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广西北海市2021届高三数学(理)上学期第一次模拟试卷(Word版附解析)

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时间:2021-02-17

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2021 届北海市高三第一次模拟考试数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题.每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1. 已知 i 为虚数单位,则复数 的虚部是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法运算化简复数 ,再由复数的概念,即可得出其虚部.【详解】因为 ,所以其虚部是 .故选:A.2. 已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合 T,再运用集合的并集运算可得选项.【详解】因为 ,又 ,所以 .故选:A.3. 已知向量 , ,若 ,则实数 的值为( )23ii−+35-35i− 15− 15i−23ii−+2 2 (3 ) 2 6 1 33 (3 )(3 ) 10 5 5i i i iii i i− − − − −= = = − −+ + −35-{1, 2}S = { ln( 1) 0}T x x= − ≤∣ S T∪ ={ |1 2}x x≤ ≤ { |1 2}x x ≤ {1,2}{ |1 2}x x { ln( 1) 0} { 0 1 1} { 1 2}T x x x x x x= − ≤ = − ≤ = ≤∣ ∣ ∣{1,2}S = { }1 2S T x x∪ = ≤ ≤∣(1,3)a =( ,1)b t=( )//a b b−  tA. B. 3 C. D. 或 2【答案】A【解析】【分析】求出 ,再利用共线向量的坐标运算公式得解【详解】因 向量 , 所以 ,又因为 ,所以 ,所以 .故选:A【点睛】本题考查向量的坐标运算及利用共线向量的坐标运算求参数值,属于基础题.4. 已知函数 ,则 ( )A. -7 B. 2 C. 7 D. -4【答案】A【解析】【分析】根据解析式,分别求出 和 ,即可得出结果.【详解】因为 ,所以 , ,因此 .故选:A.5. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率 x(每分钟鸣叫的次数)与气温 y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了y 关于 x 的线性回归方程x(次数/分钟) 20 30 40 50 60为131− 1−(1 , 2)a b t− = −(1,3)a =( ,1)b t=(1 , 2)a b t− = −( )//a b b−  1 2 0t t− − =13t =2log , 0( )3 4 , 0x xf xx x=  − ≤(1) ( 1)f f− − =(1)f ( 1)f −2log , 0( )3 4 , 0x xf xx x=  − ≤2(1) log 1 0f = = ( )( 1) 3 4 1 7f − = − − =(1) ( 1) 7f f− − = −ˆ 0.25y x k= +y(℃) 25 27.5 29 32.5 36则当蟋蟀每分钟鸣叫 56 次时,该地当时的气温预报值为( )A. 33℃ B. 34℃ C. 35℃ D. 35.5℃【答案】B【解析】【分析】由已知数据求出 , ,代入到线性回归方程即可求出 ,从而可选出正确答案.【详解】由题意,得 , ,则 ;当 时, .故选:B.6. 函数 的大致图象为( )A. B. 40x = 30y = k40x = 30y = 0.25 30 0.25 40 20k y x= − = − × =56x = 34y =( ) ln xf xx=C. D. 【答案】D【解析】分析】当 时, ,当 时, ,故排除 ABC,得到答案.【详解】当 时, ,当 时, ,故排除 ABC.故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,取特殊值排除选项可以快速得到答案,是解题的关键.7. 2019 年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”,通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合,被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从 5 张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这 5 个图案的卡片(卡片的形状、大小、质地均相同)中随机选取 3 张,则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】给印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这 5 个图案的卡片分别编号,记作 , , , , ;用列举法分别写出总的基本事件,以及满足条件的基本事件,基本事件个数比即为所求概率.