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汕头市金山中学第一学期第 1 次测试 高三理科数学 试题卷 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数 ,则 的共轭复数是( ) A.   B. C. D.2.已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 3.已知 ,则下列结论正确的是( ) A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数4.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面 平行的棱有( )A. 条 B. 条 C. 条 D. 条或 条 5.已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 8,则 的值是( )A. B. C. 6 D. 86.函数 的部分图象如图所示,则 的解析式为( )A. B.C. D. 7.设 为平面上四点, ,则( )A.点 在线段 上 B.点 在线段 上C.点 在线段 上 D. 四点共线 8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币,若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 11izi+=− 21 21iz+−12i− − 12i− + 12i− 12i+{ } { }1,0, , 0 1A a B x x= − = A B ≠ ∅ a( ,0)−∞ (1, )+∞ { }1 (0,1)( ) ( )2,12xxgxxfx=−=( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( ) ( ) ( )h x f x g x= +( ) ( ) ( )h x f x g x= ( ) ( ) ( )h x f x g x=α α0 1 2 1 211122=−−+ mymxm6± 8±),2||,0(),sin()( RxxAxf ∈+= πϕωϕω )(xf)48sin(4)(ππ −−= xxf)48sin(4)(ππ +−= xxf)48sin(4)(ππ −= xxf)48sin(4)(ππ += xxf, , ,O A B M (1 ) , (0,1)OM OA OBλ λ λ= + − ∈  M AB B AMA BM , , ,O A B M没有相邻的两个人站起来的概率为( ) A. B. C. D.9.已知函数 ,其中 是常数,若对 都有 ,则 ( ) A. B. C. D. 10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽 3 丈,长 4 丈;上棱长 2 丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知 1 丈为 10 尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈,则该楔体的体积为( )A.5000 立方尺 B.5500 立方尺 C.6000 立方尺 D.6500 立方尺11.已知函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值,满足, ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 12. 在数列 及 中, .设 ,则数列 的前 项和为( ).A. B. C. D.第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.二项式 的展开式中所有项的系数和为_____________. 14.在直角坐标系 中,抛物线 的顶点在原点,以 轴为对称轴,且经过点 .设点 在抛物线 上,直线 分别与 轴交于点 ,则直线 的斜率大小是 .15.不等式组 的解集是 .2132153211165−≤+=1,21,2)(xabxxaxxf ba, ,Rx ∈∀ )1()1( xfxf +=−=+ ba6−32− 1−310−cbxaxxxf +++= 232131)( 1x 2x)0,1(1 −∈x )1,0(2 ∈x 21++ab)21,0( )1,0(  1,31]3,1[{ }na { }nb 2 2 2 21 1 1 1, , 1, 1n n n n n n n n n na a b a b b a b a b a b+ += + + + = + − + = =1 12nnn nca b = +  { }nc n412 1 ×−++ nn 42 2 −+n 4223 −+× nn 312 1 ×−−+ nn( )931 x−xoy C x )2,1(P BA,C PBPA, y ,, NM PNPM = AB−2131log02xxx16.已知 ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有恒成立,则 的取值范围是 .三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,1)求 的值; 2)求 的值为. 18.(本小题满分 12 分)在数列 中,首项 ,前 项和为 ,且(1)求数列 的通项(2)如果 ,求数列 的前 n 项和 .19. (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 中, 是正三角形,是直角三角形, , . ⑴证明:平面 ⊥平面 ;⑵若 为棱 与 不重合的点,且 ,求 与平面 所成的角的正弦值.20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 , 函 数.