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广东省2021届高三数学12月阶段性质量检测试题(Word版附答案)

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广东省 2021 届高三 12 月阶段性质量检测数学试卷满分:150 分 考试时长:120 分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 ,则 ( )A.3 B. C.2 D.13.《九章算术》是我国古代最著名的数学著作,成书于公元一世纪,分为方田、粟米、方程勾股等九章.卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法:如圆的面积计算“径自相乘,三之,四而”.意思是圆的面积为“直径平方,乘以三,再取四分之一”,则这里的圆周率为( )A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.14164.实数 x,y 满足 , ,则下列不等式成立的是( )A. B.C. D.5.数学与文化有许多奇妙的联系,如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”,既可以顺读又可以逆读数学中有回文数,如“343,12521”,两位数的回文数 11,22,33 等,则三位数的偶数回文数的个数为( ){ 2 2}A x x= − ≤ ≤∣ { }2 3 0B x x x= − ∣ A B =(0, 2] [ 2,0)− [ 2,3)− ( 2,3)−521iz ii= ++| |z =50x 0y 2x y xy+ 21 1xyx y≥+1 1 4x y x y+ ≤+| |x y x y− ≥ −A.40 B.45 C.50 D.546.已知点 F 为抛物线 的焦点,过点 的直线与抛物线交于 A,B 两点,则 的取值范围为( )A. B. C. D.7.在 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 , ,则( )A. B.4 C. D.8.若函数 的图象关于直线 对称, 对任意的实数 x 都有 ,且 ,则 ( )A.0 B.1 C.2 D.3二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分部分选对的得 3 分.9.方程“ ”表示焦点在 y 轴上的椭圆的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.10.如图,在三棱锥 A-BCD 中, , ,平面 平面 BCD,则下列判断中正确的有( )A. B. 平面 BCDC. D.图中恰有三对平面互相垂直11.函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象,若 为奇函数,则关于函数 ,下列结论正确的是( )A. 的最大值为 2a B. 的图象的一条对称轴为2 4y x= (2,0) FA FB⋅ ( , 7]−∞ − ( , 8]−∞ − ( 10, 7]− − ( 8, 7]− −ABCV 2a b= 3sin 2sinB C=sin 2sinsin 2B CA+ =16− 513− 4−( 2)y f x= − 2x = ( )f x ( 4) ( ) 2 (2)f x f x f+ − =(1) 1f = (2022) (2021)f f+ =( ) ( )2 2log 3 log 3 1m nx y+ =1 n m 1 m n 1 3m n 3 m n CD BC⊥ AB BD⊥ ABC ⊥CD AC⊥ AB ⊥AD BC⊥( ) sin 2 cos 2 ( 0)f x a x b x a= + 6π( )g x ( )g x( )f x( )f x ( )f x6xπ=C. 的图象的一个对称中心为 D. 的一个递增区间为12.在平面四边形 ABCD 中, 的面积是 的面积的 3 倍,又数列 满足 ,当 时恒有 ,设数列 的前 n 项和为 .则下列判断正确的是( )A.数列 为等比数列 B.数列 为递增数列C.数列 为等比数列 D.三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知函数 的图象在点 的切线与直线 垂直,则________.14.冬天是鼻炎和感冒的高发期,某人在冬季里鼻炎发作的概率为 0.96,鼻炎发作且感冒的概率为 0.84,则此人在鼻炎发作的情况下,感冒的概率为________.15.已知 A,B,C 是球 O 球面上的三点, , ,且四面体 OABC 的体积为 ,则球 O 的表面积为________.16.已知双曲线 ( , )的左,右焦点分别为 、 ,点 P 是双曲线 T 右支上一点 的角平分线交 x 轴于点 M, (c 为半焦距),且 (点 O 为坐标原点),则双曲线 T 的离心率为________.