【详解】给印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这 5 个图案的卡片分别编号,记作 , , , , ,从中抽取三张,所包含的基本事件有: , , , , ,, , , , ,共 个;【0 1x ln0xx 1x ln0xx0 1x ln0xx 1x ln0xx3531025231 2 3 4 51 2 3 4 5( )1,2,3 ( )1,2,4 ( )1,2,5 ( )1,3,4 ( )1,3,5( )1,4,5 ( )2,3,4 ( )2,3,5 ( )2,4,5 ( )3,4,5 10则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内所包含 基本事件有: , , ,共 个;因此所求的概率为 .故选:B.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在《数书章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 x 的值为 2,则输出 v 的值为( )A. 6 B. 14 C. 16 D. 18【答案】C【解析】【分析】根据流程框图代入 , , ,即可求出输出结果.【详解】程序运行过程如下: , ; , ;, ; , ,跳出循环,输出 v 的值为 16.故选:C.9. 在正项等比数列 中. . .满足 = .则 ( )A. 4 B. 3 C. 5 D. 8的 ( )1,2,3 ( )1,2,4 ( )1,2,53310P =1v = 1k = 2x =1v = 1k = 1 2 2v = × = 2k =2 2 2 1 6v = × + × = 3k = 6 2 2 2 16v = × + × = 4k ={ }na 2 4a = 4 16a = 1 2 3 ma a a a 2 1ma + m =【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的公比为正数,利用 的关系求得公比 的值,进而得到通项公式,然后代入已知等式 = ,得到关于 的指数方程,求解即得.【详解】由题意得公比 ,首项 ,∴ ,由 ,可得 ,解得 ,故选:A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用,求得通项公式是关键,将通项公式代入已知等式,对左边各项的积按照同底数的幂的乘法运算,结合等差数列的求和公式化简,是解决此题的一个小难点.10. 2020 年 3 月 9 日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第 54颗导航卫星.第 54 颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为 ,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是 , ,则第 54 颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以运行轨道的中心为原点,长轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系,根据题意用 表示2 4,a a q1 2 3 ma a a a21ma + m421624aqa= = =21422aaq= = =1 11 2 2 2n n nna a q− −= = × =21 2 3 1m ma a a a a +=( )(1 )1 2 21 2 33 1... 22 2 22 2 2 2mm mm m++ + + ++= = =g gg g( 1)2( 1)22 2m mm++= 4m =R115R13R25152319x R,从而可求出 ,进而可求出椭圆的离心率.【详解】以运行轨道的中心为原点,长轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系,令地心 为椭圆的右焦点,设标准方程为 ( ),则地心 的坐标为( ,0),其中 .由题意,得 ,,解得 , ,所以 .故选:D.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求解,属于基础题.11. 已知函数 ,当 时,, ,则下列结论正确的是( )A. 函数 的最小正周期为 .B. 函数 的图象的一个对称中心为C. 函数 的图象的一条对称轴方程为D. 函数 的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到【答案】D【解析】【分析】利用 时, , 得到 和 ,求得 的解,a c a c− + ,a cx2F2 22 21x ya b+ = 0a b 2F c 2 2 2a b c= +115a c R R− = +13a c R R+ = +1225a R= 4215c R= 19cea= =( ) 3 sin( ) 0,| |2f x xπ = ω + ϕ ω ϕ   ( ) ( )1 2 3f x f x =1 2 minx x π− = ( ) 302f =( )f x 2π( )f x ,06π   ( )f x3xπ=( )f x 3 cosy xω=12π( ) ( )1 2 3f x f x = 1 2 minx x π− = ( )302f = ω ϕ ( )f x析式,根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.【详解】因为 ,所以 ,又 ,所以 或 ,因为 ,所以 的最小正周期为 ,所以 ,故 A 错误;又 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ;令 ( ),得 ( ),所以函数的对称中心为 ( ),所以 B 错误;由 ( ),解得 ( ),故 C 错误;,向右平移 单位长度得,故 D 正确.故选:D.