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广西桂林市2021届高三理科数学上学期第一次联考试题(Word版附答案)

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2021 年高考桂林市第一次联合调研考试高三数学(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若 ,则复数 的实部与虚部之和为( )A.12B.11C.10D.62.已知集合 , ,若 ,则 可能的值为( )A.1 B.2 C.3 D.53.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,其历史可以追溯到公元前一世纪.明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.4.在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的顶点在坐标原点,焦点在 轴上,若曲线 经过点 ,则其焦点到准线的距离为( )A. B. C.4 D.85.曲线 在点 处的切线的方程为( )A. B. C. D.6.设 , , ,则( )A. B. C. D.7.函数 的图象可能为( )( )32 (3 )z i i= − + z{ }2 3 4 0A x x x= − − { }0B x x m= { }0 4A B x x=  m51611327161332xOy C x C ( )1,4P18142( ) e 11xf xx= − ++( )0,0y x= − 3y x= 0y = 4y x=0.43a = 12bπ=   3log 7c =a b c c b a b a c a c b sin( ) ( )2 2x xxf x xπ π−= − ≤ ≤+A. B.C. D.8.已知 , 是非零向量且满足 , ,则 的值是( )A. B.2 C. D.-29.在平面直角坐标系 中,圆 的方程 .若直线 上存在一点 ,使过点所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 的值可以是( )A.-4 B.-3 C.2 D.410.函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 , 在 上有且只有5 个零点,则 的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的体积为( )正视图 俯视图 侧视图A.1 B. C. D.12.已知定义在 上的函数 , 是 的导函数,且恒有 成立,则( )① ;② ;③ ;④ .其中所有正确结论的编号是A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.ab(2 )b a a− ⊥  2a =a b⋅ 2 3 2 3−xOy C 2 2 4 0x y x+ − = ( )1y k x= + P Pk( ) sin ( 0)g x xω ω= 5πω( )f x ( )f x [0,2 ]πω8 12,5 5  8 12,5 5 12 29,5 10  12 29,5 10 2356130,2π   ( )f x ( )f x′ ( )f x cos ( ) sin ( ) 0xf x xf x′ + 24 3f fπ π       33 6f fπ π       36 3f fπ π       2 36 4f fπ π       13.已知实数 , 满足 则目标函数 的最大值为______.14. 展开式中 的系数是______.15. 在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , ,,则边长 的值为______.16.某市民广场有一批球形路障球(如图 1 所示).现公园管理处响应市民要求,决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图 2 所示).其中立方八面体有 24 条棱、12 个顶点、14 个面(6 个正方形、8 个正三角形),它是将立方体“切”去 8 个“角”后得到的几何体.经过测量,这批球形路障球每个直径为 ,若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球,则每个改造后的立方八面体表面积为______ .三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:机动车行驶时,驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带,摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔.虽然电动自行车不属于机动车,但是电动自行车使用频率高且车速较快,据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约 80%为颅脑损伤致死.为了维护电动自行车使用人的生命健康安全,全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔.下表是某市一主干路段,交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据:月份 6 7 8 9 10不佩戴安全头盔人数115 100 95 90 70(1)请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数 与月份 之间的线性回归方程 .