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黄山市 2021 届高中毕业班第一次质量检测数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.注意事项:1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卷的相应区域答题.)1.已知集合 ,则集合 A 中元素个数为( )A.3 B.4 C.5 D.62.复数 ( )A.0 B.2 C. D.3.欧拉公式 (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知, 表示的复数在复平面中位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知抛物线 上点 P 到顶点的距离等于它到准线的距离,则点 P 的坐标为( ){ | ( 3)( 7) 0, }A x x x x Z= − − ≤ ∈2 2 | 3 |i i+ − − =2i− 2icos sinixe x i x= +3ie2y x=A. B. C. D.5.从集合 中随机抽取一个数 a,从集合 中随机抽取一个数 b,则向量 与向量垂直的概率为( )A. B. C. D.6.已知函数 的图像在点 处的切线与 y 轴交于点 ,则点的纵坐标为( )A.7 B. C. D.47.已知函数 (其中 )的部分图象如图所示,则 的解析式为( )A. B.C. D.8.在 的展开式中,含 项的系数为( )A. B.6 C.24 D.9.已知 ,则 ( )A. B. C. D.10.已知直线 与圆 交于 A,B 两点。且 A,B 在 x 轴同侧,过 A,B2 1,4 8 ±  2 1,4 4 ±  2 1,4 4   2 1,4 8   {1,2,4} {2,4,5} ( , )m a b=(2, 1)n = −192913234 2( ) 1f x x ax= + + ( 1, ( 1))f− − (0,4)7− 4−( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,| |2Aπω ϕ ( )f x( ) 2sin3f x xπ = +  ( ) 2sin 26f x xπ = +  ( ) 2sin 26f x xπ = −  ( ) 2sin 46f x xπ = −  611xx + −  5x6− 24−2tan 4 tan 1 0θ θ− + = 2cos4πθ + =  12131415: 3 3 0l mx y m+ + − = 2 2 12x y+ =分别做 x 轴的垂线交 x 轴于 C,D 两点,O 是坐标原点,若 ,则 ( )A. B. C. D.11.已知三棱锥 的底面是正三角形, ,点 A 在侧面 内的射影 H 是 的垂心,当三棱锥 体积最大值时,三棱锥 的外接球的表面积为( )A. B. C. D.12 .设函数 ,若存在区间 ,使 在 上的值域为,则 t 的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.)13.设 x,y 满足约束条件 ,则 的最小值是____________.14.已知函数 ,过点 作曲线 的切线 l,则直线 l 与曲线 及 y 轴围成的图形的面积为________________.15.已如 ,且 ,则 的最大值为__________.16.在平面上给定相异两点 A,B,设点 P 在同一平面上且满足 ,当 且 时,P 点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线 , 分别为双曲线的左、右焦点,A,B 为双曲线虛轴的上、下端点,动点P 满足 , 面积的最大值为 4.点 M,N 在双曲线上,且关于原点 O 对称,Q 是双曲线上一点,直线 和 的斜率满足 ,则双曲线方程是______________;过 的直线与双曲线右| | 3CD = AOB∠ =6π3π2π 23πP ABC− PA a= PBC PBCVP ABC− P ABC−34 3a 23 aπ 332aπ 212a2( ) ln 2f x x x x= − + 1[ , ] ,2m n  ⊆ +∞ ( )f x [ , ]m n[ ( 2), ( 2)]t m t n+ +9 2ln 21,10+   9 2ln 21,4+   9 2ln 21,4+   9 2ln 21,10+   2 02 03 0x yx yy+ − ≤ − + ≥ + ≥2z x y= +( ) xf x e= (1,0) ( )y f x= ( )y f x=| | 1,| | 2AB BC= = 1, 0AB BC AD DC⋅ = ⋅ =   BD| || |PAPBλ= 0λ 1λ ≠2 22 21( 0, 0)x ya ba b− = 1 2,F F| |2| |PBPA= PABVQM QN 3QM QNk k⋅ = 2F支交于 C,D 两点(其中 C 点在第一象限),设点 、 分别为 、 的内心,则 的范围是____________.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.)17.(本小题满分 12 分)设等差数列 的前 n 项和为 ,首项 ,且 .数列 的前 n 项和为 ,且满足.(1)求数列 和 的通项公式;(2)求数列 的前 n 项和.18.(本小题满分 12 分)如图 1,正方形 ,边长为 a,E,F 分别为 中点,现将正方形沿对角线 折起,折起过程中 D 点位置记为 T,如图 2.(1)求证: ;(2)当 时,求半平面 与半平面 所成二面角的余弦值.19.