【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质,是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到 必然同时为最大值点或同时为最小值点,从而求得函数的周期,得到 的值.对于 的对称轴可将 看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得;函数的图象的平移变换对应将 按照“左加右减”口诀代换得到.12. 如图是一个由正四棱锥 和正四棱柱 构成的组合体,正四棱锥的侧棱长为 6, 为正四棱锥高的 4 倍.当该组合体的体积最大时,点 到正四棱柱外接球表面的最小距离是( )( ) ( )3 sin xf x ω ϕ= + ( )max3f x = ( ) ( )1 2 3f x f x =( ) ( )1 2 3f x f x= = ( ) ( )1 2 3f x f x= = − 1 2 minx x π− =( )f x π 2ω =( ) 302f = 3sin2ϕ =2πϕ 3πϕ =( ) 3 sin 23f x xπ = +  23x kπ π+ = k ∈ Z6 2π kπx = − + k ∈ Z,06 2kπ π − +  k ∈ Z23 2x kπ π π+ = + k ∈ Z12 2kxπ π= + k ∈ Z3 cos 3 sin 22y x xπω  = = +   12π( )3 sin 2 3 sin 212 2 3y x x f xπ π π    = − + = + =        1 2,x x ω( )y Asin xω ϕ= + xω ϕ+x1 1 1 1P A B C D− 1 1 1 1ABCD A B C D−1BB P1 1 1 1ABCD A B C D−A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设正四棱锥的高为 , ,由条件可得 ,然后该组合体的体积为,然后利用导数求出当 时体积取得最大值,此时,然后算出正四棱柱 外接球的半径,然后点 到正四棱柱外接球表面的最小距离为点 到球心的距离减去半径,即可得到答案.【详解】设正四棱锥的高为 , ,由正四棱锥的侧棱长为 6 可得 ,该组合体的体积为,令 ,则 ,所以可得 在 上单调递增,在 上单调递减,所以当 时 取得最大值,即该组合体的体积最大,6 2 4 3− 6( 3 2)− 6( 2 1)−6( 3 1)−h AB a= 2 21362h a+ =( )2 2 31 134 72 23 3a h a h h h+ × = − 2 3h =4 3a = 1 1 1 1ABCD A B C D− P1 1 1 1ABCD A B C D− Ph AB a=2 21 362h a+ =( ) ( )2 2 2 2 31 13 13 134 72 2 72 23 3 3 3a h a h a h h h h h+ × = = − = −( ) 372 2f h h h= − ( ) 272 6f h h′ = −( )f h ( )0, 2 3 ( )2 3,+∞2 3h = ( )f h此时 ,所以正四棱柱 的外接球半径为:,点 到正四棱柱 外接球表面的最小距离为点 到球心的距离减去半径,即 ,故选:B【点睛】本题考查的知识点有:几何体的体积公式,利用导数解决最值问题,几何体的外接球问题,属于较难题.二、填空题:本题共 4 小题.每小题 5 分.共 20 分.13. 曲线 的一条切线的斜率为 ,该切线的方程为________.【答案】【解析】【分析】使用导数运算公式求得切点 处的导数值,并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标,进而得到切点坐标,然后利用点斜式求出切线方程即可.【详解】 的导数为 ,设切点为 ,可得 ,解得 ,即有切点 ,则切线的方程为 ,即 .4 3a =1 1 1 1ABCD A B C D−( ) ( ) ( )2 2 24 3 4 3 8 36 22+ +=P 1 1 1 1ABCD A B C D− P63 ( 22 3 )6h − −=ln 1y x x= + + 11e+11 1ey x = + +  ( ),m nln 1y x x= + + 1 1yx′ = +( , )m n1 11 1ekm= + = +em = (e,e 2)+1(e 2) 1 ( e)ey x − + = + −  11 1ey x = + +  故答案为: .【点睛】本题考查导数的加法运算,导数的几何意义,和求切线方程,难度不大,关键是正确的使用导数运算公式求得切点 处的导数值,14. 设等比数列 的公比为 2,前 项和为 ,则 ________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式,由题中条件,直接计算,即可得出结果.【详解】因为数列 为等比数列,所以 ,所以 ,所以 .故答案为: .15. 展开式中 的系数为 ,则 =________.【答案】6【解析】【分析】由二项式定理求解即可.【详解】展开式中 的系数为 ,解得.故答案为:16. 已知 , 分别为双曲线 的左、右焦点,以 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 , ,设四边形 的周长为 ,面积为 ,且满足 ,则该双曲线的离心率为______.11 1ey x = + +  x m={ }na n nS 55Sa=3116{ }na ( )515 11 2311 2aS a−= =−45 1 12 16a a a= =5 15 131 3116 16S aa a= =31162 3(2 ) (1 )ax x− + 2x 24− a2x2 1 1 2 2 22 3 3( ) C 2 ( ) C 2 C 12 12 24a a a a− + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + = −6a =61F 2F ( )2 22 21 0, 0x ya ba b− = 1 2F FM N 1 2F NF M pS 232S p=【答案】【解析】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出 点坐标为 ,然后通过圆与双曲线的对称性得出 ,再根据“点 即在圆上,也在双曲线上”联立方程组得出,然后根据图像以及 可得 和 ,接下来利用双曲线定义得出以及 ,最后根据 并通过化简求值即可得出结果.