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河南省高三8月开学考试数学理试卷(含答案)

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时间:2021-02-07

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河南师大附中高三 8 月第一次月考数学(理)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 (其中 是虚数单位),那么 的共轭复数是( )A. B. C. D.3. 展开式中第 3 项的二项式系数为( )A.6 B.-6 C. 24 D. -244.命题“ , ”的否定是( )A. B. C. D.5.某单位共有职工 150名,其中高级职称 45人,中级职称 90人,初级职称 15人,现采用分层抽样方法从中抽取容量为 30的样本,则各职称人数分别为( )A.9,18,3 B. 10,15,5 C. 10,17,3 D.9,16,56.把边长为 1的正方形 沿对角线 折起,使得平面 平面 ,形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为( ){ | lg | |}A y y x= = { | 1 }B x y x= = − A B =[0,1] (0,1) ( ,1]−∞ [0, )+∞2izi−= i z1 2i− 1 2i+ 1 2i− − 1 2i− +4(1 2 )x−0x∀ 01xx−0, 01xxx∃ ≤−0,0 1x x∃ ≤ ≤0, 01xxx∀ ≤−0,0 1x x∃ ≤ ≤ABCD BD ABD ⊥ CBDC ABD− A. B. C. D.7.已知平面上的单位向量 与 的起点均为坐标原点 ,它们的夹角为 ,平面区域 由所有满足 的点 组成,其中 ,那么平面区域 的面积为( )A. B. C. D.8.函数 ,给出下列四个命题:①在区间 上是减函数;②直线 是函数图像的一条对称轴;③函数 的图像可由函数 的图像向左平移 个单位得到;④若 ,则 的值域是,其中,正确的命题的序号是( )A.①② B.②③ C. ①④ D.③④9.已知 ,则的值为( )122224141e2eO3πD1 2OP e eλ µ= +  P100λ µλµ+ ≤ ≤ ≤D12332342( ) 2sin sin 2 1f x x x= − + +5[ , ]8 8π π8xπ= ( )f x( ) 2 sin 2f x x=4π[0, ]2xπ∈ ( )f x[0, 2]9 2 90 1 2 9( 2)x a a x a x a x+ = + + + +2 21 3 5 7 9 2 4 6 8( 3 5 7 9 ) (2 4 6 8 )a a a a a a a a a+ + + + − + + +A. B. C. D.10.若圆 与双曲线 的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.11.对于使 成立的所有常数 中,我们把 的最小值叫做 的上确界,若正数且 ,则 的上确界为( )A. B. C. D.-412.对于函数 和 ,设 , ,若存在 ,使得,则称 和 互为“零点相邻函数”,若函数 与互为“零点相邻函数”,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.椭圆 : 的左焦点为 ,若 关于直线 的对称点 是椭圆 上的点,则椭圆 的离心率为 .14.连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ,若记向量 与向量 的夹角为 ,则 为锐角的概率是 .15.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:货物 体积(升/件) 重量(公斤/件) 利润(元/件)93 103 113 1232 2( 3) ( 1) 3x y− + − =2 22 21( 0, 0)x ya ba b− = 2 33727( )f x M≤ M M ( )f x,a b R∈ 1a b+ = 1 22a b− −92− 9214( )f x ( )g x { | ( ) 0}x f xα ∈ = { | ( ) 0}x g xβ ∈ = ,α β| | 1α β− ≤ ( )f x ( )g x 1( ) 2xf x e x−= + −2( ) 3g x x ax a= − − + a[2, 4]7[2, ]37[ ,3]3[2,3]C2 22 21( 0)x ya ba b+ = F F 3 0x y+ = AC Cm n ( , )a m n=(1, 2)b = −θθ甲 20 10 8乙 10 20 10运输限制 110 100在最合理的安排下,获得的最大利润的值为 .16.已知 分别为内角 的对边, ,且 ,则 面积的最大值为 .三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 设数列 的前 项和为 , , .(1)求数列 的通项公式 ;(2)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求出 值;若不存在,说明理由.18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为 , , , ,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 内的小球个数为 ,求 的分布列和数学, ,a b c , ,A B C 2a =sin sinsin 2A B c bC b− −=+ABC∆{ }na n nS 1 1a = 3 ( 1)n nS na n n= − −*( )n N∈{ }na nan 231 23( 1) 20161 2 3 2nS SS S nn+ + + + − − = n[5,15] (15,25] (25,35] (35,45]a[5,15] X X期望.(以直方图中的频率作为概率)19. 如图,已知斜三棱柱 , , , 在底面 上的射影恰为 的中点 ,且 .(1)求证: 平面 ;(2)求 到平面 的距离;(3)求二面角 的平面角的余弦值.20. 已知抛物线 : ,焦点 , 为坐标原点,直线 (不垂直 轴)过点且与抛物线 交于 两点,直线 与 的斜率之积为 .(1)求抛物线 的方程;(2)若 为线段 的中点,射线 交抛物线 于点 ,求证: .21. 设 , .(1)若 ,求 的单调区间;(2)讨论 在区间 上的极值点个数;(3)是否存在 ,使得 在区间 上与 轴相切?若存在,求出所有 的值;若不存在,说明理由.