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河北省2021届高三数学12月月考试题(Word版附答案)

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时间:2021-01-16

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2020~2021 学年河北省高三上学期 12 月份考试数学考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 ,则 z 在复平面内对应的点所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递减的是( )A. B. C. D.4.双曲线 的渐近线方程是( )A. B. C. D.5.已知向量 ,若 ,则 ( )A.8 B.12 C. D.6.明朝早期,郑和七下西洋过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海,形成了一套先进航海技术—“过洋牵星术”,简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板,由 12 块正方形木板组成,最小的一块边长约 2 厘米(称一指),木板的长度从小到大依次成等差数列,最大的长约 24 厘米(称十二指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂伸直,眼睛到木板的距离大约为 72 厘米,使牵星板与海平面垂直,{ ( 3)( 8) 0}A x x x= + + ∣ A Z∩ ={ 8 3}x x− −∣ {4,5,6,7} { 3 8}x x ∣ { 7, 6, 5, 4}− − − −( )32z i i= + ⋅( ) sinf x x x= − ( ) 3 1xf x −= − 1( )f xx= 3( ) log | |f x x=2 212 4x y− =2y x= ± 22y x= ± 2y x= ± 12y x= ±(2, 4), (1, )a b n= =/ /a b| 3 |a nb− =4 5 5让板的下缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,依高低不同替换、调整木板,当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为六指板,则 ( )A. B. C. D.7.已知抛物线 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 的直线 与抛物线 M 交于 A(点 A 在第二象限),B 两点,则 ( )A. B. C.4 D.58.已知函数 是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 且对任意实数 x 都有 ,则不等式 的解集为( )A. B. C. D.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.9.已知 ,则 的值可以为( )A.9 B.10 C.11 D.1210.在新冠疫情的持续影响下,全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年,电影行业面临巨大损失.2011~2020 年上半年的票房走势如下图所示,则下列说法不正确的是( )tan 2α =1235161237132: 2 ( 0)M y px p= 34l| || |AFAB=1514( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 1f x f x′+ ( ) 1x xe f x e −( ,0)−∞ (0, )+∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞1x 251xx+−A.自 2011 年以来,每年上半年的票房收入逐年增加B.自 2011 年以来,每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年C.2018 年上半年的票房收入增速最大D.2020 年上半年的票房收入增速最小11.已知函数 ,若 的最小正周期为 ,则下列说法正确的有( )A. 图象的对称中心为B.函数 在 上有且只有两个零点C. 的单调递增区间为D.将函数 的图象向左平移 个单位长度,可得到 的图象12.如图,在正方体 中,点 E 在棱 上,且 是线段 上一动点,则下列结论正确的有( )A. B.存在一点 F 使得2( ) 2cos 3 sin 2 ( 0)f x x xω ω ω= + ( )f x π( )f x ,0 ( )12 2kk Zπ π − + ∈  ( ) 2y f x= − [0, ]π( )f x , ( )3 6k k k Zπ ππ π − + + ∈  2sin 2 1y x= +12π( )f x1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD 12 ,DE ED F= 1BBEF AC⊥ 1/ /AE C FC.三棱锥 的体积与点 F 的位置无关D.