(2)利用(1)中的回归方程,预测该路段 12 月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数;附: , .x y5 0,2 2 0,0,x yx yy+ − ≤ − + ≥ ≥2z x y= +73 13xx +  7xABC△ A B C a b c 2b c− = 1cos4A = −26AB AB BC+ ⋅ = −  a60cm2cmy x y bx a= +( )( )( )1 12 221 1n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx= == =− − −= =− −∑ ∑∑ ∑ a y bx= − 8.(12 分)设公差不为零的等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列.(1)求数列 的通项公式;(2)若数列 的前 项和为 ,求使得 成立的最小正整数 .19.(12 分)在平面直角坐标系 中,已知椭圆 中心在原点,焦距为 2,右准线 的方程为 .过 的直线交于 , 两点.(1)求椭圆 的方程;(2)若 ,求直线 的方程.20.(12 分)如图所示,在三棱锥 中,侧棱 平面 , 为线段 中点, , ,.(1)证明: 平面 ;(2)设 是线段 上一点,二面角 的正弦值为 ,求 的值.21.(12 分)设函数 .(1)求函数 的极小值;(2)求证: 在 上有且仅有一个零点.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半{ }na 3 4a = − 2a 1a 3a{ }na{ }13nna −− n nS 20nS ≤ − nxOy E l 3x = 2F EA BE2 22AF F B= ABA BCD− AB ⊥ BCD F BD 23BCD π∠ = 3AB =2BC CD= =CF ⊥ ABDQ AD A BQ C− − 134DQDA( ) e 1xf x x= −( )f x( ) ( ) exg x f x a= − RxOy l2 33x ty t = −=t O x轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .(1)求 的极坐标方程和 的直角坐标方程;(2)若曲线 的极坐标方程为 , 与 的交点为 ,与 异于极点的交点为 ,求 .23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知函数 , .(1)若 的最小值为 2,求实数 的值;(2)若关于 的不等式 的解集为 ,若 ,求实数 的取值范围.2021 年高考桂林市第一次联合调研考试·高三数学(理科)参考答案、提示及评分细则1.C ,则实部与虚部之和为 10.2.D , , .故选 D.3.A 设正方形边长为 ,则其面积 ,阴影部分面积 ,所求概率 .4.D 设抛物线方程: ,代入 得 ,其焦点到准线的距离为 8.5.B , ,则切线方程为 .6.D , ,所以 .7.D 因为 ,故函数 是奇函数,取 ,则 ,故选 D.8.B 设 , 的夹角为 ;, ,又 , , .9.C , ,过点 所作的圆的两条切线相互垂直,所以 , 及两切点构成正方形, ,1C 6cosρ θ=l 1C2C 6πθ = 2C l A 1C B AB( ) 2f x x a= − ( ) 2g x x= +( ) 2 ( )f x g x+ ax ( ) ( ) 6f x g x+ A [1,2] A⊆ a( )32 (3 ) (2 )(3 ) 5 5z i i i i i= − + = + + = +{ }2 3 4 0 ( 1,4)A x x x= − − = − ( )0,4A B = 4m∴ ≥a 2S a=2516aS′ =∴ 516SpS′= =2 2y px= ( )1,4P 8p =22( ) e( 1)xf xx′ = ++(0) 3f ′ = 3y x=102b 1 12c a c b sin( )( ) ( )2 2x xxf x f x−−− = = −+( )f x 0x ( ) 0f x abθ( )2b a a− ⊥   ( )2 0b a a∴ − ⋅ =   22 0b a a⋅ − =  2a = 24a =2a b∴ ⋅ = 2 2 4 0x y x+ − = 2 2( 2) 4x y∴ − + = P P C2 2PC =在直线 上,圆心到直线的距离 .计算得到 .10.D 依题意得 , ,如图:因 为 , , 所 以,解得 ,所以 D 正确.11.D 由三视图可知,该几何体是由正方体截取四个角所得,其体积为 .12.A 设 ,则 ,因为 时, ,所以 时, ,因此 在 上单调递增,所以 , , ,即 , ,.13.9 作出不等式组对应的平面区域如图:P ( 1)y k x= +2| 2 0 |2 21k kdk− += ≤+2 2 2 2k− ≤ ≤( ) sin sin5 5 5f x g x x xπ π πω ωω ω     = + = + = +           2Tπω=5 5 2 245 2 5 2 5Ax Tπ π π πω ω ω ω= − + = − + × = 2 293 35 5 5Bx Tπ π π πω ω ω ω= − + = − + × =24 2925 5π ππω ω≤ 12 295 10ω≤ 1 11 