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.1 1 1ABC A B C− 90BCA∠ = 2AC BC= = 1A ABCAC D 1 1BA AC⊥1AC ⊥ 1A BC1CC 1A AB1A A B C− −C 2 2 ( 0)y px p= F O AB x FC ,A B OA OB p−CM AB OM C D| |2| |ODOM2( ) ( ln 1) xf x x x ax a a e= + + − − 2a ≥ −0a = ( )f x( )f x1( , )e+∞a ( )f x1( , )e+∞ x a22.选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系 中,已知曲线 : , : , :,设 与 交于点 .(1)求点 的极坐标;(2)若直线 过点 ,且与曲线 交于两不同的点 ,求 的最小值.23.选修 4-5:不等式选讲设函数 .(1)当 时,求函数 的定义域;(2)若函数 的定义域为 ,试求 的取值范围.试卷答案一、选择题 CAABA DDADA ADO xyz− 1C2cos( )4 2πρ θ + = 2C 1(0 )ρ θ π= ≤ ≤ 3C2221 cossin3θ θρ= + 1C 2C MMl M 3C ,A B| || || |MA MBAB( ) | 1| | 2 |f x x x a= + + + −5a = ( )f x( )f x R a二、填空题 13. 14. 15.62 16. 三、解答题17.(1) , ,所以 时,两式相减得:即 ,也即 ,所以 是等差数列,所以 .(2) ,所以 ,,所以所以 ,所以即当 时, .18.【解】(Ⅰ)由题意,得 ,解得 ;又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20(克),而 个样本小球重量的平均值为: (克)故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 克;3 ( 1)n nS na n n= − −*n N∈2n ≥ 1 1( 1) 3( 1)( 2)n nS n a n n− −= − − − −1 1( 1) 3( 1)[ ( 2)]n n n n na S S na n a n n n− −= − = − − − − − −1( 1) ( 1) 6( 1)n nn a n a n−− = − + − 1 6n na a −− ={ }na6 5na n= −23 ( 1) (6 5) 3 ( 1) 3 2n nS na n n n n n n n n= − − = − − − = −3 2nSnn= −231 2 3 ( 1) 3 13(1 2 3 ) 2 21 2 3 2 2 2nS SS S n nn n n n nn++ + + + = + + + + − = − = − 2 2 231 2 3 3 1 3 5 3( 1) ( 1) 20161 2 3 2 2 2 2 2 2nS SS S nn n n nn+ + + + − − = − − − = − =5 4035n = 807n =807n = 231 23( 1) 20161 2 3 2nS SS S nn+ + + + − − =(Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 内的概率为 ,则 . 的可能取值为 、 、 、 ,, ,, . 的分布列为:.(或者 )19.解:(1)∵A1在底面 ABC 上的射影为 AC 的中点 D,∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC,∵BC⊥AC 且平面 A1ACC1∩平面 ABC=AC,∴BC⊥平面 A1ACC1,∴BC⊥AC1,∵AC1⊥BA1且 BC∩BA1=B,∴AC1⊥平面 A1BC。(2)如图所示,以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AC1⊥平面 A1BC,∴AC1⊥A1C,∴四边形 A1ACC1是菱形,∵D 是 AC 的中点,∴∠A1AD=60°,∴A(2,0,0),A1(1,0, ),B(0,2,0), C1(-1,0, ),∴ =(1,0, ), =(-2,2,0),设平面 A1AB 的法向量 =(x,y,z),∴ ,令 z=1,∴ =( , ,1),∵ =(2,0,0),∴ ,∴C1到平面 A1AB 的距离是(3)平面 A1AB 的法向量 =( , ,1),平面 A1BC 的法向量 =(-3,0, ),∴ ,设二面角 A-A1B-C 的平面角为 θ,θ 为锐角,∴ ,∴二面角 A-A1B-C 的余弦值为20.I)解:∵直线 AB 过点 F 且与抛物线 C 交于 A,B 两点, ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB(不垂直 x 轴)的方程可设为 .∴ , .∵直线 OA 与 OB 的斜率之积为﹣p,∴ .∴ ,得 x1x2=4.由 ,化为 ,其中△=(k2p+2p)2﹣k2p2k2>0∴x1+x2= ,x1x2= .∴p=4,抛物线 C:y2=8x. (Ⅱ)证明:设 M(x0,y0),P(x3,y3),∵M 为线段 AB 的中点,∴ , .∴直线 OD 的斜率为 .直线 OD 的方程为 代入抛物线 C:y2=8x 的方程,得 .∴ .∵k2>0,∴21.解:(1)当 时: ,( )故当 时: ,当 时: ,当 时: .故 的减区间为: ,增区间为(2)令 ,故 , ,显然 ,又当 时: .当 时: .故 , , .故 在区间 上单调递增,注 意 到 : 当 时 , , 故 在 上 的 零 点 个 数 由的符号决定. ……5 分①当 ,即: 或 时: 在区间 上无零点,即 无极值点.②当 ,即: 时: 在区间 上有唯一零点,即 有唯一极值点.综上:当 或 时: 在 上无极值点.当 时: 在 上有唯一极值点. (3)假设存在 ,使得 在区间 上与 轴相切,则 必与 轴相切于极值点处,由(2)可知: .不妨设极值点为 ,则有:…(*)同时成立. 联立得: ,即 代入(*)可得 .令 , .则 , ,当 时 (2).故 在 上单调递减.又 , .故 在 上存在唯一零点 .即当 时 , 单调递增.当 时 , 单调递减.因为 , .故 在 上无零点,在 上有唯一零点. 由观察易得 ,故 ,即: .综上可得:存在唯一的 使得 在区间 上与 轴相切. 请考上在第 22、23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.解:(I)由 解得点 的直角坐标为 因此点 的极坐标为(II)设直线 的参数方程为 为参数),代入曲线 的直角坐标方程并整理得设点 对应的参数分别为 则 当 时, , 有最小值23. (1)当 时, .由 可得,或 或 ,解得 或即函数 的定义域为 (2)依题可知 恒成立,即 恒成立,而 当且仅当 即 时取等号,所以 欢迎访问“高中试卷网

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