【详解】如图所示,根据题意绘出双曲线与圆的图像,设 ,由圆与双曲线的对称性可知,点 与点 关于原点对称,所以 ,因为圆是以 为直径,所以圆的半径为 ,因为点 在圆上,也在双曲线上,所以有 ,联立化简可得 ,整理得 ,, ,所以 ,因为 ,所以 , ,因为 ,所以 ,62M ( )1 1,M x y1 2 1 2F F M F F NS SD D= ( )1 1,M x y21byc= 232S p= 22S b= 8p b=1 2MF b a= + 2 2MF b a= -2 2 21 2 1 2MF MF F F+ =( )1 1,M x yM N1 2 1 2F F M F F NS SD D=1 2F F c( )1 1,M x y2 21 12 22 2 21 11x ya bx y c− = + =( )2 2 2 2 2 2 21 1b c y a y a b- - = 2 2 2 2 2 2 2 21 1b c a b b y a y- = +4 2 21b c y=21byc=1 2212 2 2F F MS S c y bD= = × =232S p= 2 264p b= 8p b=( )1 2 1 2 1 22p MF MF NF NF MF MF= + + + = + 1 2 4MF MF b+ =因为 ,联立 可得 , ,因为 为圆的直径,所以 ,即 , , ,, , ,所以离心率 .【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质,主要考查双曲线与圆的相关性质,考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用,考查化归与转化思想以及方程思想,考查了学生的计算能力,体现了综合性,是难题.三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题.每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题.考生根据要求作答.17. 已知在 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且.(1)求角 C 的大小;(2)若 ,求 面积的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得 ,结合余弦定理即可求出角 C 的大小.(2) 由(1)可知 ,从而可求出 ,结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值.【详解】(1) , ,, .又 , .(2)据(1)求解知, .又 , .1 2 2MF MF a- =1 21 242MF MF bMF MF a+ = − =1 2MF b a= + 2 2MF b a= -1 2F F2 2 21 2 1 2MF MF F F+ =( ) ( )2 2 22 2 4b a b a c+ + - = 2 2 28 2 4b a c+ = 2 2 24 2b a c+ =2 2 2 24 4 2c a a c- + = 2 22 3c a=2232ca= 62cea= =ABCV( )sin sin (2 )sina b A c C a b B+ = + −2c = ABCV3π 322( ) (2 )a b a c a b b+ = + −2 2 2a b ab+ = + 2ab ≤( )sin sin (2 )sina b A c C a b B+ = + − 2( ) (2 )a b a c a b b∴ + = + −2 2 2a b c ab∴ + − =2 2 2cos2a b cCab+ −∴ =2abab= 12= (0, )C π∈3Cπ∴ =2 2 2a b c ab+ − = 2c = 2 2 2a b ab∴ + = +又 ,当且仅当 时等号成立, ,,此时 .【点睛】方法点睛:在解三角形时,若已知的式子中既有边又有角的正弦值,此时常考虑用正弦定理将角的正弦值用边来代替。若已知式子中含有边的平方,此时常采用余弦定理进行化简.18. 在棱长为 1 的正方体 中, 为 的中点,过 , , 的平面交于点 .(1)求证: ;(2)求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2) .【解析】【分析】(1)由线面平行的性质证明 即可;(2)构建空间直角坐标系,求出二面角各半面的法向量,应用法向量夹角与二面角的关系求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:由正方体的性质,得 ,且 ,所以四边形 为平行四边形,从而 .又 平面 , 平面 ,所以 平面 .2 2 2a b ab+ ≥ a b= 2ab∴ ≤( ) maxmax1( ) sin2ABCS ab C∴ =V12 sin2 3π= × × 32= 2a b= =1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1B D 1A D E1CD F1//EF B C1F B C D− −631//EF B C1 1 //A B CD 1 1A B CD=1 1A B CD 1 1//B C A D1A D ⊂ 1A EFD 1B C ⊄ 1A EFD 1 //B C 1A EFD又 平面 ,且平面 平面 ,所以 .