ( ) 1' 2 0xt x e x xx= ⋅ + + ( )t x ( )0,+∞ 1 0t =()( )0,1x ∈ ( ) 0t x ( )' 0h x ( )1x ∈ + ∞, ( ) 0t x ( )' 0h x ( ) ( )1 1h x h e≥ = + 1a e≤ +( )a h x ( )a h x ( )maxa h x ( )mina h x( )maxh x ( )minh x( )g x 1 21( ) '(1) (0)2xg x g e g x x−= − + 0x02 1 ( )m g x− ≥ m[1, )+∞ ( ,3]−∞ ( , 2]−∞ [0, )+∞【分析】先求 ,再利用导数求 最小值,最后解不等式的结果.【详解】因为 ,所以因为 ,因此 , ,当 时 ;当 时 ;因此 最小值为 1,从而 ,选 A.【点睛】本题考查利用导数求函数最值,考查基本分析求解能力,属中档题.二、填空题13. 平面向量 与 的夹角为 , ,则 等于____【答案】【解析】【分析】根据 求出 ,利用 ,即得结果.【详解】因为 , 与 的夹角为 ,故 ,则,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及模的计算,属于基础题.14. 在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 B 为锐角,若 = ,sin B=( ) ( )0 ' 1g g, ( )g x1 21( ) (1) (0)2xg x g e g x x′ −= − +1( ) (1) (0) (1) (1) (0) 1 (0) 1xg x g e g x g g g g′ − ′′ ′= − + ∴ = − + ∴ =1(0) (1) (1)g g e g e′ − ′∴= =21( )2xg x e x x= − + ( ) 1 ( ) 1 0x xg x e x g x e′ ′′= − + ∴ = + 0x ( ) (0) 0, ( ) (0) 1g x g g x g′ ′ = =0x ( ) (0) 0, ( ) (0) 1g x g g x g′ ′ = =( )g x 2 1 1 1m m,− ≥ ≥ab60° ( )2,0 , 1a b= = 2+ a b2 3( )2,0a =2a = 2 222 ( 2 ) 4 4 cos 60a b a b a b a b+ = + = + + ⋅        | | 2,| | 1a b= = ab60° | | | | cos 60 1a b a b⋅ = ⋅ =   2 222 ( 2 ) 4 4 cos 60a b a b a b a b+ = + = + + ⋅        2 4 4 4 2 3a b+ = + + =2 3sinsinAB52cb,S△ABC= ,则 b 的值为________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边,可得 等量关系;再利用面积公式,再得 的另一个等量关系,据此求得 由 sin 求得 cos ,利用余弦定理即可求得 .【详解】由 = ,可得 = ,故 a= c,①由 S△ABC= acsin B= 且 sin B= 得 ac=5,②联立①,②得 a=5,且 c=2.由 sin B= 且 B 为锐角知 cos B= ,由余弦定理知 b2=25+4-2×5×2× =14,b= .故答案为: .【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形,涉及利用正弦定理实现边角互化,属综合基础题.15. 已知数列 的前 项和为 ,且满足: , , ,则 ______.【答案】【解析】【分析】由 与 的递推式可证得 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,再利用等比数列前 n 项和公式运算即可.【详解】因为 ,所以两式相减,得 ,即 ,745 7414,a c ,a c,a c B B bsinsinAB52cbab52cb52125 7474127434341414{ }na n nS 1 1a = 2 2a = ( )*2 11n n nS a a n+ ++ = − ∈ NnS =2 1n −nS na { }na( )*2 11n n nS a a n+ ++ = − ∈ N ( )*1 11 2,n n nS a a n n N− ++ = − ≥ ∈2 12n n n na a a a+ += − + 2 12n na a+ +=又当 时, , , ,所以 ,满足 , ,所以 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以故答案为:【点睛】关键点睛:本题主要考查了 与 的关系,熟练掌握是解题关键.16. 已知函数 , ,若 与 的图象上存在关于直线 对称的点,则实数 的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】求出函数 关于直线 的对称函数 ,令 与 的图象有交点得出 的范围即可.