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湖北省襄阳五中高三开学考试(8月)数学(理)试题(含答案)

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时间:2021-02-07

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襄阳五中高三年级 8 月月考数学(理科) 试 题一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. i 为虚数单位,若 ,则 =( )A.1 B. C. D.22. 下列对应法则是从集合 A 到集合 B 的映射的是 ( )A.A=R, B={x | x0}, ; B. , C.A=N, B=N*, D.A=R, B=3. 下列命题中的假命题是( )A.B. ,使得函数 是偶函数C. ,使得D. ,使 是幂函数,且在 上递减4. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.5. 某产品的广告费用 与销售额 的不完整统计数据如下表:广告费用 (万元) 3 4 5销售额 (万元) 22 28 m若已知回归直线方程为 ,则表中 的值为A. B.39 C.38 D.376. 将 4 本完全相同的小说,1 本诗集全部分给 4 名同学,每名同学至少 1 本书,则不同分法有(  )A.24 种 B.28 种 C.32 种 D.16 种7. 已知直线 与圆 交于两点 且 ,则 ( )A. B. C. D. 8. 已知函数 f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),则 的最小值等于(  )A.2 B. C.2+ D.29. 已知两点 M(-5,0),N(5,0),若直线上存在点 P ,使 ,则称该直线为“B 型直线”给出下列直线 ① ② ③ ④( 3 ) (1 3 )i z i+ = − z2 3xyxf =→::f x y x→ =: | 1|f x y x→ = −2{ | 0}, : 2 2y y f x y x x≥ → = − +bababa lglg)lg(),,0(, +≠++∞∈∀R∈∃ϕ )2sin()( ϕ+= xxfR∈∃ βα , βαβα coscos)cos( +=+Rm∈∃ 342)1()( +−⋅−= mmxmxf ),0( +∞1133105310431074x yxy69ˆ −= xy m4005: =−− kyxl 10: 22 =+ yxO BA、 0OA OB⋅ = =k2 2± 2± 2baba−+ 226=− PNPM1+= xy 2=y xy34= xy 2=其中为“B 型直线”的是 ( )A.①③ B.①② C.③④ D.①④ 10.定义在 上的函数 满足 , ,则对任意的, 是 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.如图,已知直线 : 与抛物线 相交于 A、B 两点,且 A、B 两点在抛物线 准线上的射影分别是 、 ,若,则 k 的值是( )A. B. C. D.12.设 为函数 的导函数,已知 ,则下列结论正确的是A. 在 单调递增 B. 在 单调递减 C. 在 上有极大值 D. 在 上有极小值 二、填空题(本大题给共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填在相应的横线上)13.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为________.14.当实数 满不等式组: 时,恒有 成立,则实数 的取值范围是________. 15.如图,在 中, , 、 边上的高分别为BD、AE,则以 、 为焦点,且过 、 的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则 的值为 . 16.如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使其满足条件:(1)每个自然数“放置”在一个“整点”(横纵坐标均为整数的点)上;(2)0 在原点,1 在 点,2 在 点,3 在 点,4在 点,5 在 点,…,即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字 的整点坐标是_________.l ( 1)( 0)y k x k= + 2: 4C y x=C M N| | 2 | |AM BN=13232232 2ABC∆ 30=∠=∠ CBACAB AC BCA B D E21 xx )(xf ′ )(xf 2 1( ) ( ) ln , ( )x f x xf x x f ee′ + = =( )f x (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞( )f x (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞0y =274yx ,002 2xyx y≥ ≥ + ≤3ax y+ ≤a2111ee+( )0,1 ( )1,1 ( )1,0( )1, 1− ( )0, 1−( )2 *2 1 ,n n N+ ∈三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)已知命题 :函数 的值域为 ,命题 :方程在 上有解,若命题“ 或 ”是假命题,求实数 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了 90 位 30 岁到 40 岁的公务员,得到情况如下表:(1)判断是否有 99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”,并说明理由;(2)现把以上频率当作概率,若从社会上随机独立抽取三位 30 岁到 40 岁的男公务员访问,求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.