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江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学(文)试题(含答案)

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时间:2021-02-07

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高三上学期摸底调研考试文 科 数 学本试卷共 4 页,23 小题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一.选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 满足 ,则复数 的虚部为A. B. C. D.2.设集合 , ,则A. B. C. D.3.已知 , ,则 A. B. C. D.4.已知 , 为两个非零向量,则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设变量 满足约束条件 , 则 的最大值为A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,输出的 为A. B. C. D.z (1 i) 2z+ = z1 1− i i−{ }| 2 1A x x= − ≤ ≤ { }22| log ( 2 3)B x y x x= = − − A B =[ 2,1)− ( 1,1]− [ 2, 1)− − [ 1,1)−1sin3θ = ( , )2πθ π∈ tanθ =2 2− 2− 24− 28−m n 0⋅m n m n,x y1 02 2 02 2 0x yx yx y+ − ≥ − + ≥ − − ≤3 2z x y= −2− 23 4n1 23 4DCBAP7.函数 的图像可以由函数 的图像经过A.向右平移 个单位长度得到 B.向右平移 个单位长度得到 C.向左平移 个单位长度得到 D.向左平移 个单位长度得到8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为A. B. C. D. 9.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”,为庆祝兄弟相聚甲发了一个 9 元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元,且每人至少抢到 2 元,则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是A. B. C. D. 10.如图,四棱锥 中, 与 是正三角形,平面 平面 , ,则下列结论不一定成立的是A. B. 平面 C. D.平面 平面11.已知 是圆 上的动点,且 ,若点 的坐标是 ,则的最大值为A. B. C. D. 12.已知函数 是定义在 上的偶函数,设函数 的导函数为 ,若对任意 都有 成立,则A. B. C. D.二.填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.13.高三(2)班现有 64名学生,随机编号为 0,1,2, ,63,依编号顺序平均分成 8组,组号依次为 1,2,3, ,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本,若在第一组中随机抽取的号码为 5,则在第 6组中抽取的号码为 .14.已知函数 的最小值为 6,则正数 的值为 . sin(2 )6y xπ= + cos 2y x=6π3π6π3π4323834133102534P ABCD− PAB∆ PBC∆PAB ⊥ PBC AC BD⊥PB AC⊥ PD ⊥ ABCDAC PD⊥ PBD ⊥ ABCD, ,A B C 2 2: 1O x y+ = AC BC⊥ M (1,1) | |MA MB MC+ +  3 4 3 2 1− 3 2 1+( )f x R ( )f x ( )f x′ 0x 2 ( ) ( ) 0f x xf x′+ 4 ( 2) 9 (3)f f− 4 ( 2) 9 (3)f f− 2 (3) 3 ( 2)f f − 3 ( 3) 2 ( 2)f f− −( 2)2my x xx= + −m15. 已知 的面积为 ,角 所对的边长分别为 , ,则 的最小值为 .16.已知双曲线 的右焦点为 ,过点 作圆 的切线,若该切线恰好与 的一条渐近线垂直,则双曲线 的离心率为 .三.解答题:共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答;第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60分.17.(12 分) 已知数列 的前 项和 ,数列 满足 .(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和 .18.(12 分) 微信已成为人们常用的社交软件,“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了 40 人(男、女各 20 人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表: 步数性别0 2000 2001 5000 5001 8000 8001 10000 >10000男 1 2 4 7 6女 0 3 9 6 2若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定为“积极型”,否则被系统评定为“懈怠型”.