【详解】 关于直线 对称 直线为 ,∴直线 与 在 上有交点,作出 与 的函数图象,如图所示:的1n = 1 1 3 21 1a S a a+ = + = − 1 1a = 2 2a =3 4a = 3 22a a= 2 12a a={ }na1 (1 2 )1 2nnS× −= =−2 1n −2 1n −na nS11, 1, 2 *n n na naS S n n N−==  − ≥ ∈ 且( ) 212ln x xf x ee = ≤ ≤  ( ) 1g x mx= + ( )f x ( )g x1y = m322 ,3e e− −  ( )g x 1y = ( )h x ( )f x ( )h x m( ) 1g x mx= + 1y = ( ) 1y h x mx= = −1y mx= − 2lny x= 21[ , ]ee1y mx= − 2lny x=若直线 经过点 ,则 ,若直线 与 相切,设切点为 ,则 ,解得 .∴ ,故答案为 .【点睛】本题考查了函数的对称问题解法,注意运用转化思想,以及零点与函数图象的关系,导数的几何意义,属于中档题.三、解答题17. 已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 , .(1)求 的通项公式;(2)求 的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式;(2)根据数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.【详解】(1)设等差数列 的公差为 ,由 ,得 ,1y mx= − 1 2e−( , ) 3m e= 1y mx= − 2lny x=( ),x y122y mxy lnxmx = −= = −323232x eym e−= = = −322 3e m e−− ≤ ≤322 ,3e e− −  { }na n nS 1 1a = 9 81S ={ }na1 2 20171 1 11 2 2017S S S+ + ++ + +2 1na n= −20172018{ }na d 9 81S = 59 81a =则有 ,所以 ,故 .(2)由(1)知, ,则 ,所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于 ,其中 和 分别为特殊数列,裂项相消法类似于 ,错位相减法类似于,其中 为等差数列, 为等比数列等.18. 在 中, 内角 , , 的对边分别为 , , ,且 .(1)求角 的大小;(2)若 的面积为 ,且 ,求 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1)首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式,由此求得 的值,从而求得角 的大小;(2)首先根据条件等式结合余弦定理得到 的关系式,然后根据三角形面积公式求得 的值,从而求得 的值.试题解析:(1)由 及正弦定理可得 ,,,又因为 .(2) ①,又由余弦定理得 ,代入①式得 ,5 9a = 5 19 125 1 4a ad− −= = =−( )1 2 1 2 1na n n= + − = − ( )*n N∈( ) 21 3 5 2 1nS n n= + + +…+ − = ( )1 1 1 11 1nS n n n n n= = −+ + +1 2 20171 1 1 1 1 1 1 111 2 2017 2 2 3 2017 2018S S S     + +…+ = − + − +…+ −     + + +      1 201712018 2018= − =n n nc a b= +{ }na { }nb ( )11nan n=+n n nc a b= ⋅ { }na { }nbABC∆ A B C a b c 2 2 cosc a B b− =AABC∆ 342 2cos 4c ab C a+ + = a3Aπ= 72a =cos A A, ,a b c bc a2 2 cosc a B b− = 2sin 2sin cos sinC A B B− =( ) sinsin sin sin cos cos sin , cos sin2BC A B A B A B A B = + = + ∴ =1sin 0, cos2B A≠ ∴ = 0 ,3A Aππ ∴ =2 2cos 4c ab C a+ + =2 2 2cos2a b cab C+ −= 2 2 28 3b c a+ = −由余弦定理 .,得 .考点:1、正弦定理与余弦定理;2、两角和的正弦函数公式;3、三角形面积公式.19. 已知数列 中, , .(1)求 的通项公式 ;(2)数列 满足的 ,数列 的前 项和为 ,若不等式对一切 恒成立,求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】(1)将 ,变形为 ,再利用等比数列的定义求解.(2)由(1)得 ,然后利用错位相减法求得 ,将不等式对一切 恒成立,转化为 ,对一切 恒成立,分 为偶数和奇数讨论求解.