直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为第Ⅱ卷三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数 则 _________.14. 的展开式中 项的系数是_________.15.已知正三棱柱 的侧面积为 ,则该正三棱柱外接球的体积的最小值为________.16.已知函数 ,若函数 有 4 个零点,则 m 的取值范围是_________.四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)在递增的等比数列 中, .(1)求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 n 项和 .18.(12 分)在① 且 ,② ,③ 的面积这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并作答.问题:在 中,内角 所对的边分别为 ,且_________.(1)求 ;(2)若 ,且 的面积为 ,求 的周长.注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.19.(12 分)1D AEF−1AA AEF3 10102 0,( )( 3), 0,x xf xf x x ⋅= − „(6)f =6126x y + −  3xy1 1,ABC A B C− 6 3( ) 4 3 2xf x = − + 2 2( ) [ ( )] 2 ( ) 1g x f x mf x m= − + −{ }na 3 2 49, 30a a a= + ={ }na3 2logn nb a= { }nb nS3a c b+ = 22sin 3sin sinB A C= 2 2(sin sin ) sin sin sinA C B A C− = − ABCV( )2 2 234a c bS+ −=ABCV , ,A B C , ,a b csin B2a c= ABCV 2 3 ABCV为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系,农业农村部随机对 160 个城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了调研,得到如下表格: 猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)6 15 02 27 59 45 160 16 19(1)估计全国各地猪肉价格在 (元/千克)内的概率;(2)估计这 160 个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数);(3)根据所给数据,完成下面的列联表,并根据列联表,判断是否有 的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关. 猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)合计合计附: ,其中 .0.05 0.010 0.0053.841 6.635 7.87920.(12 分)菱形 的对角线 与 交于点 ,将 沿 折到 的位置,使得,如图所示.(1)证明: .(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.(0, 40] (40,50] (50,60](0,3000](3000,4000](4000,5000](5000,6000](50,60]99.5%(0,50] (50,60](0, 4000](4000,6000]22 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d−=+ + + +n a b c d= + + +( )2P K k…kABCD AC BD , 8, 6E BD AC= = ACDV AC PACV4PD =PB AC⊥PAB PCD21.(12 分)已知椭圆 的离心率为 ,且经过点 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)已知 ,经过点 M 的直线 与椭圆 C 交于 两点,若原点到直线 的距离为 1,且,求直线 的方程.22.(12 分)已知函数 .(1)若曲线 存在一条切线与直线 垂直,求 的取值范围;(2)证明: .2020~2021 学年河北省高三上学期 12 月份考试数学参考答案1.D 因为 ,所以 .2.A 复数 在复平面内对应的点为 ,在第一象限.3.A D 中函数非奇非偶,D 中函数是偶函数,C 中函数是奇函数,但不在定义域内单调递减,只有 A 中函数符合题意. ,故该函数为奇函数.又 恒成立,故该函数在定义域内单调递减.2 22 2: 1( 0)x yC a ba b+ = 2221,2    (0, )( 1)M m m l ,A B lMA AB= l( ) lnxf x xe= −( )y f x= y ax= a2 3( ) ln sin4f x x x x − −{ 8 3}A x x= − −∣ { 7, 6, 5, 4}A Z∩ = − − − −( )32 1 2z i i i= + ⋅ = + (1, 2)( ) sin , ( ) ( )f x x x f x f x= − − = − ( ) cos 1 0f x x′ = − „4.A 由题意可得 ,则该双曲线的渐近线方程是 .5.C 因为 ,所以 ,所以 ,故 .6.A 由题知六指为 12 厘米,则 ,则 .7.A 如图,直线 为抛物线 M 的准线, .