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河南省中学高三8月开学考试数学试卷(文)(含答案)

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时间:2021-02-07

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高三 8 月第一次月考数学(文)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ,集合 , ,则( )A. B. C. D.2.已知向量 , ,若 ,则正实数 的值为( )A.2 B.3 C.3或-2 D.-3或 23.设 为虚数单位,则复数 的共轭复数为( )A. B. C. D.4.已知命题 “ ”,命题 “ ”,若命题“ ”是真命题,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,则输出的 为( )A. B. C. D.6.设 为公比为 的等比数列,若 和 是方程 的两根,则( )A. 18 B.10 C. 25 D.97.如图,在 中, , 是 上的一点,若 ,则实数 的U Z= { | 3 7}A x Z x= ∈ ≤ 2{ | 7 10 0}B x Z x x= ∈ − + ( )UA C B ={3,4,5} {2,3,4,5} {4,5} {2,3,4}(1, )a k=( 1,6)b k= −/ /a b ki3 4ii+4 3i− − 4 3i− + 4 3i+ 4 3i−:p [0,1], xx a e∀ ∈ ≥ :q 2, 4 0x R x x a∃ ∈ + + = p q∧a(4, )+∞ [1, 4] ( ,1]−∞ [ ,4]eS20132 1− 20141(2 1)3− 20131 (2 1)3− 20142 1−{ }na 1q 2010a 2011a24 8 3 0x x− + =2012 2013a a+ =ABC∆14AN NC= P BN211AP mAB AC= +  m值为( )A. B. C. D.8.设变量 满足 ,则 的最大值为( )A. 55 B. 35 C. 45 D.209.在球 内任取一点 ,则 点在球 的内接正四面体中的概率是( )A. B. C. D.10.已知下列命题:①命题“ ”的否定是“ ”②已知 为两个命题,若“ ”为假命题,则“ ”为真命题③“ ”是“ ”的充分不必要条件④“若 ,则 且 ”的逆否命题为真命题其中真命题的个数为( )A. 3个 B. 2个 C. 1个 D.0个11.已知四棱锥 的底面是中心为 的正方形,且 底面 , ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )A. 1 B.2 C. D.312.设函数 , ,若数列 是单调递减数列,则实数 的取值范围为( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(共 90 分)911211311111,x y100 200 15x yx yy− ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤2 3x y+O P P O112π312π2 39π36π2, 1 3x R x x∃ ∈ + 2, 1 3x R x x∀ ∈ + ,p q p q∨ p q¬ ∧ ¬2a 5a 0xy = 0x = 0y =S ABCD− O SO ⊥ ABCD 2 3SA =3( 2) , 2( ) 1( ) 1, 22xa x xf xx− ≥=  − ( )na f n= { }na a( , 2)−∞ 7( , )4−∞ 13( , ]8−∞ 13[ , 2)8二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.若 是直角三角形的三边( 为斜边),则圆 被直线 所截得的弦长等于 .14.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .15.已知 ,则 的最小值为 .16.已知函数 若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,则 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在 中,设角 所对的边分别为 ,向量 ,,且 .(1)求角 的大小;(2)若 , ,求 的面积.18. 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数及分数在 之间的频数;, ,a b c c 2 2 2x y+ = 0ax by c+ + =302x 2 93 2yx x= +−21( ) ln ( 0)2f x a x x a= + 1 2,x x1 21 2( ) ( )2f x f xx x− −aABC∆ , ,A B C , ,a b c (cos ,sin )m A A=( 2 sin ,cos )n A A= −| | 2m n+ = A4 2b = 2c a= ABC∆[80,90)(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高;(3)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在 之间的概率.19. 