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广西桂林市2021届高三文科数学上学期第一次联考试题(Word版附答案)

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资料简介

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2021 年高考桂林市第一次联合调研考试高三数学(文科)考生注意:1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。3.做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则 ( )A. B.C. D.2.若 ,则复数 的实部与虚部之和为( )A.12 B.11 C.10 D.63.曲线 在点 处的切线的方程为( )A. B. C. D.4.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,其历史可以追溯到公元前一世纪。明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.5.在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的顶点在坐标原点,焦点在 轴上,若曲线 经过点{ }2 3 4 0x xA x − − = { }0 5B xx= A B ={ }0 1x x { }1 4x x− { }1 5x x− { }0 4x x ( )( )32 i 3 iz = − + z( ) e 2 1xx xf = + + ( )0,0y x= 3y x= 0y = 4y x=51611327161332xOy C x C,则其焦点到准线的距离为( )A. B. C.4 D.86.设 , , ,则( )A. B. C. D.7.已知 , 是第一象限角,则 的值为( )A. B. C. D.8.已知 , 满足 ,则 的值是( )A. B. C.6 D.9.函数 ( )的图象可能为( )A. B.C. D.10.在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,若直线 上存在一点 ,使过点 所作的圆的两条切线相互垂直,则点 的横坐标为( )A. B. C. D.11.函数 ( )的图象向左平移 个单位长度得到函数 , 在 上有且只有 5 个零点,则 的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知定义在 上的函数 , 是 的导函数,且恒有 成立,( )1,4P18140.43a =π12b=   3log 7c =a b c c b a b a c a c b π 1cos4 5α  + =  α cos2α23252325− 4 6254 625−( )1, 2a = −( ),3b λ= ( )2b a a− ⊥   a b⋅ 152− 522−( ) sin2 2x xxf x −= +π πx− ≤ ≤xOy xOy C 2 2 4 0x y x+ − = 2 1y x= + PP P35± 153± 155± 53±( ) sing x xω= 0ω π5ω( )f x ( )f x [ ]0,2πω8 12,5 5  8 12,5 5 12 29,5 10  12 29,5 10 π0,2  ( )f x ( )f x′ ( )f x ( ) ( )cos sin 0xf x xf x′ + 则( )① ;② ;③ ;④ .A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知双曲线 的焦点在直线 上,则实数 的值为__________.14.已知实数 , 满足 则目标函数 的最大值为__________.15.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , ,,则 周长的值为__________.16.某市民广场有一批球形路障球(如图 1 所示)。现公园管理处响应市民要求,决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图 2 所示)。其中立方八面体有 24 条棱、12 个顶点、14 个面(6 个正方形、8 个正三角形),它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到的几何体经过测量,这批球形路障球每个直径为 ,若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球,则每个改造后的立方八面体表面积为__________ . 图 1 图 2三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:机动车行驶时,驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带,摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔。虽然电动自行车不属于机动车,但是电动自行车使用频率高且车速较快,据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约 80%为颅脑损伤致死。