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知数列 的前 n 项和 ,且 , , 成等比数列.(1)求数列 的通项公式;(2)若 求数列 的前 n 项和 .18.(12 分)在 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 .(1)求角 B 的大小;(2)现给出三个条件 ;②AC 边上的中线 BD 长为 ;③角 B 的平分线交边 AC 于 M,且.从中选出两个可以确定 的条件,写出您的选择,并以此为依据求出 的面积.( )f x ,03π   ( )f x5,12 12π π −  ABCV ADCV { }na 1 6a = 2n ≥( ) ( )11 3 3n nn nAC a AB a AD−−= + + −  { }na nS{ }na { }na3nna   11 332 2nnS n+ = − +  2( ) ln( 2) 2f x a x x= + − ( 1, ( 1))f− − 3 1 0x y+ + =6AC BC= = 6 3AB = 24 32 22 2: 1x yTa b− = 0a 0b 1F 2F1 2F PF∠ | |PM c= 22OM MF= { }na 2nS n tn= + 2a 4a 8a{ }na21nn nba a += { }nb nTABCV (2 )cos cosa c B b C− =2a c=721BM = ABCV ABCV注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12 分)随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯,由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做 5 种价格订制套餐外卖,套餐最低 20 元,最高 80 元.现从该平台随机抽取一天中 100 份点餐进行统计按点餐价格统计结果如下:点餐价格(单位:元) 20 30 40 60 80点餐份数 15 30 30 20 5如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率.(1)若此外卖平台一天的点餐总收入为 40000 元,试估计该平台一天用户的点餐份数;(2)该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动.规则为:每点一份套餐付款后即返还一个现金红包,红包有三种:5 元红包获奖率为 80%,30 元红包获奖率为 15%,60 元红包获奖率为 5%.(i)假设返还的红包金额大于等于付款金额,即为客户吃免费套餐.求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率.(ii)若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为 50%,设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为 X,求 X 的期望.20.(12 分)如图,在三棱柱 中, , , ,平面平面 ABC,E,F 分别为 AB, 的中点.(1)求证: 平面 ;(2)若二面角 的正切值为 2,求锐二面角 C-EF-B 的余弦值.21.(12 分)如图所示,已知 A,B,C 是焦距为 4 的椭圆 上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆的中心且 , .1 1 1ABC A B C− 1 4AB AA= = 1 3A ABπ∠ = BC AC⊥1 1AA B B ⊥ 1 1B C//EF 1 1A ACC1A AC B− −2 22 2: 1( 0)x yG a ba b+ = 0BC BA⋅ = | | 2 | |BC BA= (1)求椭圆 G 的方程;(2)过椭圆 G 上异于顶点的任意一点 P 作圆 的两条切线,切点分别为 M,N,若直线 MN与 x 轴,y 轴分别交于点 E,F,当 的面积最小时求 与 的面积之比.22.(12 分)已知函数 , .(1)讨论函数 的单调区间;(2)若 对 恒成立,求 a 的取值范围.广东省 2021 届高三 12 月阶段性质量检测数学参考答案一、选择题:本题共 8 小题每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B二、选择题:本题共 4 小题每小题 s 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9.CD 10.ABD 11.AC 12.BD三、填空题:本题共 4 小题每小题 5 分,共 20 分.13. 14. 15. 16.四,解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1)当 时, ,, , 成等比数列,则 .