设 ,则, 解 得 , 故.8 . B 设 则 . 因 为 , 所 以,即 ,故 在 R 上单调递增.因为 是定义在 R 上的奇函数,所以 ,所以 ,不等式 ,即 ,则 .9 . CD 因 为 , 所 以 , 所 以 , 当 且 仅 当,即 时,等号成立,故10.ABC 由图易知自 2011 年以来,每年上半年的票房收入相比前一年有增有减,故 A 错误;自 2011 年以来,每年上半年的票房收入增速为负的有 3 年,故 B 错误;2017 年上半年的票房收入增速最大,故 C 错误;2020 年上半年的票房收入增速最小,故 D 正确.11.CD .2, 2a b= = 2by x xa= ± = ±/ /a b2 1 4, 2n n= × = 3 (4,8)a nb− =| 3 | 4 5a nb− =12 1tan72 6α = =2122 tan 126tan 211 tan 35136ααα×= = =− −CD , ,AC CD BD CD AE BD⊥ ⊥ ⊥ | | 3BE x=| | 5 ,| | | | | | | | | | 3 ,| | | | | | 5AB x BE BD AC BF AF x AB AF BF x= = − = − = = + = | |AF x=| | 1| | 5 5AF xAB x= =( ) [ ( ) 1]xg x e f x= − ( ) ( ) ( )x x xg x e f x e f x e′ ′= + − ( ) ( ) 1f x f x′+ ( ) ( )x x xe f x e f x e′+ ( ) ( ) 0x x xe f x e f x e′+ − ( )g x ( )f x(0) 0f = (0) 1g = − ( ) 1x xe f x e − ( ) (0)g x g 0x 1x 1 0x − 25 251 1 2 25 1 111 1x xx x+ = − + + + =− −…2511xx− =−6x = 25 111xx+−…2( ) 2cos 3 sin 2 cos 2 3 sin 2 1 2sin 2 16f x x x x x xπω ω ω ω ω = + = + + = + +  因为 ,所以 ,所以 .令 ,得则 ,则 图象的对称中心为 ,故 A 错误.由 ,可得 ,则 或 ,即 或 .所以函数 在 上有三个零点 ,故 B 错误.令 ,得 ,所以 的单调递增区间为 ,故 C 正确.将 的图象向左平移 个单位长度后,得到曲线,故 D 正确.12.ABC 如图,连接 .易证 平面 ,则 ,故 A 正确.在 上取一点 H,使得 ,连接 ,易证四边形 为平行四边形,则 .若,易证四边形 为平行四边形,则 ,从而 ,故四边形 为平行四边形,于是 ,故 B 正确.设 ,三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等,则 ,即三棱锥 的体积与正方体的棱长有关,与点 F 的位置无关,故 C 正确.以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 , 则 , 从 而, . 设 平 面 的 法 向 量 , 则22Tπ πω= = 1ω = ( ) 2sin 2 16f x xπ = + +  2 ( )6x k k Zπ π+ = ∈ ( )12 2kx kπ π= − + ∈ Z( )f x ,1 ( )12 2kk Zπ π − + ∈  ( ) 2 0f x − = 1sin 26 2xπ + =  2 26 6x kπ π π+ = + 52 2 ( )6 6x k k Zπ π π+ = + ∈ x kπ= ( )3x k k Zπ π= + ∈( ) 2y f x= − [0, ]π 0, ,3π π2 2 2 ( )2 6 2k x k k Zπ π ππ π− + + + ∈„ „ ( )3 6k x k k Zπ ππ π− + + ∈„ „( )f x , ( )3 6k k k Zπ ππ π − + + ∈  2sin 2 1y x= +12π2sin 2 1 2sin 2 112 6y x xπ π    = + + = + +        BD AC ⊥ BDEF AC EF⊥ 1AA1 2A H AH= 1 1, ,EC EH HB 1 1B C EH 1 1 1 1/ / ,C E B H C E B H=12BF B F= 1AHB F 1 1/ / ,AF B H AF B H= 1 1/ / ,AF C E AF C E=1AEC F 1/ /AE C F AB a= 1D AEF−1F AD E− 1 131 1 23 2 3 9D AEF F AD Ea aV V a a− −= = × × × × = 1D AEF−1C1C xyz− 3AB = 1(3,3,3), (3,3,0), (3,0, 2), (0,3, )A A E F t1 (0,0, 3), (0, 3, 1)AA AE= − = − − ( 3,0, 3)AF t= − −AEF ( , , )n x y z=令 , 得 , 从 而,即直线 与平面 所成角的正弦值为 .因为 ,所以 ,所以 ,故 D 错误.13.1 .14. 