为了维护电动自行车使用人的生命健康安全,全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔。下表是某市一主干路段,交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据:π π24 3f f       π π33 6f f       π π36 3f f       π2 36 4f fπ       2 214x ym− = 3 3 0x y− − = mx y5 0,2 2 0,0,x yx yy+ − ≤ − + ≥ ≥2z x y= +ABC△ A B C a b c 2b c− = 1cos4A = −3 15ABCS =△ ABC△60cm2cm月份 6 7 8 9 10不佩戴安全头盔人数 115 100 95 90 70(1)请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数 和月份 之间的线性回归方程 .(2)利用(1)中的回归方程,预测该路程 12 月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘坐人人数;附: , .18.如图所示,在三棱锥 中,侧棱 平面 , 为线段 中点, 为线段 中点,, , .证明:(1) 平面 ;(2)求点 到平面 的距离.19.设公差不为零的等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列.(1)求数列 的通项公式;(2)若数列 的前 项和为 ,且满足 ,求使得 成立的最小正整数 .20.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 中心在原点,焦距为 2,右准线 的方程为 .过 的直线交于 于 , 两点.(1)求椭圆 的方程;(2)若 ,求直线 的方程.21.设函数 .(1)求函数 的极小值;y xˆˆ ˆy bx a= +( )( )( )121ˆni iiniix x y ybx x==− −=−∑∑1221ni iiniix y nx yx nx==−=−∑∑ˆâ y bx= −A BCD− AB ⊥ BCD F BD Q AB2π3BCD∠ = 3AB = 2BC CD= =CF ⊥ ABDD QCF{ }na 3 4a = − 2a 1a 3a{ }na{ }nb n nS1 21nn nba a+ += 23nnS ≤ − nxOy F l 3x = 2FE A BE2 22AF F B= AB( ) e 1xf x x= −( )f x(2)求证: 在 上有且仅有一个零点.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修 4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .(1)求 的极坐标方程和 的直角坐标方程;(2)若曲线 的极坐标方程为 , 与 的交点为 ,与 异于极点的交点为 ,求 .23.[选修 4—5:不等式选讲]已知函数 , .(1)若 的最小值为 2,求实数 的值;(2)若关于 的不等式 的解集为 ,若 ,求实数 的取值范围.2021 年高考桂林市第一次联合调研考试·高三数学(文科)参考答案、提示及评分细则1.D , .2.C ,则实数与虚部之和为 10.3.B , ,则切线方程为 .4.A 设正方形边长为 ,则其面积 ,阴影部分面积 ,所求概率 .5.D 设抛物线方程: ,代入 得 ,其焦点到准线的距离为 8.6.D , ,所以 .7.C 是第一象限角, 是第一或第二象限角, .( ) ( ) xg x f x ae= − RxOy l2 33x ty t = −=t O x1C 6cosρ θ=l 1C2Cπ6θ = 2C l A 1C B AB( ) 2f x x a= − ( ) 2g x x= +( ) ( )2f x g x+ ax ( ) ( ) 6f x g x+ A [ ]1,2 A⊆ a{ } ( )2 3 4 ,40 1x xA x − − = −= ( )0,4A B =( )( )32 i 3 iz = − + ( )( )2 i 3 i 5 5i= + + = +( ) e 2xf x′ = + ( )0 3f ′ = 3y x=a 2S a=2516Sa′ =∴ 516SpS′= =2 2y px= ( )1,4P 8p =102b 1 12c a c b α π4α + ∴ 2π πsin 1 cos4 4α α  + = − +     2 65=.8.B ,因为 ,所以 ,则 ,则.9.D 因为 ,故函数 是奇函数,取 ,则 ,故选 D.10.C 由 , .