【详解】(1)由 ,得 ,∴ ,所以数列 是以 3 为公比,以 为首项的等比数列,所以 ,即 .2 2 2 2 22 cosa b c b A b c bc= + − = + −2 21 3sin , 1, 8 3 12 4ABCS bc A bc a a ∆ = = ∴ = ∴ = − −72a ={ }na 1 1a = ( )*1 3nnnaa n Na+= ∈+{ }na na{ }nb ( )3 1 2nn nnnb a= − ⋅ ⋅ { }nb n nT( ) 11 2nn nnTλ −− + *n N∈ λ23 1n na =−2 3λ− ( )*1 3nnnaa n Na+= ∈+ 11 31n na a+= +12n nnb −= 1242n nnT −+= −( ) 11 2nn nnTλ −− + *n N∈ ( ) 121 42nnλ −− − *n N∈n( )*1 3nnnaa n Na+= ∈+131 31nn n naa a a++= = +11 1 1 132 2n na a+ + = +  1 12na +   11 1 32 2a + =  11 1 3 32 2nna−+ = × 23 1n na =−(2),两式相减得:,∴ ,因 不等式 对一切 恒成立,所以 ,对一切 恒成立,因为 单调递增,若 为偶数,则 ,对一切 恒成立,∴ ;若 为奇数,则 ,对一切 恒成立,∴ ,∴综上: .【点睛】方法点睛:求数列的前 n 项和的方法(1)公式法:①等差数列的前 n 项和公式, ②等比数列的前n 项和公式 ;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前 n 项和用错位相减法求解.为12n nnb −=( )0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2n n nT n n− −= × + × + × + ⋅⋅⋅+ − × + ×( )1 2 11 1 1 11 2 12 2 2 2 2nn nTn n−= × + × + ⋅⋅⋅+ − × + ×0 1 2 11 1 1 1 1 222 2 2 2 2 2 2nn n nT nn−+= + + + ⋅⋅⋅+ − × = −1242n nnT −+= −( ) 11 2nn nnTλ −− + *n N∈( ) 121 42nnλ −− − *n N∈1242nt −= −n1242nλ − − *n N∈ 3λ n1242nλ −− − *n N∈ 2λ− 2λ −2 3λ− ( ) ( )1112 2nnn a a n nS na d+ −= = +( )11, 11, 11nnna qS a qqq== −≠ −(6)并项求和法:一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.20. 已知 中,角 所对的边分别是 ,且 ,其中 是的面积, .(1)求 的值;(2)若 ,求 的值.【答案】(1) ; (2) .【解析】【分析】(1)首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果 ,,进一步建立等量关系求出结果;(2)利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组,进一步求出结果.【详解】∵ ,得 ,得 ,即 ,所以 ,又 ,∴ ,故 , ,.(2) ,所以 ,得 ①,由(1)得 ,所以 .在 中,由正弦定理,得 ,即 ②,联立①②,解得 , ,则 ,所以 .【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量数量积的应用,正弦定理的应用,三角形面积公式的应用,方程组的解法,属于基础题型.ABCV , ,A B C , ,a b c203SBA AC⋅ + = SABCV4Cπ=cos B24S = a556 2sin 3cosA A=203SBA AC⋅ + =  13 cos 2 sin2bc A bc A= × sin 3cosA A=( )2 2 2sin 9cos 9 1 sinA A A= = − 2 9sin10A =30,4A π ∈  sin 0A 3 10sin10A = 10cos10A =( ) 10 2 3 10 2 10 2 5cos cos cos cos sin sin10 2 10 2 5 2 5B A C A C A C= − + = − + = − × + × = × =24S = sin 48bc A = 16 10bc =5cos5B = 2 5sin5B =ABCVsin sinb cB C= 2 5 25 2b c=8b = 2 10c = 2 2 2 2 cos 72a b c bc A= + − = 6 2a =21. 已知函数 .(1)当 时,求函数 的单调区间;(2)设 ,不等式 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围.【答案】(1)当 时, 在定义域 单调递减;当 时,函数 的单调递增区间为 ,递减区间为 , ; (2) .【解析】【分析】(1)求出函数的导数,分为 和 两种情形,求出函数的单调区间即可;(2)问题等价于对任意的 ,恒有 成立,即 ,根据 ,分离 ,从而求出 的范围即可.【详解】(1)函数定义域为 ,且 ,令 ,得 , ,当 时, ,函数 在定义域 单调递减;当 时,由 ,得 ;由 ,得 或,所以函数 的单调递增区间为 ,递减区间为 , .综上所述,当 时, 在定义域 单调递减;当 时,函数 的单调递增区间为 ,递减区间为 ,.