表示的是 6 个 相乘,要得到 ,则其中有 1 个因式取 ,有 3个 因 式 取 , 其 余 2 个 因 式 都 取 , 所 以 展 开 式 中 项 的 系 数 是.15. 设正三棱柱的底面边长为 ,高为 h,球的半径为 R,由题意知 ,即 ,底面外接圆的半径 ,由球的截面圆性质知 ,当且仅当 时取等号,则该正三棱柱外接球的体积的最小值为 .16 . , 即 , 解 得或 .由 的图象(图略)可得 解得 ,即 m 的取值范围是 .17.解:(1)由题意可得 2 分解得 . 4 分故 . 5 分3 0,3 ( 3) 0,n AE y zn AF x t z ⋅ = − − =⋅ = − + − = 3z = ( 3, 1,3)n t= − −11 213cos ,| | ( 3) 10AA nAA nAA n t⋅= = −− + 1AA AEF 23( 3) 10t − +0 3t„ „ 210 ( 3) 10 19t − +„ „23 19 3 3 1019 10( 3) 10t − +„ „(6) (3) (0) 1f f f= = =103−6126x y + −  126x y + −  3xy 2xy− 163xy22 1 3 36 4 31 102 ( 1)6 3C C C × × × × × − = −  8 23πa 3 6 3ah = 2 3ah =32sin3a ar π= =22 2 24 3h ahR r= + =… 32a h=34 8 2( 2)3 3ππ× × =(3, 4) 2 2( ) [ ( )] 2 ( ) 1 0g x f x mf x m= − + − = [ ( ) ( 1)][ ( ) ( 1)] 0f x m f x m− + − − =( ) 1f x m= − ( ) 1f x m= + ( )f x2 1 5,2 1 5,mm −  + 3 4m (3, 4)23 132 4 1 19,30,1,a a qa a a q a qq = = + = + = 1 1, 3a q= =1 11 3n nna a q− −= =(2)由(1)可得 ,则 , 7 分故 . 10 分18.解:(1)若选①, . 2 分,. 5 分. 6 分若选②, ,. 3 分,故 . 6 分若选③ , 2 分, 4 分,故 . 6 分(2) 的面积为 . 7 分. 8 分,即 . 11 分故 的周长为 . 12 分19.解:(1)因为这 160 个城镇的猪肉价格在 (元/千克)内的频率为 , 1分所以据此得全国各地猪肉价格在 (元/千克)内的概率约为 . 2 分(2)因为居民人均收入(元/月)在 的频率为 , 3 分2 12 3nna−= 3 2log 2 1n nb a n= = −2(1 2 1)1 3 5 2 12nn nS n n+ −= + + + + − = =2 22sin 3sin sin , 2 3B A C b ac= ∴ =2 2 23 , 2 3a c b a c ac b+ = ∴ + + =2 2 2 2 2 23 2 2 2 1cos2 2 2 2a c b b ac b b acBac ac ac+ − − − −∴ = = = =30 , sin2B Bπ ∴ =2 2 2 2(sin sin ) sin sin sin , ( )A C B A C a c b ac− = − ∴ − = −2 2 2b a c ac∴ = + −2 2 2 1cos , cos2 2 2a c b acB Bac ac+ −= ∴ = = 3sin2B =( ) ( )2 2 22 2 23 1sin , 3 2 sin4 2a c bS ac B a c b ac B+ −= = ∴ + − =2 2 2 2 2 22 cos , 2 cosb a c ac B a c b ac B= + − ∴ + − =3 2 cos 2 sin , tan 3ac B ac B B∴ × = ∴ = 3sin2B =ABCV1sin 2 3, 82ac B ac= ∴ =2 , 2, 4a c c a= ∴ = =2 2 2 2 12 cos , 16 4 2 2 4 122b a c ac B b= + − ∴ = + − × × × = 2 3b =ABCV 2 4 2 3 6 2 3a b c+ + = + + = +(50,60]5 16 19 1160 4+ + =(50,60]14(0, 4000]6 15 2 27 5 11 1160 32 2+ + + + = 居民人均收入(元/月)在 的频率为 , 4 分所以居民人均收入(元/月)的中位数在 之间. 5 分因为 , 6 分所以中位数约为 4357. 7 分(3)列联表如下: 猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)合计50 5 5570 35 105合计 120 40 160因为 , 11 分所以有 的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关. 12 分20.(1)证明:因为 是菱形,所以 , 1 分则 . 2 分因为 平面 平面 ,且 ,所以 平面 . 3 分因为 平面 ,所以 . 4 分(2)解:取 的中点 O,连接 ,取 的中点 F,连接 .因为 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 .. 5 分由(1)可知 平面 ,所以平面 平面 ,则 平面 . 