过点 所作的圆的两条切线相互垂直,所以 , 及两切点构成正方形得 ,在直线 上,设 , 得 .11.D 依题意得 , ,如图:因为 , ,所以 ,解得 ,所以 D 正确.12.A 设 ,则 ,因为 时, ,所以 时, ,因此 在 上单调递增,所以 , , ,即 , ,∴π πcos2 cos 24 2α α = + −    πsin 24α = +  π π2sin cos4 4α α  = + +     1 2 6 4 625 5 25= ⋅ ⋅ = ( )2 2 1,8b a λ− = −  ( )2b a a− ⊥   2 1 16 0λ − − = 172λ =562a b λ= −⋅ = ( ) ( )sin2 2x xxf x −−− =+( )f x= − ( )f x 0x ( ) 0f x 2 2 4 0x y x+ − = ∴( )2 2 4x y− + =P P C 2 2PC =P 2 1y x= + ( ),2 1P a a + ( ) ( )2 22 2 1 8a a− + + = 155a = ±( ) π5x g xfω= +  πsin5xωω = +    πsin5xω = +  2πTω=π 55 2Ax Tω= − + π 5 2π 24π5 2 5ω ω ω= + × = π 35Bx Tω= − + π 2π 29π35 5ω ω ω= + × =24π 29π2π5 5ω ω≤ 12 295 10ω≤ ( ) ( )cosf xg xx= ( ) ( ) ( )2cos sincosf x x f x xg xx′ ⋅ + ⋅′ =π0,2x∈  ( ) ( )cos sin 0xf x xf x′ + π0,2x∈  ( ) ( ) ( )2cos sin0cosf x x f x xg xx′ ⋅ + ⋅′ = ( )g x π0,2  π π6 3g g       π π6 4g g       π4 3g gπ       π π6 31322f f        π π36 3f f  ⇒      π π6 43 22 2f f        π π2 36 4f f  ⇒      .13.5 双曲线 的焦点在 轴,又因为直线 与 轴交于 ,则 .14.9 作出不等式组对应的平面区域如图:由 ,得 表示斜率为 ,纵截距为 的一组平行直线.平移直线 ,当直线经过点 时,此时直线 截距最大, 最大,此时 .15.18 ,∴ .由 解得 或 (舍去).., 周长为 18.16. 由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,则立方八面体表面有 8 个正三角形,再加上 6 个小正方形,且正方形边长与正三角形边长相等.当立方八面体外接于路障球时体积最大,即路障球为立方八面体的外接球.设立方八面体棱长为 ,外球直径 ,则 .立方八面体表面积 .17.解:(1) , ,π π4 31222f f        π π24 3f f  ⇒      2 214x ym− = x 3 3 0x y− − = x ( )3,0 5m =2z x y= +2 2x zy = − + 12−2z2 2x zy = − + ( )1,4A2 2x zy = − + z 9z =1 1sin sin2 2ABCbc A bc AS = =△1 153 152 4bc= = 24bc =242bcb c= − =64bc= =46bc= − = −∴ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 136 16 2 6 4 644= + − × × × − =  ∴ 8a = ∴ ABC△5400 1800 3+a 2 22 2d a a= + 2 60a= = 30a =2 236 84S a a= + ⋅ 5400 1800 3= +6 7 8 9 1085x+ + + + == 115 100 95 90 70 945y+ + + + ==,,所以, 与 之间的回归直线方程为 ;(2)当 时, ,预测该路段 12 月份的“不佩戴安全头盔”驾驶人与乘车人为 54 人.18.解:(1) 平面 , , 平面 , , ., 为 中点, .又 , , , 平面 , 平面 .(2)在三棱锥 中,设 到平面 距离为 ., . ., ., , , 分别为 , 的中点..中, , ,, ...19.解:(1)设等差数列 的公差为 .515 22155ˆi iiiix y x yxbx==−=−∑∑26 115 7 100 8 95 9 90 10 70 5 8 9436 49 64 81 100 5 8× + × + × + × + × − × ×=+ + + + − ×1001010−= = −ˆâ y bx= − ( )94 10 8 174= − − × = y x ˆ 10 174y x= − +12x = ˆ 10 12 174 54y = − × + = AB ⊥ BCD CF BD ⊂ BCD ∴ AB CF⊥ AB BD⊥ 2BC CD= = F BD ∴CF BD⊥ CF AB⊥ AB BD B= AB BD ⊂ ABD ∴CF ⊥ ABDQ DCF− D QFC d Q DCF D QCFV V− −= ∴1 13 3DCF QCFQB S d S⋅ ⋅ = ⋅ ⋅△ △ ∴DCFQCFQB SdS⋅= △△12DCF DCBS S=△ △1 1 2π 32 2 sin2 2 3 2= × × × × =2π4 4 2 2 2 cos3BD = + − × × × 2 3= AB BD⊥ 3AB = Q F AB BD∴2 22 2AD AB BDQF+= = 9 12 212 2+= =QCF△π2cos 13CF = =2342CQ= +   52= 212QF =∴25 2114 4cos52 12QCF+ −∠ =× ×25= ∴ 21sin5QCF∠ =∴ 1 5 2112 2 5QCFS = × × ×△214=∴3 33 72 27214d×= ={ }na d因为 , , 成等比数列,所以 ,即 ,整理得 ①.又因为 ②.所以联立①②,解得 , .所以 .