(本小题满分 12 分)2020 年 10 月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产,该企业生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 y(单位:g)与尺寸 x(单位: )之间近似满足关系式 (b、c 为大于 0 的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品.现随机抽取 6 件合格产品,测得数据如下:1I 2I 1 2CF FV 1 2DF FV 1 2I I{ }na nS 1 1a = 4 14 12S S− = { }nb nT1 11, 2 1n nb b T+= = +{ }na { }nbnnab   ABCD ,AD CD ACEF TB⊥60TAB °∠ = ABC BEFmm by c x= ⋅,9 7e e   尺寸 38 48 58 68 78 88质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1)现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,记 为取到优等品的件数试求随机变量 的分布列和期望;(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:75.3 24.6 18.3 101.4①根据所给统计量,求 y 关于 x 的回归方程;②已知优等品的收益 z(单位:千元)与 x,y 的关系为 ,则当优等品的尺寸 x 为何值时,收益 z 的预报值最大?(精确到 0.1)附:对于样本 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:, , .20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的长轴长是焦距的 倍,且过点 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)点 P 是圆心在原点 O,半径为 的圆 O 上的一个动点,过点 P 作椭圆的两条切线,且分别交其圆 O 于点 E、F,求动弦 长的取值范围.21.(本小题满分 12 分)已知函数 .(1)当 时,讨论函数 的单调性;(mm)x(g)yyxξ ξ( )61ln lni iix y=⋅∑ ( )61ln iix=∑ ( )61ln iiy=∑ ( )621ln iix=∑2 0.32z y x= −( ), ( 1,2, , )i iv u i n=  u b v a= ⋅ +( )( )( )1 12 2 21 1ˆn ni i i ii in ni ii iv v u u v u nvubv v v nv= == =− − −= =− −∑ ∑∑ ∑ˆâ u bv= − 2.7182e ≈2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 2 (2, 2)2 2a b+EF1( ) 1xf x ae x−= − −a R∈ ( )f x(2)当 时,若 ,且 在 时恒成立,求实数 a 的取值范围.考生注意:请在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时,请用 2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,已知点 ,曲线 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,点 Q 是 与 的公共点.(1)当 时,求直线 的极坐标方程;(2)当 时,记直线 与曲线 的另一个公共点为 P,求 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 ,记 最小值为 k.(1)求 k 的值;(2)若 a,b,c 为正数,且 .求证:黄山市 2021 届高中毕业班第一次质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B A B C B A C B B D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上.)13. 14. 15. 16. (3 分) (2 分)0a ( ) ln lng x x x a= − − ( ) ( )f x g x≥ 0x xoy (2,0)M 1Ccossinx ty t= =2C 0( 0)θ θ ρ= 1C 2C0 3πθ = MQ023πθ = MQ 1C | | | |MP MQ⋅3( ) | 2 1 |2f x x x= − + + ( )f x2 2 21a b ck k k     + + =          3(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) 2a a b b c ca b c+ − + + − + + −+ +13− 2 1e − 3 72+ 22 13yx − = 4 32,3  三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.)17.(本小题满分 12 分)解:(1)设数列 的公差为d, ,所以 为等差数列,公差为 因为 ,即 ,所以 , , 3 分由 可得 ,两式相减得 ,又 ,所以 ,故 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 . 6 分(2)设 ,记 的前 n 项和为 .则 , 8 分两式相减得: ,所以 . 12 分18.