(1)利用样本估计总体的思想,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过 10000 步的概率;(2)根据题意完成下面的 列联表,并据此判断能否有 90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?积极型 懈怠型 总计男女总计附:0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828( )( )( )( )( )22 n ad bcKa b c d a c b d−=+ + + +kABC∆ 2 3 , ,A B C , ,a b c3Aπ= a2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = F F22 2( )16cx a y− + =C C:{ }na n12 2nnS+= − { }nb ( *)n nb S n N= ∈{ }na{ }nb n nTPK: : : :2 2×2( )P K k≥NPMDCBA19.(12 分) 如图,在四棱锥 中, , , 平面, .设 分别为 的中点.(1)求证:平面 ∥平面 ;(2)求三棱锥 的体积. 20.(12 分) 已知椭圆 的离心率为 ,短轴长为 2.(1)求椭圆 的标准方程;(2)设直线 与椭圆 交于 两点, 为坐标原点,若 ,求证:点 在定圆上.21.(12 分)设函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 有极值时,若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的方程为,以 为极点,以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 和直线 的极坐标方程;(2)若直线 与曲线 交于 两点,求 的值.xOy 1C α 2CO x1C 2C2C 1CP ABCD− 90ABC ACD∠ = ∠ = o BAC∠ 60CAD= ∠ = o PA ⊥ABCD 2, 1PA AB= = ,M N ,PD ADCMN PABP ABM−2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 32C:l y kx m= + C ,M N O 54OM ONk k⋅ =( , )m k2( ) 2 ln 1f x x mx= − +( )f x( )f x 0x 0( ) 1f x m − m3 2cos2 2sinxyαα = += +33y x=,P Q | | | |OP OQ⋅23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)设函数 .(1)求不等式 的解集;(2)若 的最小值为 ,求实数 的值.( ) | 2 3 |f x x= −( ) 5 | 2 |f x x − +( ) ( ) ( )g x f x m f x m= + + − 4 m高三上学期摸底调研考试文科数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C B C C A B C B D A二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,满分 20分.13. 14. 15. 16. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.17.【解析】(1)∵ , ∴当 时, ;当 时, ,又∵ , ∴ . ………………6分(2)由已知, ,∴ ………………12分18.【解析】(1)根据表中数据可知,40位好友中走路步数超过 10000步的有 8人,∴利用样本估计总体的思想,估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过 10000步的概率 .………………6 分(2)根据题意完成下面的 列联表如下:积极型 懈怠型 总计男 13 7 20女 8 12 20总计 21 19 40∴ ,∴没有 90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.……12 分19.【解析】(1)证明:∵ 分别为 的中点,则 ∥ . 又∵ 平面 , 平面 ,∴ ∥平面 . 在 中, ,∴ .又∵ , ∴ ∥ .∵ 平面 , 平面 ,∴ ∥平面 . 又∵ , ∴平面 ∥平面 .………………6分(2)由(1)知,平面 ∥平面 ,∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.