如图,在底面是菱形的四棱柱 中, , ,,点 在 上.(1)证明: 平面 ;(2)当 为何值时, 平面 ,并求出此时直线 与平面 之间的距离.20. 已知椭圆 的右焦点为 , 为椭圆的上顶点, 为坐标原点,且 是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线 交椭圆于 两点,且使 为 的垂心(垂心:三角形三条高的交点)?若 存在,求出直线 的方程;若 不存在,请说明理由.21. 已知 ,其中 .(1)求函数 的极大值点;(2)当 时,若在 上至少存在一点 ,使 成立,求的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程[80,90)[80,100][90,100]1 1 1 1ABCD A B C D− 60ABC∠ =1 2AA AC= =1 1 2 2A B A D= = E 1A D1AA ⊥ ABCD1A EED 1/ /A B EAC 1A B EAC2 22 21( 0)x ya ba b+ = (1,0)F M OOMF∆l ,P Q F PQM∆l l l1( ) lnaf x x a xx−= − − a R∈( )f x1( ,1 ] [1 , )a ee∈ −∞ + + +∞ 1[ , ]ee 0x 0( ) 1f x e −a在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(2)若 与 交于 两点,点 的极坐标为 ,求 的值.23.选修 4-5:不等式选讲已知函数 , .(1)解不等式 ;(2) , ,使得 ,求实数 的取值范围.试卷答案一、选择题1~5 ABCDD 6~10 ADACC 11~12 BBxOy 1C325425x ty t = − = − +t Ox 2C cos tanρ θ θ=1C 2C1C 2C ,A B P (2 2, )4π− 1 1| | | |PA PB+( ) | 2 1| | 1|f x x x= − + + ( ) | | | |g x x a x a= − + +( ) 9f x 1x R∀ ∈ 2x R∃ ∈ 1 2( ) ( )f x g x= a二、填空题13. 2 14. 15. 16. [1,+∞)三、解答题17. 解:(Ⅰ)=∵ ∴ ,又∵0< < , ∴ < < ,∴ =0,(Ⅱ)∵ ∴∴ ,又∵0< < ∴∴△ABC 为等腰直角三角形,18.(本小题满分 12分)解:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=0.08全班人数 =25所以分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4(2)分数在[50,60)之间的总分数为 56+58=114分数在[60,70)之间的总分数为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456分数在[70,80)之间的总分数为 70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747分数在[80,90)之间的总分数为 85×4=340分数在[90,100]之间的总分数为 95+98=193所以,该班的平均分数为估计平均分数时,以下解法也给分:分数在[50,60)之间的频率为 =0.08分数在[60,70)之间的频率为 =0.28分数在[70,80)之间的频率为 =0.40分数在[80,90)之间的频率为 =0.16380325)sincos,sincos2( AAAAnm +−+=+22 )sin(cos)sincos2( AAAAnm ++−+=+)4sin(44π−− A2=+ nm 0)4sin( =− πAA π4π−4π−A43π4π−A4π=A4,2π== Aac 2sinsin ==ACac1sin =C C π2π=C16)24(21 2 =×=∆ABCS08.027425193340747456114 =++++2522572510254分数在[90,100]之间的频率为 =0.08所以该班的平均分数约为 55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08 =73.8所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016(3)将[80,90)之间的 4个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2个分数编号为 5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15个.其中,至少有一份在[90,100]之间的基本事件有 9 个,故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 =0.619、(1)证明:因为底面 是菱形, 所以 ,在 中,由 知 ,同理, 又因为 于点 A,所以 平面 (2)当 时, 平面证明如下:连接 交 于 ,当 ,即点 E 为 A1D 的中点时,连接 OE,则 ,所以 平面 直线 与平面 之间的距离等于点 A1 到平面 ACE 的距离,因为 E 为 A1D 的中点,可转化为 D 到平面 ACE 的距离, ,设 AD 的中点为 F,连接 EF,则 ,所以平面 ,且 ,可求得 ,所以 又 , , , , ( 表示点 D 到平面 ACE的距离), ,所以直线 与平面 之间的距离为20.