(3)已知 15 位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联,该部门打算从这 15 位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈,设邀请的 2 人中来自省女联的人数为 ,求 的公布列及数学期望 .男性公务员 女性公务员 总计有意愿生二胎 30 15 45无意愿生二胎 20 25 45总计 50 40 90附:0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82819.(本小题满分 12 分)如图,在等腰梯形 中, , , ,四边形为矩形,平面 平面 , .(1)求证: 平面 ;(2)点 在线段 上运动,设平面 与平面 二面角的平面角为 ,试求 的取值范围.20.(本小题满分 12 分)p aaxxxf 22)( 2 ++= ),0[ +∞ q 0)2)(1( =+− axax]1,1[− p q aXX )(XE22 ( )( )( )( )( )n ad bcka b c d a c b d−=+ + + +20( )P k k≥0kABCD / /AB CD 1AD DC CB= = = 60ABC∠ = ACFE ACFE ⊥ ABCD 1CF =BC ⊥ ACFEM EF MAB FCB ( 90 )θ θ ≤ cosθ已知椭圆C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 为定值.21.(本小题满分 12 分)已知函数 .(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;(2)若 ,求 在区间 上的最小值;(3)若函数 有两个极值点 ,求证: .请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图所示,圆 M 与圆 N 交于 A,B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10.(1)求 AB 的长;(2)求 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 中,圆 和 的参数方程分别是 ( 为参数)和 ( 为参数),以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆 和 的极坐标方程;(2)射线 : 与圆 的交点为 ,与圆 的交点为 ,求的最大值.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲(Ⅰ)已知 a 和 b 是任意非零实数满足 ,求实数 的最大值.(Ⅱ)若不等式 恒成立,求实数 k 的取值范围. 2 55241xy =F1 2, ,MA AF MB BFλ λ= =   1 2λ λ+求证:( ) ( )2ln2af x x x x a R= − ∈2a = ( )y f x= ( )( )1, 1f0=a )(xf ][ 2, +tt )( 0t( ) ( )g x f x x= − 1 2,x x1 21 12ln lnaex x+ DECFxOy 1C 2C=+=ϕϕsin2cos22yxϕ+==ββsin1cosyxβ O x1C 2COM αθ = 1C PO、 2C QO、 |||| OQOP ⋅12 1 1 ( 1)4x x k x+ − + − −襄阳五中高三 8 月月考数学(理科)试卷参考答案一、选择题 ADACA DBABC CD二、填空题13. -3. 14. 15. 16. 三、解答题17.解析:当 为真时, 或者 a=2;.........2 分当 为真时,(1)当 时,不符合条件;(2)当 时有 或者 .或即 或 , 或 ,即 或 .........................................................6 分 “ 或 ”假,即 假且 假且 , 的取值范围为{ | 且 }..........10 分18.解析:(1)由于故没有 99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”. ...................... ............ ............ ...............4 分( 2)由题意可得,一名男公务员要生二胎意愿的概率为 ,无意愿的概率为,记事件 :这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立则 答:这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为 ....................... ............ ............ ...............8 分(3) 可能的取值为0 1 2.............................................. ............ ...............12 分32 2 2( ) ( ) 2 2 0 0f x x a a a a a a= + − + ⇒ − + = ⇒ =0a ≠ 1xa= 2xa= −11 1a∴− ≤ ≤ 21 1a− ≤ − ≤1a ≥ 1a ≤ − 2a ≥ 2a ≤ − 1a ≥ 1a ≤ −1 10, 2aa a− ∴ ≠ ≠ 且1 1a⇒ − 0a ≠ 1 1a− 0a ≠( ]3,∞− ( ), 1n n− +pq 0=ap q p qa a22 ( )( )( )( )( )n ad bcka b c d a c b d−=+ + + +635.65.445454050)20153025(90 2 =××××−×=53203030 =+52203030 =+A( ) ( )12511752525211 =⋅⋅−=−= APAP125117X 2,1,01051)2(;10526)1(;352610578)0(2152221511312215213==========CCXPCCCXPCCXPXP3526105261051154105281051210526135260)( ==×+×+×=XE19.(1)证明:在梯形 中,∵ , , ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴平面 平面 ,平面 平面, 平面 ,∴ 平面 .............................................................5 分(2)由(1)可建立分别以直线 为 轴, 轴, 轴的如图所示空间直角坐标系,令 ,则 ,∴ .设 为平面 的一个法向量,由 ,得 ,取 ,则 ,∵ 是平面 的一个法向量,∴ .∵ ,∴当 时, 有最小值 ,当 时, 有最大值 ,∴ ..............................................................12 分20.(I)设椭圆 C 的方程为 ,因为抛物线 的焦点坐标是 所以由题意知 b = 1.又有 ∴椭圆 C 的方程为 ……………………………………………………… ……4 分(II)方法一:设 A、B、M 点的坐标分别为易知右焦点 的坐标为(2,0). ………………………6 分将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得去分母整理得 ……………………………………………………9 分 …………………12 分方法二:设 A、B、M 点的坐标分别为 又易知 F 点的坐标为(2,0).显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是)0(12222=+ babyax241xy = (0,1)2 222 5.5a ba− = 21 2 51 .5a− =即2 5.a∴ =.1522=+ yx).,0(),,(),,( 02211 yMyxByxAF1 1 1 0 1 1 1, ( , ) (2 , ).MA AF x y y x yλ λ= ∴ − = − −  011 11 12, .1 1yx yλλ λ= =+ +即.1)1()12(51 210211 =+++ λλλ y.05510 20121 =−++ yλλ2 22 2 2 0, : 10 5 5 0.MB BF yλ λ λ= + + − = 同理由 可得2 21 2 0, 10 5 5 0 ,x x yλ λ∴ + + − =是方程 的两个根 .1021 −=+∴ λλ).,0(),,(),,( 02211 yMyxByxA).2( −= xkyABCD/ /AB CD 1AD DC CB= = = 60ABC∠ =  2AB =2 2 2 2 cos 60 3AC AB BC AB BC= + − • • =2 2 2AB AC BC= + BC AC⊥ ACFE ⊥ ABCD ACFE ABCD AC= BC ⊂ ABCD BC ⊥ ACFE, ,CA CB CF x y z(0 3)FM λ λ= ≤ ≤ (0,0,0), ( 3,0,0), (0,1,0), ( ,0,1)C A B M λ( 3,1,0), ( , 1,1)AB BM λ= − = − 1 ( , , )n x y z=MAB1100n ABn BM • =• =  3 00x yx y zλ− + =− + =1x = 1 (1, 3, 3 )n λ= −2 (1,0,0)n =FCB1 22 21 2| | 1 1cos| || | 1 3 ( 3 ) 1 ( 3) 4n nn nθλ λ•= = =+ + − × − +  0 3λ≤ ≤ 0λ = cosθ 773λ = cosθ 127 1cos [ , ]7 2θ ∈将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得 …………………………………………8 分又………………………………12 分21.