(2)由(1)可得 , .,所以 .令 得 .解得 (舍负).由 且 .得能使得 成立的最小正整数为 7.20.解:(1)设椭圆方程为 ( ),其中 ,解得: , ,故所求椭圆方程为 .(2)设 方程为 ,代入椭圆 中得: ,即 ,设 , ,则 , ,由 得 ,解得 .则直线 的方程为 .21.解:(1) ,2a 1a 3a21 2 3a a a=( )( )21 1 1 2a a d a d= + + 13 2 0a d+ =3 1 2 4a a d= + = −1 2a = 3d = − ( )2 3 1 3 5na n n= − − − +=( )1 5 3 1 3 2na n n+ = − + = − + ( )2 5 3 2 3 1na n n+ = − + = − −( )( )13 2 3 1nbn n=− + − − ( )( )1 1 1 13 2 3 1 3 3 2 3 1n n n n= = − − + − + 1 1 1 1 1 113 4 4 7 3 2 3 1nSn n= − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + − − + 1 113 3 1 3 1nn n= − = + + 23 1 3n nn≤ −+23 20 6 0n n− − ≥10 1183n±=( )10 118 6,73+ ∈ *n ∈ N23nnS ≤ −2 22 21x ya b+ = a b 22 23cac==2 3a = ∴ 2 2 1 2b a= − =2 213 2x y+ =AB 1x my= +2 22 3 6x y+ = ( )2 22 1 3 6my y+ + = ( )2 22 3 4 4 0m y my+ + − =( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 242 3my ym−+ =+ 1 2 242 3y ym−=+2 22AF F B= 1 22y y− =22m = ±AB ( )2 1y x= ± −( ) ( )e e 1 ex x xx xf x = + = +′由 ,得 ,所以函数 在区间 上是增函数;由 时,得 ,所以函数 在区间 上是减函数.故 在 处取得极小值,且 .(2) , ,由 ,得 ,所以函数 在区间 上是增函数;由 ,得 ,所以函数 在区间 上是减函数.故 在 处取得最小值,且 ,当 时, 则 ,当 时,由 则 ,此时 ,又 , ,,又 图象不间断, 在 时没有零点, 在 有且仅有一个零点.综上所述, 在 上有且仅有一个零点.22.解:(1)因为直线 的参数方程为 ( 为参数),所以直线 的普通方程为 ,又 , ,故直线 的极坐标方程为 .由曲线 的极坐标方程为 , ,所以曲线 的直角坐标方程为 .(2) , ,( ) 0f x′ 1x − ( )f x ( )1,− +∞( ) 0f x′ 1x − ( )f x ( ), 1−∞ −( )f x 1x = − ( ) 1 11ef −= −−( ) ( ) exg x f x a= − ( )e 1xx a= − − ( ) ( )e ex xag x x+ −′ = ( )1 exx a= − +( ) 0g x′ 1x a − ( )g x ( )1,a − +∞( ) 0g x′ 1x a − ( )g x ( ), 1a−∞ −( )g x 1x a= − ( ) 11 e 1 0ag a −− = − − 1x a − 1x a− − ( ) ( )e 1 e 1 0x xg x x a= − − − − 1x a − 2 2 0a + 2 1 1a a a+ + −( ) ( ) 22 2 11 1 1a ag a a a e + ++ + = + −( )2 1 1a + 22 1 31 02 4a a a+ + = + +   ∴ ( )32 41 e 1 0g a a+ + −  ( )g x ∴ ( )g x ( ), 1a−∞ − ( )g x ( )1,a − +∞( ) ( ) exg x f x a= − Rl2 33x ty t = −=tl 3 2 3 0x y+ − =cosx ρ θ= siny ρ θ=l 3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ+ − =1C 6cosρ θ=2 6 cos 0ρ ρ θ− =1C ( )2 23 9x y− + =π,6AA ρ   π,6BB ρ   则 ,解得 .又 ,所以 .23.解:(1) ,,解得: 或 .(2)当 时, ,即: ,,即: .由 , ,解得: .即 的取值范围为 .π π3 cos sin 2 3 06 6A Aρ ρ+ − = 3Aρ =6cos 3 36Bπρ = = A BAB ρ ρ= − 3 3 3 2 3= − =( ) ( )2 2 2 4f x g x x a x+ = − + + 2 2 4 4x a x a≥ − − = − −−∴ 4 2a + = 2a = − 6−[ ]1,2x ∈ 2 2 2 2 6x a x x a x− + + = − + + 2 4x a x− −2 42 4x a xx a x− − − −443aa x+− [ ]1,2 A⊆ ∴4234 1aa+  − 2 5a a ( )2,5

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