由已知, , , ,∴ ,∴三棱锥 的体积 . ……12 分45 4 2 2 212 2nnS+= − 1n = 1 11 1 2 2 2a S+= = − =2n ≥ 11 2 2 2n n nn n na S S+−= − = − =11 2 2a = = 2nna =12 2nn nb S+= = −1 2 3n nT b b b b= + + + +2 3 4 1(2 2 2 2 ) 2n n+= + + + + −24(1 2 ) 2 2 2 4.1 2nnn n+−= − = − −−80.240P = =2 2×22 40 (13 12 7 8) 2.5 2.70620 20 21 19K× × − ×= ≈ × × ×,M N ,PD ADMN PA MN ⊄ PAB PA ⊂ PABMN PABRt ACD∆ 60 ,CAD CN AN∠ = =o 60ACN∠ = o60BAC∠ = o CN ABCN ⊄ PAB AB ⊂ PAB CN PABCN MN N=I CMN PABCMN PABM PAB C PAB1AB = 90ABC∠ = o 60BAC∠ = o 3BC =P ABM− 1 1 31 3 23 2 3M PAB C PAB P ABCV V V V− − −= = = = × × × × =NPMDCBA20.【解析】(1)设焦距为 ,由已知 , ,∴ , ,∴椭圆 的标准方程为 .………………4 分(2)设 ,联立 得 ,依题意, ,化简得 ,①………………6 分,,………………8 分若 ,则 , 即 ,∴ ,∴ ,………………9 分即 ,化简得 ,②由①②得 .∴点 在定圆 上. ………………12 分(没有求 范围不扣分)21.【解析】(1)函数 的定义域为 , ,当 时, , ∴ 在 上单调递增;当 时,解 得 ,∴ 在 上单调递增,在 上单调递减. ………………6 分(2)由(1)知,当 有极值时, ,且 在 上单调递增,在 上单调递减.∴ ,若存在 ,使得 成立,则 成立.即 成立, 令 ,∵ 在 上单调递增,且 , ∴ .∴实数 的取值范围是 .………………12 分22.【解析】(1)曲线 的普通方程为 ,即 ,则 的极坐标方程为 ,………………3 分∵直线 的方程为 ,1C1C2C2c32cea= = 2 2b = 1b = 2a =C22 14xy+ =1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 2 2 14y kx mxy= ++ =2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m∆ = − + − 2 24 1m k +21 2 1 22 28 4 4,4 1 4 1km mx x x xk k−+ = − =+ +2 21 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + +54OM ONk k⋅ = 1 21 254y yx x= 1 2 1 24 5y y x x=2 21 2 1 2 1 24 4 ( ) 4 5k x x km x x m x x+ + + =22 22 24( 1) 8(4 5) 4 ( ) 4 04 1 4 1m kmk km mk k−− ⋅ + ⋅ − + =+ +2 2 2 2 2 2(4 5)( 1) 8 (4 1) 0k m k m m k− − − + + = 2 2 54m k+ =2 26 1 50 ,5 20 4m k≤ ≤( , )m k 2 254x y+ = k( )f x (0, )+∞22 2( 1)( ) 2mxf x mxx x− −′ = − =0m ≤ ( ) 0f x′ ( )f x (0, )+∞0m ( ) 0f x′ 10 xm ( )f x (0, )mm( , )mm+∞( )f x 0m ( )f x (0, )mm( , )mm+∞max1( ) ( ) 2 ln 1 lnm mf x f m mm m m= = − ⋅ + = −0x 0( ) 1f x m − max( ) 1f x m −ln 1m m− − ( ) ln 1g x x x= + −( )g x (0, )+∞ (1) 0g = 0 1m m (0,1)2 2( 3) ( 2) 4x y− + − =2 2 2 3 4 3 0x y x y+ − − + =2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + =33y x=∴直线 的极坐标方程 .………………5 分(2)设 ,将 代入 得,, ∴ , ∴ ………………10 分23.【解析】(1)∵ 可化为 ,∴当 时,原不等式化为 ,解得 ,∴ ;当 时,原不等式化为 ,解得 ,∴ ;当 时,原不等式化为 ,解得 ,∴ .综上,不等式 的解集为 .………………5 分(2)∵ ,∴ ,∴依题设有 ,解得 .………………10 分2C ( )6Rπθ ρ= ∈1 1 2 2( , ), ( , )P Qρ θ ρ θ ( )6Rπθ ρ= ∈ 2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + =2 5 3 0ρ ρ− + = 1 2 3ρ ρ⋅ =1 2| | | | 3.OP OQ ρ ρ⋅ = =( ) 5 | 2 |f x x − + | 2 3 | | 2 | 5x x− + + 32x ≥ (2 3) ( 2) 5x x− + + 2x 2x 322x− (3 2 ) ( 2) 5x x− + + 0x 2 0x− 2x ≤ − (3 2 ) ( 2) 5x x− − + 43x − 2x ≤ −( ) 5 | 2 |f x x − + ( ,0) (2, )−∞ +∞( ) | 2 3 |f x x= − ( ) ( ) ( ) | 2 2 3 | | 2 2 3 |g x f x m f x m x m x m= + + − = + − + − −| (2 2 3) (2 2 3) | | 4 |x m x m m≥ + − − − − =4 | | 4m = 1m = ±

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