46 3− × =( )( )cosf xg xx=2( ) cos ( ) sin( )cosf x x f x xg xx′ ⋅ + ⋅′ =0,2xπ ∈  cos ( ) sin ( ) 0xf x xf x′ + 0,2xπ ∈   2( ) cos ( ) sin( ) 0cosf x x f x xg xx′ ⋅ + ⋅′ = ( )g x 0,2π    6 3g gπ π        6 4g gπ π        4 3g gπ π       6 331 6 3322f ff fπ ππ π           ⇒      6 42 36 43 22 2f ff fπ ππ π           ⇒      4 321 4 3222f ff fπ ππ π           ⇒      由 ,得 表示斜率为 ,纵截距为 的一组平行直线,平移直线 ,当直线经过点 时,此时直线 截距最大, 最大,此时 .14.945 展开式的通项公式 ,令 ,解得: , 系数为 945.15.8 ,由 解得 或 (舍去),, .16. 由题意知,立方八面体表面有 8 个正三角形,再加上 6 个小正方形,且正方形边长与正三角形边长相等.当立方八面体外接于路障球时体积最大,即路障球为立方八面体的外接球.设立方八面体棱长为 ,外接球直径 ,则 .立方八面体表面积 .17.解:(1) , ,,,所以, 与 之间的回归直线方程为 ;2z x y= +2 2x zy = − + 12−2z2 2x zy = − + ( )1,4A2 2x zy = − + z 9z =73 13xx +  ( )72173 7 21 7 713 3rrrr r rrT C x C xx−− −+= ⋅ =  721 72r− = 4r = 7x∴2( ) cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A+ ⋅ = ⋅ + = ⋅ = = −       1cos4A = − 24bc∴ =242bcb c= − =64bc= =46bc= − = −2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 644a b c bc A∴ = + − = + − × × × − =  8a∴ =5400 1800 3+a 2 22 2 2 60d a a a= + = = 30a =2 236 8 5400 1800 34S a a= + ⋅ = +6 7 8 9 1085x+ + + += = 115 100 95 90 70 945y+ + + += =515 222156 115 7 100 8 95 9 90 10 70 5 8 94 100ˆ 1036 49 64 81 100 5 8 105i iiiix y x ybx x==−× + × + × + × + × − × × −= = = = −+ + + + − ×−∑∑ 94 ( 10) 8 174a y bx= − = − − × =y x  10 174y x= − +(2)当 时, ,预测该路段 12 月份的“不佩戴安全头盔”驾驶人与乘车人为 54 人.18.解:(1)设等差数列 的公差为 .因为 , , 成等比数列,所以 ,即 ,整理得 ①.又因为 ②.所以联立①②,解得 , .所以 .(2)由(1)可得 ,所以,, , ,由 在 是单调减函数, 是单调减函数,则 是单调递减数列.又 , ,则能使得 成立的最小正整数为 4..19.解(1)设椭圆方程为 ,其中 ,解得: , ,故所求椭圆方程为号 .(2)设 方程为 ,代入椭圆 中得: ,即 ,12x = 10 12 174 54y = − × + ={ }na d2a 1a 3a21 2 3a a a=( )( )21 1 1 2a a d a d= + + 13 2 0a d+ =3 1 2 4a a d= + = −1 2a = 3d = −2 3( 1) 3 5na n n= − − = − +1 13 ( 3 5) 3n nna n− −− = − + −( ) ( ) ( )0 1 2 12 3 1 3 4 3 ( 3 5) 3nnS n − = − + − − + − − + + − + − ( )0 1 2 1[2 ( 1) ( 4) ( 3 5)] 3 3 3 3nn −= + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + − + − + + + +( )0 2 23 1 3[2 ( 3 5)] 7 3 3 1 7 3 3 12 1 3 2 2 2n n nn n n n n n−+ − + − − − − += − = − =−1 1S = 2 3S = − 1 2S S27 3( )2x xf x−= [2, )+∞ 3 1( )2xg x−= − { }nS3 16S = − 4 50S = −20nS ≤ −2 22 21( )x ya ba b+ = 22 23cac==2 3a = 2 2 1 2b a∴ = − =2 213 2x y+ =AB 1x my= +2 22 3 6x y+ = 2 22( 1) 3 6my y+ + = ( )2 22 3 4 4 0m y my+ + − =设 , ,则 , ,由 得 ,解得 .则直线 的方程为 .20.(1)证明:因为 , 为线段 中点,所以 .因为 平面 , 平面 ,所以 .又因为 平面 , 平面 , ,所以 平面 .(2)解:在三棱锥 中,在平面 内作 于 .设 为 延长线上一点, .则 , , .