(2)解:由(1),得 为 的中点,以 为原点,, , 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , ,, , , ,所以 , , .设平面 的法向量为 ,则 ,即取 ,可得 ;设平面 的法向量为 ,则 即取 ,可得 ,所以 ,故二面角 的余弦值为 .1B C ⊂ 1 1B CD 1 1B CD ∩ 1A EFD EF=1//EF B CF 1CD AABAD1AAx y zA xyz− (0,0,0)A (0,1, 0)D(1,1,0)C 1(1,0,1)B 1(0,1,1)D1 1,1,2 2F   1 (0,1, 1)B C = − 1 1,0,2 2FC = −  (1,0,0)DC =1B CD ( , , )m x y z=1 0,0,m B Cm DC ⋅ =⋅ =0,0,y zx− = =1z = (0,1,1)m =1B CF ( , , )n a b c=1 0,0,n B Cn FC ⋅ =⋅ =0,1 10,2 2b ca c− = − =1c = (1,1,1)n =| | 2 6cos ,3| || | 3 2m nm nm n⋅ = = =×   1F B C D− −63【点睛】本题考查了利用线面平行证线线平行,应用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题.19. 已知抛物线 : 上一点 到其焦点 的距离为 2.(Ⅰ)求抛物线 的标准方程;(Ⅱ)设抛物线 的准线与 轴交于点 ,直线 过点 且与抛物线 交于 , 两点(点在点 , 之间),点 满足 ,求 与 的面积之和取得最小值时直线的方程.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 或 .【解析】【分析】(Ⅰ)由题意知,抛物线的焦点 为 ,把点 代入抛物线方程,再结合点到其焦点 的距离为 2,利用两点间距离公式得到关于 的方程,解方程即可求解;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 ,易知直线 的斜率存在,且不为零,设其方程为,设 , ,由 ,利用平面向量的坐标运算可得, ,联立直线方程和抛物线方程得到关于 的一元二次方程,利用韦达定理求出 的值,利用数形结合可得, ,再利用基本不等式求最值即可求解.C ( )2 2 0y px p= ( )m, 2 FCC x P l P C A B AP B Q 3QA AF= ABFV APQV l2 4y x= 2 2 2 23 3y x= + 2 2 2 23 3y x= − −F ,02p   ( )m, 2 ( )m, 2F ,m p( )1,0P − ly kx k= +( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 3QA AF= 14Qy y=y1 2y y2ABF APQ PQF PBF APFS S S S S+ = + −△ △ △ △ △【详解】(Ⅰ) 的焦点为 ,依题意有 ,解得 ,所以,抛物线 的标准方程为 .(Ⅱ)由(Ⅰ)知,抛物线 的标准方程为 ,其准线方程为: ,所以点 易知直线 的斜率存在,且不为零,其方程为 ,设 , ,因为 ,即 ,∴ ,联立方程 ,消去 ,得 , ,根据题意,作图如下:.当且仅当 ,即 或 时,与 的面积之和最小,最小值为 .时, , ,直线 的方程为 ;时, , ,直线 的方程为 ,2 2y px= ,02p   24 24 22pmpm=  − + =   12mp= =C 2 4y x=C 2 4y x= 1x = −( )1,0P − l y kx k= +( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 3QA AF=  ( ) ( )1 1 1 1, 3 1 ,0Q Qx x y y x y− = − −−14Qy y= 2 4y kx ky x= + =x 2 4 4 0ky y k− + = 1 2 4y y =2ABF APQ PQF PBF APFS S S S S+ = + −△ △ △ △ △ 2 11 1 12 2 2 22 2 2Qy y y= × + × − × ×2 1 1 2 12 4 2Qy y y y y y= + − = + − 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 4 2y y y y y y= + ≥ ⋅ = =1 22 142y yy y= =1222 2yy ==1222 2yy = −= −ABFV APQV 4 21 2y =21114 2yx = =1, 22A   l 2 2 2 23 3y x= +1 2y = −21114 2yx = =1, 22A −  l 2 2 2 23 3y x= − −∴ 与 的面积之和最小值时直线 的方程为 或.【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用数形结合思想和基本不等式求三角形面积的最值;考查运算求解能力、数形结合思想和转化与化归能力;属于综合型、难度大型试题.20. 已知函数 .(1)讨论函数 的单调性;(2)当 时,判断函数 零点的个数,并说明理由.【答案】(1)答案见解析;(2) 只有一个零点,理由见解析.【解析】【分析】(1)求出导数 ,按 分类讨论确定 的正负,得函数的单调性;(2)求出导函数 ,对其中一部分,设 ( ),用导数确定它的零点,这样可确定 的单调性与极值,然后结合零点存在定理确定结论.