(1)证明 在 上仅有一个零点;(2)若曲线 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行,(O是坐标原点),证明:21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E: 的焦点在 轴上, 是 的左顶点,斜率为的直线交 于 两点,点 在 上,(Ⅰ)当 t=4, 时,求 的面积;(Ⅱ)当 时,求 的取值范围.选做题:请在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.( ) )0(21ln 2 += axxaxf ( ) 2)(2121 −−xxxfxfaABC∆ CBA ,, cba ,,)2cos(sin BA −= π 2,3 == caACAB ⋅)23tan( BC −+π{ }na 211 =a n nS ( )∗+ ∈−= NnaS nn 12 1{ }na=nb nn an ⋅×+ 2)1(3 { }nb nTABCP − ABC∆ACP∆ CBPABP ∠=∠ BPAB =ACP ABCE PB P CEAE ⊥AE ABC1a( ) aexxf x −+= )1( 2( )xf ( )+∞∞− ,( )xfy = P x ),( nmM OP123 −−≤eam2 213x yt+ = x A E )0( kkE MA, N E .NAMA ⊥AM AN= AMN∆2 AM AN= k22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中 ,曲线 的参数方程是 ( 为参数).直线 交曲线 于两点 .以坐标原点为极点 , 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 的极坐标方程是,点 在曲线 上.1)求曲线 的普通方程及点 的直角坐标;2)若直线 的倾斜角为 且经过点 ,求 的值.23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲若 ,且 .(I) 求 的最小值;(Ⅱ)是否存在 ,使得 ?并说明理由.汕头市金山中学 2017-2018 学年度第一学期第 1 次测试 高三理科数学 答案一.选择 BDAC DBAC DABB 12.二.填空 -512, , , 16.【解析】对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有 2 恒成立,则当 x0 时,f′(x)≥2 恒成立,f′(x)= +x≥2 在(0,+∞)上恒成立,则 a≥(2x-x2)max=1.三.解答题17.解:1)在 中, ,1C−=+=mmymmx11m l 1CBA, x 2C)6sin(4πθρ −= )3,(πρP 2C1C Pl32πP PB+PA0, 0a b 1 1 aba b+ =3 3a b+,a b 2 3 6a b+ =1− 191xx [ )+∞,1ABC∆ BBA sin)2cos(sin =−= π由正弦定理 ,得 --------2 分由余弦定理 = -------6 分 2)-------8 分 -------10 分 -------12 分18.解:1) -------①, ---------------2 分 当 时, ----------② ①-②等于 ( ) = -------4 分 又 ------5 分 数列 是以 , 为公比的等数列, ------7 分 2) = ------8 分 = 又 = ------9 分 = ------12 分19. (本小题满分12分)解:(1)由题设可得, ≌ ,又 是直角三角形,所以取AC的中点O,连接 ,则 ,又由于所以 为二面角 的平面角-------3 分BbAasinsin= ba = BAba ===∴ ,3ACAB ⋅ 223322cos222222=−+=−+=×× abcAbcπ=+=++ CBCBA 2CBCtan)23tan( =−+∴ π972cos222=−+=abcbaC924cos1sin 2 =−=∴ CC==∴CCCcossintan724( )∗+ ∈−= NnaS nn 12 1 211 =a4312 221 =∴−=∴ aaa2≥n 121 −=− nn aSnnn aaa 22 1 −= + 2≥nnnn aaa 10 +∴≠232312 =aa∴ { }na 211 =a 23=q12321−×=∴nna=nb nn an ⋅×+ 2)1(3 ( ) nn 31 ×+nTnn 3)1(343332 32 ×+++×+×+× nT31432 3)1(343332 +×+++×+×+× nn∴ nT2−132 3)1(33332 +×+−++++× nn n( ) 131)13(233 +×+−−×+= nn n1341243 +×++−=∴ nnnTABP∆ CBP∆ CPAP =∴ CEAE =ACP∆ °=∠ 90APCBOPO, ACPO ⊥ AOPO =ABC BO AC∆ ⊥是正三角形,故POB∠ BACP −−在 中,又 平面 ⊥平面 ; -------5 分 (2)由题设及(1)知, 两两垂直,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则,连接 , ----------------------7分 是等腰直角三形,在直角三角形 中,点 是 ,得 . ------------------9分 --------------10分平面 的一个法向量是 .设 与平面 所成的角为 .则 为锐角, . -------------12分20.解:(1)f'(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2 ∴f′(x)≥0,-------2 分∴f(x)=(1+x2)ex﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.