(本小题满分 12 分){ }na 1 ( 1) 2nS da nn= + − nSn    2d4 14 12S S− =4 1 3 34 1 2S S d− = = ⋅2d = 1 ( 1) 2 2 1na n n= + − ⋅ = −1 2 1n nb T+ = + 12 1( 2)n nb T n−= + ≥1 12 , 3 ( 2)n n n n nb b b b b n+ +− = = ≥2 12 1 3b T= + = 2 13b b={ }nb13nnb−=12 13nn nna ncb −−= = { }nc nT0 1 2 11 3 5 2 13 3 3 3n nnT −−= + + + +1 2 31 1 3 5 2 13 3 3 3 3n nnT−= + + + +1 2 12 2 2 2 2 1 2 2 21 , 23 3 3 3 3 3 3n nn n nn nT T−− += + + + + − = −1133n nnT −+= −(1)证明:取 中点 O,连因为 为正方形,所以 ,又所以 平面 ,而 平面 ,所以 .又 E,F 分别为 中点,所以所以 5 分( 2 ) 因 为 , 所 以 为 等 边 三 角 形 , , 又 , ∴,即 .解法 1:如图建立空间直角坐标系 ,则平面 法向量AC , ,OT OB BTABCD ,AC OT AC OB⊥ ⊥OT OB O∩ =AC ⊥ OBT TB ⊂ OBTAC TB⊥,AD CD / /EF ACEF TB⊥60TAB °∠ = TABV TB a= 22OT OB a= =2 2 2TB OB OT= + OT OB⊥O xyz−2 2 2 2 2,0,0 , 0, , , 0, ,2 4 4 4 4a a a aB a E F     −          2 2 2 20, ,0 , , ,2 2 4 4a aEF a EB a   = = −       ABC (0,0,1)m =设平面 法向量 ,由 , ,,记半平面 与半平面 所成二面角为 ,则 为锐角,所以即半平面 与半平面 所成二面角的余弦值为 . 12 分解法 2:记半平面 与半平面 交线为 , 交 于 H,连接因为 , 平面 , 平面所以 平面又平面 平面所以又由(Ⅰ)知 平面 ,所以 , ,所以所以 即为半平面 与半平面 所成二面角的平面角. 9 分中, ,所以即半平面 与半平面 所成二面角的余弦值为 . 12 分BEF ( , ,1)n x y=00n EFn EB ⋅ =⋅ =02 2 202 4 4yaax ay=+ − =012yx= =1 1 2 5,0,1 ,cos ,2 | | | | 511 14m nn m nm n⋅ = = = =  ⋅  ⋅ +    ABC BEF θ θ 2 5cos5θ =ABC BEF2 55ABC BEF BG EF OT BH/ /AC EF AC ⊄ BEF EF ⊂ BEF/ /AC BEFABC ∩ BEF BG=/ /AC BGAC ⊥ OBT AC BH⊥ AC BO⊥,BG BH BG BO⊥ ⊥OBH∠ ABC BEFRT BOHV1tan2HOHBOOB∠ = =2 5cos5HBO∠ =ABC BEF2 5519.(本小题满分 12 分)解:(1)由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间 内,即则随机抽取的 6 件合格产品中,有 3 件为优等品,3 件为非优等品. 1 分现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,则取到优等品的件数, ,, 3 分的分布列为0 1 2 3P∴ 5 分(2)解:对 两边取自然对数得 ,令 ,得 ,且 , 6 分①根据所给统计量及最小二乘估计公式有,,9 7e e   (0.302,0.388)yx∈0,1,2,3ξ =0 33 3361( 0)20C CPCξ = = =1 23 3369( 1)20C CPCξ = = =2 13 3369( 2)20C CPCξ = = =3 03 3361( 3)20C CPCξ = = =ξξ1209209201201 9 9 1 3( ) 0 1 2 320 20 20 20 2E ξ = × + × + × + × =( , 0)by c x b c= ⋅ ln ln lny c b x= +ln , lni i i iv x u y= = u b v a= ⋅ + lna c= 7 分,得 ,故 8 分所求 y 关于 x 的回归方程为 9 分②由①可知, ,则由优等品质量与尺寸的比 ,即 .令 , 当 时,取最大值,即优等品的尺寸 ,收益 的预报值最大. 12 分20.(本小题满分 12 分)解:(1)由 得 ,把点 代入椭圆方程得 ,又 ,所以 ,椭圆的标准方程为 . 4 分(2)①设过点 P 作椭圆的两条切线分别为 .当 中有一条斜率不存在时,不妨设 斜率不存在,因为 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 或 ,当 方程为 时,此时 与圆 O 交于点 和 ,此时经过点 , 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ,即 为 或由题目知圆 O 的方程为:∴线段 应为圆 O 的直径,∴ . 