解得 ,所以 ,2 2: 2O x y+ =EOFV PMNV EOFV3( ) e 2( 1)2xf x a x= − + + a ∈ R( )f x2 21( ) 2( 1)2f x x a≥ + + [0, )x ∈ +∞1− 78400π 6 34172n ≥ 2 21 ( 1) ( 1) 2 1n n na S S n tn n t n n t−= − = + − − − − = − +2a 4a 8a2(7 ) (3 )(15 )t t t+ = + +1t = 2na n=满足等式, .(2),注: 结果化简为 ,算出正确表达式即可满分.18.解:(1)由正弦定理得 ,即 , ,由于 ,故 .(2)若选①②,依题意有 , ,则可求得 , ,, ,,即 ,, .若选①③,依题意有 , ,则 , , ,, , ,.1 2a = 2na n∴ =21 1 1 1 12 2( 2) 8 2n n nba a n n n n+ = = = − ⋅ + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 38 1 3 2 4 3 5 2 8 2 ( 1)( 2)nnTn n n n + ∴ = − + − + − +…+ − = −   + + +   nT ( )223 516 3 2n nn n++ +2sin cos sin(cos sin cosA B B B C− =2sin cos sin( )A B B C= + 1cos2B∴ =(0, )B π∈3Bπ=2a c=3Bπ=3b c=2Aπ=232ABCS c=V1( )2BD BA BC= + ( )22 21| | 2 | |4BD BA BA BC BC∴ = ⋅ +   27 74 4c=2 1c∴ = 23 32 2ABCS c= =V2a c=3Bπ=3b c=2Aπ= 232ABCS c=V6ABMπ∠ = 1BM = 32AB =23 3 32 8ABCS c∴ = =V若选②③, ,,,又 BM 为角平分线,.,平方得 ,解得 ..19.解:(1)设卖出一份套餐所得收入为 W 元,则 .总收入为 4000 元,平台一天用户的点餐份数为 份.(2)(i)吃免费套餐的时间为 A,情形有两类:红包为 30 元且点餐为 30 元以内;红包为 60 元且点餐为 60 元以内,故 .(ii)每订一份套餐所得红包期望为 ,由(1)知该平台平时卖出一份套餐收入期望为 40 元,元.20.解:(1)取 BC 中点 D,连 DE,则 , 平面 , 平面 ,平面 ,又 , 平面 , 平面 ,1( )2BD BA BC= +( )2 2 21| | | | 2 | |4BD BC BA BC BC∴ = + ⋅ +   2 2 2 27 1 2 cos 74 4 3a a c a ac cπ = − + ⋅ + + =  1sin2ABC ABM BCMS ac B S S= +=V V V1 11 sin 1 sin2 6 2 6c aπ π= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅3ac a c= + 2 23 7a c ac= + 1 856ac+=1 3 255sin2 3 24ABCS acπ +∴ = =V20 0.15 30 0.3 40 0.3 60 0.2 80 0.05 40EW = × + × + × + × + × =10000100040=( ) 0.45 0.15 0.95 0.05 0.115P A = × + × =0.8 5 0.15 30 0.05 60 11.5EH = × + × + × =120 11.5 8.52EX EW EH∴ = − = − =//DE AC DE ⊄ 1 1AAC C AC ⊂ 1 1AAC C//DE∴ 1 1AAC C1//DF CC DF ⊄ 1 1AAC C 1CC ⊂ 1 1AAC C平面 C, ,平面 平面 , 平面 DEF,平面 .(2)取 AC 中点 G,连 GE,则 .在菱形 中, , ,平面 平面 ABC,平面 ABC, 平面 ABC, ,又 , 平面 , ,为二面角的 平面角,, , ,, , , ,以 C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , , , ,, ,, , , .设平面 CEF 的法向量为 ,由 得 ,可取 .//DF 1 1AAC C DE DF D=∴ //DEF 1 1AAC C EF ⊂//EF∴ 1 1A ACCGE AC⊥1 1ABB A 1 3A ABπ∠ = 1A E AB⊥ 1 ,AA B B ⊥,A E∴ ⊥ AC ⊂ 1A E AC∴ ⊥1A E GE E= AC∴ ⊥ 1A EG 1AC AG∴ ⊥1AGE∴∠ 1A AC B− −1tan 2AGE∠ = 1 4AA = 1 2 3A E =3EG∴ = 2 3BC = 4AB = 2AC =(0,0,0)C (0, 2,0)A (2 3,0,0)B ( 3,1,0)E 1, ( 3,1, 2 3)A ( 3,0,0)D( 3, 1, 2 3)DF AA= = − (2 3, 1,2 3)F∴ −(2 3, 1,2 3)CF∴ −( 3,1,0)CE =( 3, 2, 2 3)EF = − ( )3, 1,0EB = −( )1 1 1 1, ,n x y z=1100n CEn EF ⋅ =⋅ =1 11 1 13 03 2 2 3 0x yx y z + =− + =131, 3,2n = − −  设平面 HEF 的法向量为 ,由 得 ,可取 ,.