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贵阳市五校 2021 届高三年级第四次联合考试理科数学 贵阳民中 贵阳二中 贵阳八中 贵阳九中 贵州省实验中学注意事项:1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分,考试时间 120 分钟.一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集 , ,1,2,3, ,集合 ,1,2, ,集合 , ,2, ,则A. , ,2, B. , C. , D. ,2.若复数 满足 其中 为虚数单位 ,则A. B. C. D.3.已知 ,则A. B. C. D.4. 的展开式中含 的项的系数为A. B. C. D.{ 2U = − 1− 4} { 2A = − 3} { 1B = − 2−4} ( ) ( )UC A B ={ 1− 2− 4} {1 3} { 2− 2} { 1− 4}z (1 ) 3 (i z i− = − i ) | | ( )z =5 2 2 13 1sin( )2 3α π+ = cos 2α =19− 7979− 1961(2 )xx− 3x ( )240− 240 60 60−5.我国古代数学名著《九章算术》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九尺,则该处的平底降水量(盆中积水体积与盆口面积之比)为 台体体积公式:分别为上下底面面积, 为台体的高,一尺等于 10 寸A. B. C. D.6.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,且 , ,则“ 与 为异面直线”是“ ”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数 ,则下列说法错误的是   A.函数 的最小正周期为B.函数 的值域为C.点 , 是函数 的图像的一个对称中心D.8.函数 的图像大致是A. B.( ) (1 1 2 2 1 21( )3V S S S S h S S= + +台体 , , h )3 42374947449a b, α β, a bα β⊂ ⊂, / /b αa b / /α β ( )( ) tan(3 )3f x xπ= − ( )( )f x3π( )f x R2(9π− 0) ( )f x4 2( ) ( )15 5f fπ π2 ln | || |x xyx= ( )C. D.9.已知点 , , , ,点 是圆 : 上任意一点,则 面积的最小值是A. B. C. D.10.在 中,角 的对边分别为 ,面积为 ,若 ,且 ,则   A. B. C. D.11.已知双曲线 , 分别为其左、右焦点,过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点,若 ,则双曲线 的离心率为   A. B. C. D.12.已知正四棱锥 内接于一个半径为 2 的球,则正四棱锥 体积的最大值是   A. B. C. D.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知向量 , , , ,且 ,则 .14.计算 .15.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则( 5A − 0) ( 1B − 3)− P C 2 2( 1) 1x y− + = PAB∆( )11 13132232ABC∆ A B C, , a b c, , S cos cos 2a B b A bc+ =3cos4S c A= A = ( )6π4π3π 23π2 22 2: 1( 0 0)x yC a ba b− = , 1 2F F, 1F lC A B, 2 2| |:| |:| | 3 : 4 : 5AB BF AF = C( )2 4 15 13P ABCD− P ABCD−( )1288151281256818(1a =2) ( 2b = −)t / /a b | |a b− = 2 20( 4 2 )x x dx− − =∫给多面体的表面积为 .16.已知函数 ,若函数 只有一个零点,则函数 的最小值是 .三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 12 分)已知 是等差数列,其前 项和为 ,已知 , .(Ⅰ)求数列 的通项公式;(Ⅱ)数列 满足 ,且数列 满足 ,求数列 的前 项和.18. (本小题满分 12 分)某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的理科考生中随机抽取了 100 名考生的数学成绩(满分150分),将数据分成9组: , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,并整理得到如图所示31( ) 2 ( )3f x x x x R= + ∈ 2( 2) ( 2 )y f x f x m= + + − −8( ) 2 ( 2)2g x mx xx= + −{ }na n nS 5 5a = 5 15S ={ }na{ }nb 2logn na b= { }nc n n nc a b= + { }nc nnT[60 70) [70 80) [80 90) [90 100)[100 110) [110 120) [120 130) [130 140) [140 150]的频率分布直方图.用统计的方法得到样本标准差 ,以频率值作为概率估计值.(Ⅰ)根据频率分布直方图,求抽取的 100 名理科考生数学成绩的平均分 及众数 ;(Ⅱ)用频率估计概率,从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取 3 个,记理科数学成绩位于区间 , 内的个数为 ,求 的分布列及数学期望 ;(Ⅲ)从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份,记其成绩为 ,依据以下不等式评判 表示对应事件的概率)标准 1: ,标准 2: ,其中 .评判规则:若至少有一个评判标准满足要求,则给予这套试卷好评,否则差评.试问:这套试卷得到好评还是差评?19. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 中, ,底面 为菱形, ,点为 的中点.(Ⅰ)证明:平面 平面 ;20σ =x y[100 120) Y Y ( )E YX(P :( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− + …( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− + …xµ =P ABCD− PA PD= ABCD 120ABC∠ =  EADPBC ⊥ PBE(Ⅱ)若 ,二面角 的余弦值为 ,且 ,求直线 与平面的夹角.20. (本小题满分 12 分)已知点 为曲线 的焦点,点 在曲线 上运动,当点 运动到 轴上方且满足 轴时,点 到直线 的距离为 .(Ⅰ)求曲线 的方程;(Ⅱ)设过点 的直线与曲线 交于 两点,则在 轴上是否存在一点 ,使得直线 与直线 关于 轴对称?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分 12 分)设函数 .(Ⅰ)当 时,讨论函数 的单调性;( Ⅱ ) 设 是 函 数 的 两 个 极 值 点 , 证 明 :恒成立.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置大PE AB⊥ D PA B− − 554BC = PBPADF :C 2 2 ( 0)y px p= M C M xMF x⊥ M : 2l y x p= + 3 2CF C A B, x PPA PB x P21( ) ln ( 1)2f x x a x ax= − + +0a ( )f x1 2x x, 1 2(0 )x x ( ) ( )g x f x x= +1 2( ) g( ) ln2ag x x a− −题.如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分 10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 中,曲线 的方程为 ,以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .(Ⅰ)求曲线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点 在 上,点 在 上,求 的最小值及此时点 的直角坐标.23. (本小题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 , .(Ⅰ)求不等式 的解集;(Ⅱ)若存在 ,使得 ,求 的取值范围.xOy 1C2 216 2x y+ = O x2C cos( ) 34πρ θ + =1C 2CM 1C N 2C | |MN M( ) | 1| | 2 |f x x x= − + + ( ) 2 | | | 2 1|g x x m x= − + +( ) 5f x ≤1 2x x R∈, 1 2( ) g( ) 5f x x+ = m

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