【详解】(1) 的定义域为 , ,当 时, ,则 在 上是增函数;当 时, ,所以 ;或 ;,所以 在 上是减函数,在 和 上是增函数.(2)当 时, ,其定义域为 ,ABFV APQV l 2 2 2 23 3y x= +2 2 2 23 3y x= − −( ) ( )2 2 exx xf ax = − +( )f x1a = ( ) ( ) 21 ln2g x f x xx − +=( )g x( )′f x a ( )′f x( )′g x ( ) 1exh xx= − 0x 0 (0,1)x ∈ ( )g x( )f x R ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 e 2 e 2 ex x xx x x af x ax = − + − + = + −′2a ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R2a ( ) ( )( )2 (2 ) e 2 2 ex xx a x a xf ax  = − − = + − − − ′( ) 0 2xf x a= ⇔ = ± −′( ) 0 2xf x a ⇔ − −′ 2x a −( ) 0 2 2f x a x a⇔ − − ′ −( )f x ( )2 , 2a a− − − ( ), 2 a−∞ − − ( )2 ,a− +∞1a = ( ) ( )2 211 e ln2xg x x x x= − − + ( )0, ∞+则 .设 ( ),则 ,从而 在 上是增函数,又 , ,所以存在 ,使得 ,即 , .列表如下:10 0增函数 极大值 减函数 极小值 增函数由表格,可得 的极小值为 ;的极大值为因为 是关于 的减函数,且 ,所以 ,所以 在 内没有零点.又 , ,所以 在 内有一个零点.综上, 只有一个零点.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,研究函数的零点,掌握导数与单调性、极值的关系是解题基础.本题旨在考查学生分析问题解决问题的能力,逻辑推理能力,运算求解能力.( ) ( )( ) 1e1 1 xg x xxx′ = + −−    ( ) 1exh xx= − 0x ( ) 21e 0xh xx′ = + ( )h x ( )0, ∞+1e 2 02h  = −   ( )1 e 1 0h = − 01,12x ∈  ( ) 0001e 0xh xx= − = 001exx=0 0lnx x= −x ( )00, x 0x ( )0 ,1x ( )1,+∞( )g x′ + − +( )g x( )g x ( ) 112g = −( )g x( ) ( ) 022 2 2 20 00 0 0 0 0 0 00 02 11 1 1 11 e ln 22 2 2x x xg x x x x x x xx x− += − − + = − − = − + −( )0g x 0x 01,12x ∈  ( )03 12 8g x− −( )g x ( ]0,1( ) 11 02g = − ( ) 22 e 2 ln 2 0g = − + ( )g x ( )1,+∞( )g x21. 出于“健康、养生”的生活理念.某地的 炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐. 炊具有限公司下辖甲、乙两个车间,甲车间利用传统手工泥模工艺铸造 型双耳平底锅,乙车间利用传统手工泥模工艺铸造 型双耳平底锅,每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为 划分为:综合质量指标值不低于 70 为合格品,低于 70 为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各 100 口,对它们的综合质量指标值进行测量,由测量结果得到如下的频率分布直方图:将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口 型双耳平底锅,若是合格品可盈利 40 元,若是不合格品则亏损 10 元;生产一口 型双耳平底锅,若是合格品可盈利 50 元,若是不合格品则亏损 20 元.(1)记 为生产一口 T 型双耳平底锅和一口 型双耳平底锅所得的总利润,求随机变量的数学期望;(2) 炊具有限公司生产的 和 型双耳平底锅共计 1000 口,并且两种型号获得的利润相等,若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成 3 个等级,其中 为三级品,为二级品, 为一级品,试判断生产的这 1000 口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多?请说明理由.【答案】(1)数学期望: ;(2)生产的这 1000 口两种型号的双耳平底锅中 型号的一级品多,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据频率直方图分别计算两车间生产一件相应产品为合格品的频率,并作为概率的估计值,然后利用独立事件同时发生的概率和互斥事件概率公式求得随机变量 X 的分布列,根据期望的定义计算期望值;MMT L[50,100])TLX L XM T L[70,80)[80,90) [90,100]62.5 T(2)先根据已知条件,设未知数列方程组求得这 1000口锅中 T型可 L 型平底锅的口数,然后根据直方图用频率估计各车间相应产品的一等品概率,进而求得每种型号的双耳平底锅的口数,即可做出正确判断.【详解】解:(1)根据频率分布直方图,甲车间生产的一口 T 型双耳平底锅为合格品的概率为;乙车间生产的一口 L 型双耳平底锅为合格品的概率为.