故所求锐二面角 的余弦值为 .21.解(1)因为 , ,, 为等腰直角三角形, ,代入椭圆方程得 ,又 ,, ,椭圆方程为 .(2)设 , , ,PM 方程为 ,PN 方程为 ,又 PM 与 PN 交于点 ,( )2 2 2 2, ,n x y z=2200n EBn EF ⋅ =⋅ =2 22 2 23 03 2 2 3 0x yx y z − =− + =211, 3,2n =   1 21 21 231 3 11 174cos ,855 172 2n nn nn n− −⋅= = = −×   C EF B− −11 17850BC BA⋅ = BC BA∴ ⊥| | 2 | |BC BA= AOBV ,2 2a aB   2 23a b= 2c =2 6a∴ = 2 2b =2 216 2x y+ =( )0 0,P x y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y1 1 2x x y y+ = 2 2 2x x y y+ =( )0 0,P x y, ,则 MN 方程为 ,, , ,又 ,, 的最小值为 ,此时 , 的面积最小,不妨令 , ,此时 ,则 MN 方程为 ,原点 O 到 MN 距离为 ,P 到 MN 距离为 ,, , ,22.解:(1) ,当 时, , 在 R 上单调通增,当 时,令 ,得 ,当 时, , 在 上单调递减,当 时, , 在 上单调递增,(2)设,即 对 恒成立,1 0 1 0 2x x y y∴ + = 2 0 2 0 2x x y y+ =0 0 2x x y y+ =02,0Ex ∴    020,Fy    0 02EDFS x y=V2 20 0 0 0216 2 12x y x y+ = ≥0 0 3x y∴ ≤ EDFSV2 332 20 0 16 2 2x y= = EOFV0 3x = 0 1y = −( 3, 1)P − 3 2x y− =1 1d = 2 1d =| | 2 2 1 2MN = − = 1PMNS∴ =V32PMNOEFSS∴ −VV( ) e 2( 1)xf x a−′ = +1a ≤ − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x1a − ( ) 0f x′ = ln 2( 1)x a= +ln 2( 1)x a + ( ) 0f x ( )f x ( , ln 2( 1))a−∞ +ln 2( 1)x a + ( ) 0f x′ ( )f x (ln 2( 1), )a + +∞2 21( ) ( ) 2( 1)2g x f x x a= − − +2 21 3e 2( 1) 2( 1)2 2x x a x a= − − + − + +21 3e [ 2( 1)]2 2x x a= − + + +( ) 0g x ≥ [0, )x ∈ +∞,令 , 对 恒成立,,①当 ,即 时,, 在 上单调递增,,,又 , ,②当 ,即 时,则存在唯一的 使 , ,当 时, ,当 时, ,即 时, 单调递减, 时, 单调递增,故 ,解得 , ,又 而 在 上单调递增,,解得 ,综上,实数 a 的取值范围为 .( ) e ( 2 2)xg x x a= − + +′( ) ( )h x g x′= ( ) e 1 0xh x′ = − ≥ [0, )x ∈ +∞( ) (0) 2 1h x h a∴ ≥ = − −2 1 0a− − ≥12a ≤ −( ) ( ) 0h x g x′= ≥ ( )g x [0, )+∞2min5( ) (0) 2( 1) 02g x g a∴ = = − + ≥5 51 12 2a∴− − ≤ ≤ − +12a ≤ − 5 112 2a− − ≤ ≤ −∴2 1 0a− − 12a −0 [0, )x ∈ +∞ ( )0 0h x = 0 0e 2( 1) 0x x a− − + =( )00,x x∈ ( ) ( ) 0h x g x′= ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) ( ) 0h x g x′= ( )00,x x∈ ( )g x ( )0 ,x x∈ +∞ ( )g x( ) 0 02min 01 3( ) e e 02 2x xg x g x= = − + ≥00 3xe ≤ 00 ln 3x ≤002( 1) exa x+ = − ex x− [0, )+∞1 2( 1) 3 ln 3a∴ + ≤ − 1 1 ln 32 2a−− ≤5 1 ln 31 ,2 2 −− −  

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