6 分故以 O 为坐标原点,以 的方向分别为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 由 题 中 数 据 可 得 , 则. 8 分(0,5000]55 9 45 16 25 1160 32 2+ + + = (4000,5000]1 11305002 324000 1000 435725 11 732 32−+ × = ≈−(0,50] (50,60](0, 4000](4000,6000]22 160 (50 35 70 5) 1120 11.313 7.87955 105 120 40 99K× × − ×= = ≈ × × ×99.5%ABCD AC BD⊥,BE AC PE AC⊥ ⊥BE ⊂ ,PBE PE ⊂ PBE BE PE E∩ = AC ⊥ PBEPB ⊂ PBE PB AC⊥DE OP CD OF8BD = 4DE PE= =4PD = PD PE= PO DE⊥AC ⊥ PBE PBD ⊥ ABCD PO ⊥ ABCD, ,OF OD OP  , ,x y zO xyz− ( 3, 2,0), (0, 6,0), (3, 2,0), (0, 2,0), (0,0, 2 3)A B C D P− − − −(3, 4,0), (0,6, 2 3), (0, 2, 2 3)AB DC BP DP= = − = = −   设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 .9分设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 10 分设平面 与平面 所成的锐二面角为 ,则 . 12 分21.解:(1)设椭圆 C 的焦距为 ,则 3 分解得 , 4 分∴椭圆 C 的标准方程为 . 5 分(2)由题可知直线 的斜率存在,设斜率为 k,则直线方程为 ,设 ,∵原点到直线 的距离为 1, ,即 ①. 6 分PAB ( )1 1 1, ,m x y z= 1 11 13 4 0,6 2 3 0,m AB x ym BP y z ⋅ = − =⋅ = + = 4x = (4,3, 3 3)m = −PCD ( )2 2 2, ,n x y z=2 22 23 4 0,2 2 3 0,n DC x yn DP y z ⋅ = − =⋅ = − + = 4x = (4,3, 3)n =PAB PCD θ2 2 2 2 2 24 4 3 3 3 3 3 4 91cos| || | 914 3 ( 3 3) 4 3 ( 3)m nm nθ ⋅ × + × − ×= = =+ + − × + +  2c2 22 2 22,21 11,2,caa ba b c= + == +2 2 22, 1a b c= = =22 12xy+ =l y kx m= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x yl211mk∴ =+2 21m k= +联立直线与椭圆方程可得 ,则 ,则 ,. 8 分,,则 ②, 10 分联立①②,解得 ,即 , 11 分∴所求直线方程为 . 12 分22.(1)解: . 1 分因为 的定义域为 ,所以 . 2 分因为曲线 存在一条切线与直线 垂直,所以 , 3 分解得 或 ,则 的取值范围为 . 5 分(2)证明: .当 时, ;当 时, . 6 分所以 . 7 分设函数 .当 时, ;当 时, . 8 分所以 . 9 分因为 ,所以 . 10 分( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =( )( )2 2 2 216 4 1 2 2 2 0k m k m= − + − V 0k ≠2 21 2 1 22 2 24 2 2 2,1 2 1 2 1 2km m kx x x xk k k−+ = − = =+ + +2 1, 2MA AB x x= ∴ = ( )221 1 224,1 23 1 2km kx xkk∴ = − =++ ( )221619 1 2mk=+2 72k = 14 3 2,2 2k m= ± =14 3 22 2y x= ± +1 1( )ef xx′ = −( )f x (0, )+∞ 1 1 1e ex− −( )y f x= y ax= 1 1ea− −0a ea a ( ,0) (e, )−∞ ∪ +∞1 1 e( )e exf xx x′ −= − =(0,e)x ∈ ( ) 0f x′ (e, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ maxe( ) (e) ln e 0ef x f= = − =22 1 2 1( ) ln , ( ) 2xg x x x g x xx x′ −= − = − =20,2x ∈   ( ) 0g x′ 2 ,2x ∈ +∞   ( ) 0g x′ min2 1 1 1 1 1( ) ln ln 22 2 2 2 2 2g x g = = − = +   1ln 2 ln e2 = min3( )4g x 因为 ,所以 . 11 分又 ,所以 . 12 分3 3 3sin ,4 4 4x ∈ −  2 3ln sin 04x x x− − max( ) ( ) 0f x f x =„2 3( ) ln sin4f x x x x − −

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