随机变量 的所有取值为 90,40,20,-30,则; ;; .所以 .(2)生产的这 1000 口两种型号的双耳平底锅中 型号的一级品多,理由如下:设生产的这 1000 口双耳平底锅中 型的有 口, 型的有 口 ,则生产口 型双耳平底锅的利润为 ,生产 口 型双耳平底锅的利润为 .由 ,即 ,又 ,解得 , .由于 型双耳平底锅一级品的概率为 0.08, 型双耳平底锅一级品的概率为 0.06,所以 型双耳平底锅一级品的估计值等于 ,型双耳平底锅一级品的估计值等于 ,因此生产的这 1000 口两种型号的双耳平底锅中 型号的一级品多.【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望的计算,涉及频率直方图,独立事件同时发生的概率,和概率的应用,是中等难度题目.利用频率直方图中的频率估计各车间相应产品的合格(0.040 0.032 0.008) 10 0.8+ + × =(0.040 0.029 0.006) 10 0.75+ + × =X( 90) 0.8 0.75 0.6P X = = × = ( 40) 0.75 0.2 0.15P X = = × =( 20) 0.8 0.25 0.2P X = = × = ( 30) 0.2 0.25 0.05P X = − = × =( ) 90 0.6 40 0.15 20 0.2 30 0.05 62.5E X = × + × + × − × =TT x L y (0 , 1000)x y xT4 140 10 305 5x x x× × − × × =y L3 1 13050 204 4 4y y y× × − × × =130304x y=1312xy= 1000x y+ =520x = 480y =T LT 520 0.08 41.6 41× = L 480 0.06 28.8 29× = T率,进而利用互斥和对立事件概率公式求得分布列是该题的重点难点所在.22. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 且倾斜角为 60°,曲线 C 的参数方程为( 为参数).(1)以原点为极点,x 轴非负半轴为极轴且取相同 单位长度建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程;(2)求直线 l 被曲线 C 所截得的线段的长度.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】(1)把曲线 C 的参数方程化为普通方程,将 , 代入可得曲线 C 的极坐标方程;(2)设出直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,由根与系数的关系以及弦长公式得出线段的长度.【详解】(1)因为曲线 C 的参数方程为 ( 为参数).所以其普通方程为 ,将 , 代入可得曲线 C 的极坐标方程为.(2)因为直线 l 过点 且倾斜角为 ,则直线 l 的参数方程为 (t 为参数).将直线的参数方程代入曲线 C 的方程 中,可得 .设 为方程 的两个根,的(1,0)2cos3 sinxyαα==α22123 sinρθ=+165cosx ρ θ= siny ρ θ=2cos3 sinxyαα==α2 214 3x y+ =cosx ρ θ= siny ρ θ=22123 sinρθ=+(1,0) 60°11232x ty t = + =2 214 3x y+ = 25 4 12 0t t+ − =1t 2t 25 4 12 0t t+ − =则 , .所以直线被曲线 C 所截得的线段的长度为【点睛】方法点睛:本题考查参数方程和普通方程的互化,考查极坐标方程和普通方程的互化,考查直线的参数方程,过点 ,倾斜角为 的直线的参数方程为( 为参数),设 为直线上两点,所对应的参数分别为 ,则1. ;2. ;3. .23. 设函数 .(1)当 时,求不等式 的解集;(2)若 , ,求 的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)将 代入函数 的解析式,再将函数 写成分段函数的形式,进而可求出不等式的解集;(2)由 将原不等式进行转化,即可求出结果.【详解】(1)当 时, ,故不等式 的解集为(2)∵1 245t t+ = − 1 2125t t = −( )221 2 1 2 1 24 48 1645 5 5t t t t t t − = + − = − + =  ( )0 0,P x y α 00cossinx x ty y tαα= + = +t 1 2,P P 1 2,t t1 2 1 2PP t t= −0 1 0 2P P P P+ = 1 2t t+0 1 0 2P P P P⋅ = 1 2t t( ) | | | 4 |f x x a x= − + −1a = ( ) 7f x 0x R∃ ∈ 0( ) | 3 |f x a + a( 1,6)− 1( , )2+∞1a = ( )f x ( )f x( ) ( )4 4 4x a x x a x a− + − ≥ − − − = −1a = ( )5 2 , 13,1 42 5, 4x xf x xx x− ≤=  − ≥( ) 7f x ( )1,6−( ) ( ) ( )4 4 4f x x a x x a x a= − + − ≥ − − − = −∴则 ,解得故 的取值范围为 .【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式的基本定理,熟记定理和灵活运用分类讨论的思想即可求解,属于常考题型.4 3a a− +2 28 16 6 9a a a a− + + +12a a1,2 +∞  

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