所以 为基底建立空间直角坐标系 .由题设得 , , , ,, ,设 ,所以 .设 , 分别为平面 、平面 的一个法向量.则 ,即 ,不妨取 , .因为二面角 的正弦值为 .所以 ,(舍)或 .即 的值为 .( )1 1,A x y ( )2 2,B x y1 2 242 3my ym−+ =+ 1 2 242 3y ym−=+2 22AF F B= 1 22y y− =22m = ±AB 2( 1)y x= ± −BC CD= F BD CF BD⊥AB ⊥ BCD CF ⊂ BCD CF AB⊥AB ⊂ ABD BD ⊂ ABD AB BD B∩ =CF ⊥ ABDA BCD− BCD BE CD⊥ EX EB //BY CD BA BX⊥ BA BY⊥ BX BY⊥{ }, ,BX BY BA   O xyz−( )0,0,3A ( )0,0,0B ( )3,1,0C − ( )3,3,0D −( )3, 3,3DA = − ( )0,0,3BA = ( )3,1,0BC = −( ) ( )( )3, 3,3 3 , 3 ,3 0 1DQ DAλ λ λ λ λ λ= = − = − ≤  ( )3( 1),3(1 ),3BQ BD DQ λ λ λ= + = − −  ( )1 1 1 1, ,n x y z=( )2 2 2 2, ,n x y z=AQB CBQ1100DABAnn ⋅ =⋅ =  2200nnBCBQ ⋅ =⋅ =  11 1 13 03 3 3 0zx y z=− + =2 22 2 23 03( 1) 3(1 ) 3 0x yx y zλ λ λ− + =− + − + =( )1 3,1,0n = ( )2 3 ,3 ,2( 1)n λ λ λ= −A BQ C− − 1341 21 2 2 21 2| 3 3 | 3cos ,42 12 4( 1)n nn nn nλ λλ λ⋅ += = =⋅ + −   12λ∴ = − 1414DQDA∴ = DQDA1421.解:(1) ,由 ,得 ,所以函数 在区间 上是增函数;由 ,得 ,所以函数 在区间 上是减函数.故 在 处取得极小值,且 .(2) ,,由 ,得 ,所以函数 在区间 上是增函数;由 ,得 ,所以函数 在区间 上是减函数.故 在 处取得最小值,且 ,当 时, 则 ,当 时,由 则 ,此时 ,又 , ,,又 图象不间断,在 时没有零点, 在 有且仅有一个零点.综上所述, 在 上有且仅有一个零点.22.解:(1)因为直线 的参数方程为 ( 为参数),所以直线 的普通方程为 ,又 , ,故直线 的极坐标方程为 .由曲线 的极坐标方程为 ,得 ,( ) e e ( 1)ex x xf x x x′ = + = +( ) 0f x′ 1x − ( )f x ( 1, )− +∞( ) 0f x′ 1x − ( )f x ( , 1)−∞ −( )f x 1x = − 1( 1) 1ef − = − −( ) ( ) e ( )e 1x xg x f x a x a= − = − −( ) e ( )e ( 1)ex x xg x x a x a′ = + − = − +( ) 0g x′ 1x a − ( )g x ( 1, )a − +∞( ) 0g x′ 1x a − ( )g x ( , 1)a−∞ −( )g x 1x a= − 1( 1) e 1 0ag a −− = − − 1x a − 1x a− − ( ) ( )e 1 e 1 0x xg x x a= − − − − 1x a − 2 2 0a + 2 1 1a a a+ + −( ) ( ) 22 2 11 1 e 1a ag a a a + ++ + = + −( )2 1 1a + 22 1 31 02 4a a a+ + = + +   ( )32 41 e 1 0g a a∴ + + − ( )g x( )g x∴ ( , 1)a−∞ − ( )g x ( 1, )a − +∞( ) ( ) exg x f x a= − Rl2 33x ty t = −=tl 3 2 3 0x y+ − =cosx ρ θ= siny ρ θ=l 3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ+ − =1C 6cosρ θ=2 6 cos 0ρ ρ θ− =所以曲线 的直角坐标方程为 .(2) , ,则 ,解得 .又 ,所以 .23.解:(1),解得: 或 .(2)由 得: ,当 时, ,即:,即:由 , ,解得: .即 的取值范围为: .1C2 2( 3) 9x y− + =,6AAπρ   ,6BBπρ   3 cos sin 2 3 06 6A Aπ πρ ρ+ − = 3Aρ =6cos 3 36Bπρ = =3 3 3 2 3A BAB ρ ρ= − = − =( ) 2 ( ) | 2 | | 2 4 | | 2 2 4 | | 4 |f x g x x a x x a x a+ = − + + ≥ − − − = − −| 4 | 2a∴ + = 2a = − 6−( ) ( ) 6f x g x+ | 2 | | 2 | 6x a x− + + [1,2]x ∈ | 2 | | 2 | | 2 | 2 6x a x x a x− + + = − + + | 2 | 4x a x− −2 42 4x a xx a x− − − −443aa x+− [1,2] A⊆4234 1aa+ ∴ − 2 5a a ( )2,5

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