解:(1)当 时, ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ………………………………………………3分(2)当 时, 在 增,最小值为 ;当 时, 在 减,增,最小值为 .………………………………………………………………………6 分( 3) ,函数 有两个相异的极值点 ,即有两个不同的实数根.①当 时, 单调递增, 不可能有两个不同的实根;②当 时,设 ,当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减;………………………………………………………8 分∴ ,∴ ,不妨设 ,∵ ,∴先证 ,即证 ,即证 ,令 , 即 证 , 设 , 则,函数 在 单调递减,∴ ,∴,又 ,∴ ,∴ ………………………………………………………………………………6 分.052020)51( 2222 =−+−+ kxkxk.51520,512022212221 kkxxkkxx+−=+=+∴.2,2,,22211121 xxxxBFMBAFMA−=−=== λλλλ 将各点坐标代入得.10)(242)(222 21212121221121 −==++−−+=−+−=+∴ xxxxxxxxxxxxλλ2a = ( ) ( ) ( ) ( )2ln , ln 1 2 , 1 1, 1 1f x x x x f x x x f f′ ′= − = + − = − = −( )y f x= ( )( )1, 1f y x= −et 1 )(xf ][ 2, +tt tt lnet 10 ≤ )(xf et 1,]2,1 + te e1−( ) ( ) 1 lng x f x x ax′ ′= − = − ( ) ( )g x f x x= − 1 2,x x( ) ln 0g x x ax′ = − =0a ≤ ( )g x′ ( ) 0g x′ =0a ( ) ( ) 1ln , axh x x ax h xx−′= − =10 xa ( ) 0h x′ ( )h x1xa ( ) 0h x′ ( )h x1ln 1 0h aa  = − −   10 ae 2 1 0x x ( ) ( )1 2 0g x g x′ ′= =( )2 2 1 1 2 1 2 1ln 0, ln 0, ln lnx ax x ax x x a x x− = − = − = −1 21 12ln lnx x+ 2 1 2 12 1 1 2ln ln2x x x xx x x x− +−2 22 2 1 2 11 1 2 1 21ln2 2x x x x xx x x x x − = −  211xtx= 1 1ln2t tt  −  ( ) 1 1ln2t t ttϕ  = − −  ( ) ( )222 212 102 2tt ttt tϕ− −− −′ = = ( )tϕ ( )1,+∞ ( ) ( )1 0tϕ ϕ =1 21 12ln lnx x+ 10 ae 1ae 1 21 12ln lnaex x+ 22.解析:(1)根据弦切角定理,知 .所以△ABC △DBA,所以 .故 .………………………………………………………………5 分(2)根据切割线定理,知 ,两式相除,得 .由△ABC △DBA,得 .所以 .又 ,所以由(※)式得 .…………………………………………………10 分23.解 (1)圆 和 的普通方程分别为 和∴圆 和 的极坐标方程分别为 , .…………………………… …5 分(2)依题意得,点 , 的极坐标分别为 , ,不妨取 ,∴ , .从而 .当且仅当 ,即 时,上式取“=”,取最大值是 4. ……………………………………… …………………… …………… ……………10分24. 证明:(Ⅰ) ∴ . (需要考虑等成立的条件)从而实数 的最大值为 4. ……………5 分(Ⅱ)记若不等式 恒成立,则函数 的图象在直线 的上方,数形结合可得 .……………………… …………………… …………… ……………10 分欢DABACBBDABAC ∠=∠∠=∠ ,∽BABCDBAB =25,502 ==⋅= ABBDBCABDEDBDACFCBCA ⋅=⋅= 22 ,DECFDBCBDACA ⋅=22∽221025 ===DBABDAAC2122=DACA21105 ==DBCB1=DECF1C 2C 4)2(22 =+− yx 1)1( 22 =−+ yx1C 2C θρ cos4= θρ sin2=P Q ),cos4( ααP ),sin2( ααQ )2,0(πα ∈|cos4||| α=OP |sin2||| α=OQ4|2sin4||||| ≤=⋅ αOQOP 12sin ±=α4πα = |||| OQOP ⋅| 2 | | 2 | | 2 2 | 4 | |a b a b a b a b a+ + − ≥ + + − =2 24a b a ba+ + −≥, 11( ) 2 1 1 3 2, 121,2x xh x x x x xx x− ≤ −= + − + = − − − − ≥ −12 1 1 ( 1)4x x k x+ − + − − ( )h x 1( 1)4y k x= − −1( ,1]6k ∈

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