解:(1)由△OMF 是等腰直角三角形得 b=1,a =故椭圆方程为(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且使 F 为△PQM 的垂心设 P( , ),Q( , )因为 M(0,1),F(1,0),故 ,故直线 l 的斜率ABCD ,60=∠ABC 2=== ACADAB BAA1∆21221 BAABAA =+ ABAA ⊥1 ADAA ⊥1 ADAB ⊥1AA .ABCD11 =EDEA//1BA .EACBD AC O 11 =EDEABAOE 1// //1BA .EACBA1 ACEACDEAECD VV −− = 1// AAEF⊥EF ACD 1=EF 3=∆ACDS⋅=××=− 333131ACDEV2=AE 2=AC 2=CE 27=∆AECS 3331 =⋅∴ ∆ dS AEC d7212=d BA1 EAC ⋅721225225415922 =b1222=+ yx1x 1y 2x 2y1−=MFk 1=k于是设直线 l 的方程为由 得由题意知△>0,即 <3,且由题意应有 ,又故解得 或经检验,当 时,△PQM 不存在,故舍去 ;当 时,所求直线 满足题意综上,存在直线 l,且直线 l 的方程为21.解:(1)由已知 = , >0当 -1≤0,即 ≤1时, 在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,无极大值当 0< -1<1,即 1< <2时 在(0, -1)上递增,在( -1,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以 在 处取极大值当 -1=1时,即 =2时, 在(0,+∞)上递增,无极大值当 -1>1时,即 >2时, 在(0,1)上递增,在(1, -1)上递减,在( -1,+∞)上递增,故 在 处取极大值综上所述,当 ≤1 或 =2 时, 无极大值;当 1< <2 时 的极大值点位 ;当 >2时 的极大值点为(2)在 上至少存在一点 ,使 > 成立,等价于当 时, >由(1)知,①当 ≤ 时,函数 在 上递减,在 上递增∴∴要使 > 成立,必须使 > 成立或 > 成立由 > , <mxy +==++=22 22 yxmxy02243 22 =−++ mmxx2m322,34 22121−=−=+ mxxmxx0=⋅ FQMP ),1(),1,( 2211 yxFQyxMP −=−=0)1)((2 22121 =−+−++ mmmxxxx0)1(343222 22=−+−−−× mmmmm34−=m 1=m1=m 1=m34−=m34−= xy0433 =−− yxxaxaxf −−+=′ 211)(222 )]1()[1()1(xaxxxaaxx −−−=−+− xa a )(xfa a )(xf a a)(xf 1−= axa a )(xfa a )(xf a a)(xf 1=xa a )(xf a )(xf 1−= axa )(xf 1=x],1[ ee 0x )( 0xf 1−e],1[ eex∈ max)(xf 1−eae11+)(xf ]1,1[e],1[ e= )(),1(max)( max efefxfmax)(xf 1−e )1(ef 1−e )(ef 1−eaeaeef +−−= )1(1)1( 1−e aeee−+21由 > 解得 <1∵ <1,∴ <1②当 ≥ 时,函数 在 上递增,在 上递减∴ ≤ <综上所述,当 <1时,在 上至少存在一点 ,使 > 成立22.(1)曲线 的普通方程为曲线 的直角坐标方程为: .(2) 的参数方程 为参数)代入 得设 是 对应的参数,则23.(1) 2 分等价于综上,原不等式的解集为(2)由(Ⅰ)知所以 ,实数 的取值范围是1C 4 3 2 0;x y+ − =2C2y x=1C32 ,5 (42 .5x tty t = − = − +2y x=29 80 150 0,t t− + =1 2,t t A B、 1 2 1 280 500.9 3t t t t+ = = ,1 21 2| |1 1 | | | | 8.| | | | | | | | | | 15t tPA PBPA PB PA PB t t++∴ + = = =⋅13 , ,21( ) 2 , 1 ,23 , 1.x xf x x xx x ≥= − − − ≤( ) 9f x 1 11,, 1 ,2 23 03 9 2 9xx xxx x  ≤ −≥ −    −   −  或 或{ | 3 3}.x x x −或| | | | 2 | | .x a x a a− + + ≥1 3( ) ( ) .2 2f x f≥ =32 | |2a ≤a3 3[ , ].4 4−aeaeef −−−= 1)( 1−e aeee−+21aa e+1 )(xf ]1,1[e],1[ eafxf −== 2)1()( max e−1 1−ea ],1[ ee 0x )( 0xf 1−e欢

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