6 分122 2175.3 24.6 18.3 6 0.27 1ˆ101.4 24.6 6 0.54 2ni iiniiv u nvubv nv==−− × ÷= = = =− ÷−∑∑1ˆˆ 18.3 24.6 6 12a u bv  = − = − × ÷ =  ˆ ˆln 1a c= = ĉ e=12y e x= ⋅12ŷ e x= ⋅ ˆ 2 0.32z e x x= −12ˆ, (7,9)9 7y ex e e exx x x = = ∈ ⇒ ∈  (49,81)x ∈(7,9)t x= ∈2 22ˆ( ) 0.32 2 0.320.32 0.32e ez t t et t = − + = − − +  8.5 (7,9)0.32et x= = ≈ ∈ẑ 72.3(mm)x ≈ ẑ2 2 2a c= ⋅ 2a c= ⋅ (2, 2) 2 24 21a b+ =2 2 2a b c= + 2 28, 4a b= =2 218 4x y+ =1 2,l l1 2,l l 1l1l 2 2x = 2 2x = −1l 2 2x = 1l (2 2,2) (2 2, 2)−(2 2,2) (2 2, 2)− 2y = 2y = −2l 2y = 1 22,y l l= − ⊥2 2 12x y+ =EF | | 4 3EF =②当 斜率都存在时,设点 ,其中 ,且 ,设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ,则 ,消去 y 得到 ,∴ ,,所以 ,满足条件的两直线 垂直. 10 分∴线段 应为圆 O 的直径,∴ ,综合①②知:因为 经过点 ,又分别交圆于点 E,F,且 垂直,所以线段 为圆 的直径,∴ 为定值. 11 分故 的取值范围 . 12 分21.(本小题满分 12 分)解:(1) ,①当 时, 恒成立,即函数 在 递减;②当 时,令 ,解得 ,令 ,解得即函数 在 上单调递增,在 上单调递减. 4 分综上,当 时,函数 在 递减;当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减. 5 分(2)由题意,即当 时 在 时恒成立,即 在 时恒成立.记 ,则 ,1 2,l l ( )0 0,P x y 2 20 0 12x y+ = 2 20 08, 4x y≠ ≠( )0 0,P x y ( )0 0y t x x y= − +( )0 02 218 4y t x x yx y= − ++ =( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 01 2 4 2 8 0t x t y tx x y tx+ + − + − − =( )2 2 20 0 0 064 8 16 32 8 0x t x y t y∆ = − + + − =( )22 001 2 2 20 032 8 1232 8164 8 64 8xyt tx x− −−= = = −− −1 2 1t t = − 1 2,l lEF | | 4 3EF =1 2,l l ( )0 0,P x y 1 2,l lEF 2 20 0 12x y+ = | | 4 3EF =EF {4 3}1( ) 1xf x ae′ −= −0a ≤ ( ) 0f x′ ( )f x ( , )−∞ +∞0a ( ) 0f x′ 1 lnx a − ( ) 0f x′ 1 lnx a −( )f x (1 ln , )a− +∞ ( ,1 ln )a−∞ −0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞0a ( )f x (1 ln , )a− +∞ ( ),1 ln a−∞ −0a ( ) ( ) 0f x g x− ≤ 0x 1 ln ln 1 0xae x a− − + − ≥ 0x 1( ) ln ln 1xh x ae x a−= − + − (1) ln 1 0h a a= + − ≥记 , 在 递 增 , 又 , 所 以时, . 7 分下面证明:当 时, 在 时恒成立.因为 . 9 分所以只需证 在 时恒成立.记 ,所以 ,又 ,所以 在 单调递增,又所以 , 单调递减; , 单调递增,所以 ,∴ 在 恒成立.综上可知, 时, 在 时恒成立. 12 分22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程解:(1)曲线 的普通方程是 ,当 时,点 Q 的坐标为 , 2 分直线 的普通方程为 , 4 分所以直线 的极坐标方程为 ; 5 分(2)当 时,点 Q 的坐标为 , 6 分直线 的参数方程为 (t 为参数), 8 分( ) ln 1a a aϕ = + − 1( ) 1 0, ( )a aaϕ ϕ′ = + (0, )a ∈ +∞ (1) 0ϕ =(1) ln 1 0h a a= + − ≥ 1a ≥1a ≥ 1( ) ln ln 1 0xh x ae x a−= − + − ≥ 0x 1 1( ) ln ln 1 ln 1x xh x ae x a e x− −= − + − ≥ − −1 ln 1 0xe x− − − ≥ 0x 1( ) ln 1xT x e x−= − − 1 1(1) 0, ( ) xT T x ex′ −= = −121( ) 0xT x ex′′ −= + ( )T x′ (0, )+∞ (1) 0T ′ =(0,1), ( ) 0x T x′∈ ( )T x (1, ), ( ) 0x T x′∈ +∞ ( )T xmin ( ) (1) 0T x T= = ( ) 0T x ≥ (0, )+∞1a ≥ 1( ) ln 1 0xT x e x−= − − ≥ 0x 1C2 2 1x y+ = 0 3πθ =1 3,2 2   MQ 3 2 0x y+ − =MQ cos 3 sin 2 0ρ θ ρ θ+ − =023πθ = 1 3,2 2 −  MQ5 72 ,1421,14x ty t= − =代入 并化简得 ,设它的两根为 ,则 . 10 分注:用平面几何中的切割线定理计算酌情给分.23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲答案:略2 2 1x y+ = 2 10 7 3 07t t− + = 1 2,t t 1 2| | | | 3MP MQ t t⋅ = =

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