( ) ( ) ( )1ln 4 2f x m x m x m Rx= + − + ∈4m≥ ( )f x[ ], 1,3t s ∈ ( ) ( ) ( )( )ln 3 2 2ln 3f t f s a m− + − − ( )4,6m∈a4m = ( )f x ( )0, ∞+ 4m ( )f x1 1,2 2m − − 10,2 m − − 1,2 +∞  13,3 −∞ −  4m = 4m ( )4,6m∈ ( )( ) 1ln 3 2 2ln 3 5 2 ln 3 12 63a m m m m+ − − − − − − +( ) ( )22 4 23m a m− − − 2m a a( )0,+∞ ( ) ( ) ( )2 22 1 2 11' 4 2x m xmf x mx x x − − + = − + − =( )' 0f x = 112x = 212xm= −−4m = ( )' 0f x ≤ ( )f x ( )0,+∞4m ( )' 0f x 1 12 2xm− −( )' 0f x 102xm −−12x ( )f x 1 1,2 2m − − 10,2 m − − 1,2 +∞  4m = ( )f x ( )0,+∞4m ( )f x 1 1,2 2m − − 10,2 m − − 1,2 +∞  (2)由(1)知当 时,函数 在区间 单调递减,所以当 时,, .问题等价于:对任意的 ,恒有成立,即 .因为 ,则 ,∴ ,设 ,则当 时, 取得最小值 ,所以,实数 的取值范围是 .【点睛】本题考查了函数 单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查分类讨论思想,是一道综合题.22. 已知函数 (其中 , 是自然对数的底数).(1)若 ,当 时,试比较 与 2的大小;(2)若函数 有两个极值点 ,求 的取值范围,并证明: .【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析: 求 的导数 ,利用 判定 的单调性,从而求出 的单调区间,可比较 与 的大小;先求导数 ,根据题意知 是 的两个根,令 ,利用导数得到函数 的单调区间,继而得到 的取值范围,知 ,则,又由 , ,即可得到解析:(1)当 时, ,则 ,令,的( )4,6m∈ ( )f x [ ]1,3 [ ]1,3x ∈( ) ( )max1 5 2f x f m= = − ( ) ( )min13 ln3 12 63f x f m m= = + + −( )4,6m∈( )( ) 1ln3 2 2ln3 5 2 ln3 12 63a m m m m+ − − − − − − + ( ) ( )22 4 23m a m− − −2m ( )243 2am −− ( )min243 2am  −  − [ )4,6m∈ 4m = ( )243 2 m−−133−a13,3 −∞ −  ( ) 2xf x ke x= − k ∈R e2k = ( )0,x ∈ +∞ ( )f x( )f x ( )1 2 1 2,x x x x k ( )10 1f x ( ) 2.f x 2(0, ).e( )1 ( )f x ( )'f x ( )'f x ( )f x ( )f x( )f x 2( )2 ( )'f x 1 2,x x ( )' 2 0xf x ke x= − = ( ) 2xxxeϕ =( )xϕ k ( ) 11 1' 2 0xf x ke x= − =112xxke= ( ) ( )21 1 1 1f x x= − − + ( )1 0,1x ∈ ( )10 1f x 2k = ( ) 22 xf x e x= − ( )' 2 2xf x e x= −( ) ( )2 2 , ' 2 2x xh x e x h x e= − = −由于 故 ,于是 在 为增函数,所以,即 在 恒成立,从而 在 为增函数,故(2)函数 有两个极值点 ,则 是 的两个根,即方程有两个根,设 ,则 ,当 时, ,函数 单调递增且 ;当 时, ,函数 单调递增且 ;当 时, ,函数 单调递增且 ;要使方程 有两个根,只需 ,如图所示故实数 的取值范围是又由上可知函数 的两个极值点 满足 ,由 得. 由于 ,故 ,所以( )0,x ∈ +∞ ( )' 2 2 0xh x e= − ( ) 2 2xh x e x= − ( )0,+∞( ) ( )2 2 0 2 0xh x e x h= − = ( )' 2 2 0xf x e x= − ( )0,+∞( ) 22 xf x e x= − ( )0,+∞ ( ) ( )22 0 2.xf x e x f= − =( )f x 1 2,x x 1 2,x x ( )' 2 0xf x ke x= − =2xxke=( ) 2xxxeϕ = ( ) 2 2' xxxeϕ −=0x ( )' 0xϕ ( )xϕ ( ) 0xϕ 0 1x ( )' 0xϕ ( )xϕ ( ) 0xϕ 1x ( )' 0xϕ ( )xϕ ( ) 0xϕ 2xxke= ( ) 20 1keϕ =k20, .e   ( )f x 1 2,x x 1 20 1x x ( ) 11 1' 2 0xf x ke x= − =112xxke= ( ) ( )1 1122 2 211 1 1 1 1 122 1 1x xxxf x ke x e x x x xe∴ = − = − = − + = − − +( )1 0,1x ∈ ( )210 1 1 1x − − + ( )10 1.f x

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