----------------3 分∵a>1.∴1﹣a<0 又 f(0)=1﹣a,∴f(0)<0.,使得∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点 ---------------------5 分(2)证明:f'(x)=ex(x+1)2,设点 P(x0,y0)则)f'(x)=ex0(x0+1)2,∵y=f(x)在点 P处的切线与 x轴平行,∴f'(x0)=0,即:ex0(x0+1)2=0,∴x0=﹣1 ---------------6 分将 x0=﹣1 代入 y=f(x)得 y0= .∴ ,∴ -------8 分令;g(m)=em﹣(m+1)g(m)=em﹣(m+1),则 g'(m)=em﹣1,由 g'(m)=0得 m=0.AOBRt∆ 222 ABAOBO =+ BPAB = ∴ 22222 ABAOBOPOBO =+=+ 2BP=°=∠∴ 90POB ACP ABCOPOBOA ,, o OA xOAxyzO −)1,0,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1( PCBA − OECEAE ⊥ ∴ AEC∆ PBACOE2121 ==∴∴ POB E PB )21,23,0(E∴ =AE −21,23,1ABC )1,0,0(=OP AE ABC θθ cossin =θ = OPAE,422121=×( ) )1(1 11 −=−=− −− aa eaaaeaf101 1 ∴− −aea ( ) 01 −∴ af ( ) ( ) 010 −⋅ aff( )1,00 −∈∃∴ ax ( ) 00 =xf当 m∈(0,+∞)时,g'(m)>0 当 m∈(﹣∞,0)时,g'(m)<0∴g(m)的最小值为 g(0)=0 ------------10分∴g(m)=em﹣(m+1)≥0∴em≥m+1 ∴em(m+1)2≥(m+1)3即: -------------------------------11 分∴m≤ --------------------------------12 分 21.解:1)设 ,则由题意知 当 时, 的方程为 , .---------1 分由已知及椭圆的对称性知,直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . ------------------3 分将 代入 得 .解得 或 ,所以 .因此 的面积 . --------------------5 分(Ⅱ)由题意 , , .将 直 线 的 方 程 代 入 得 . -------6 分由 得 ,故 .由题设,直线 的方程为 ,故同理可得 ,-------8 分由 得 ,即 .当 时上式不成立,因此 . 等价于 ,-------10 分即 .由此得 ,或 ,解得 . -------12 分因此 的取值范围是 .22.解:1) -----------2 分 ∵点 在曲线 : 上,( )1 1,M x y 1 0y 4t = E2 214 3x y+ = ( )2,0A −AM4πAM 2y x= +2x y= −2 214 3x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 127y = 1127y =AMN△ AMNS△1 12 12 14422 7 7 49= × × × =3t 0k ( ),0A t−AM ( )y k x t= +2 213x yt+ = ( )2 2 2 2 23 2 3 0tk x ttk x t k t+ + + − =( )2 21 233t k tx ttk−⋅ − =+( )21 233t tkxtk−=+( )221 26 113t kAM x t ktk+= + + =+AN ( )1y x tk= − +( )226 13k t kANk t+==+2 AM AN=2 223 3ktk k t=+ +( ) ( )3 2 3 2 1k t k k− = −3 2k =( )33 2 12k ktk−=−3t ( )( )23 23 32 12 202 2k kk k kk k− +− + − = − −3202kk− − 32 02 0kk− − 32 02 0kk− − 3 2 2k k ( )3 2,2( )24: 221 ≥=− xyxC)3,(πρP 2C )6sin(4πθρ −= 2=∴ ρ 设 的直角坐标是 , ------------5 分 2)直线 的参数方程是 -----6 分 设有向线段 对应的参数分别为 -----7 分 依题意 -----8 分 . -----10 分23.【解析】(Ⅰ) 由 ,得 ,且当 时等号成立,故 ,且当 时等号成立,∴ 的最小值为 .…5 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,由于 >6,从而不存在 ,使得 . ……………10 分欢迎访问“P ),( yxP 33sin,13cos ==== πρπρ yx)3,1(P∴l 为参数)ttytx(233211+=−=PBPA, 21,tt2121PA ttttPB +=+=+01282 =++ tt 821 −=+ tt 8PA 21 =+=+∴ ttPB1 1 2aba b ab= + ≥ 2ab ≥ 2a b= =3 3 3 33 4 2a b a b+ ≥ =g 2a b= = 3 3a b+ 4 22 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥4 3 ,a b 2 3 6a b+ =

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