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湖南师大附中2021届高三数学上学期第四次月考试卷(Word版附答案)

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湖南师大附中 2021 届高三年级上学期第四次月考数 学一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.设集合 , ,则A.(0,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,3)2.若 为纯虚数,则实数 的值为A. B. C. D.3.平面向量 , , ,则向量 夹角的余弦值为A. B. C. D.4.《易经》是中国文化中的精髓,右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成( 表示一根阳线, 表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为A. B.C. D.5.已知两个变量具备线性相关性,现通过最小二乘法求回归直线方程 ,将已知数据代入公式 计算后得到的代数式为: ,使上述代数式取值最小的 的值即为回归方程的系数,则回归直线方程为A. B.C. D.6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6 人中留 2 人值班,另外 4 人分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游,要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有A.120 种 B.180 种 C.240 种 D.320 种}02|{ 2 −−= xxxA }30|{ = xxB =BAiia23 +−a23−32−3223)2,1(=a 3|| =b 6−=⋅ba ba,55− 552−515481418321xby ˆˆ = â+21)( abxyQ iini−−= ∑=3212133 22 +−++ babbaba,2ˆ +−= xy 2ˆ −−= xy2ˆ += xy 2ˆ −= xy7.已知数列 前 项和为 ,命题 ,命题 为等差数列,则 是 成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为椭圆 上一动点, 与直线 交于 两点, 与 的外接圆的周长分别为 ,则 的最小值为A. B. C. D.二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.)9.空气质量指数大小分为五级,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.指数范围在:[0,50],[51,100],[101,200],[201,300],[301,500]分别对应“优”、“良”“轻(中)度污染”、“中度(重)污染”、“重污染”五个等级.下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图,下列说法正确的有A.这 14 天中有 4 天空气质量指数为“良”B.这 14 天中空气质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5 日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9 日到 11 日10.设动点 在正方体 上(含内部),且 ,当 为锐角时,实数 可能的取值是A. B. C. D.11.在 中,下列说法正确的是A.若 ,则B.存在 满足C.若 ,则 为钝角三角形}{ na n nS 2)(: 1 nnaanSp+= }{: naq pqBA, 14:22=+ yxC P C PBPA,3=x NM , PMN∆ PAB∆ 21, LL21LL45434241P 1111 DCBAABCD − BDPD 11 λ= APC∠λ21314151ABC∆BA BA sinsin ABC∆ 0coscos ≤+ BABA cossin ABC∆D.若 ,则12.已知 , , ,若 存在唯一零点,下列说法正确的有A. 在 上递增B. 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数 均有D.三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)13.已知函数 则 = .14.某圆锥母线长为 4,其侧面展开图为半圆面,则该圆锥高为 .15.已知三棱锥 外接球的表面积为 , 平面 , ,,则三棱锥体积的最大值为 .16.如图,已知 为双曲线 的右焦点,过点 的直线交两渐近线于 两点,若 , 内切圆的半径 ,则双曲线的离心率为 .四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分 10 分)在① ;② ;③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.问题:已知数列 的前 项和为 , , ,若确定 是等差数列,求的通项公式,否则,说明理由.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)2πC BAC 22 sinsinsin +0a xx eexm −− −= 22)( xxamxf πsin)()( −= )(xf)(xm R)(xmRxx ∈21,  ++ 22)()( 2121 xxmxmxm2π≥a≤+=− ,0,22,0,log)( 2xxxxfx 21ffABCP − π100 ⊥PB ABC 8=PB120=∠BACF babyax =− (12222)0 FBA, 120=∠OAB OAB∆53 bar−=)1(2 12 +=+ −− nnn SSS 121 2 +++ −=+ nnn aSS +−= + nanSnn (1 )1}{ na n nS 11 =a }{ na }{ na18.(本题满分 12 分)在 中, , ,点 在边 上, ,(1)求 ;(2)求 的面积.19.(本题满分 12 分)四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形, 底面, 分别是 的中点.(1)已知 ,若平面 平面 ,求 的值;(2)在(1)的条件下,求平面 与平面 所成二面角的正弦值.20.(本题满分 12 分)已知 分别为椭圆 的左、右顶点,过点 任作一条非水平直线交椭圆于 两点,若椭圆长轴长为 8,且过点(1)求椭圆 的方程;(2)记直线 的斜率分别为 ,则 是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由.ABC∆3π=∠B 15=AB D BC 1=CD .261cos =∠ADCBAD∠sinABC∆ABCDP − ABCD ⊥=∠ PABAD ,120ABCD FEPA ,,32= PDPC,BCBG λ= //EFG PAB λEFG PCDBA, )0(1: 2222=+ babyaxC ,2(M )0QP, .473,3 CBQAP, 21, kk21kk21.(本题满分 12 分)有编号为 1,2,3 的三只小球,和编号为 1,2,3,4 的四个盒子,将三个小球逐个随机的放入四个盒子中,每只球的放置相互独立.(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率;(2)求三只小球在三个不同的盒子,且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率;(3)记录至少有一只球的盒子,以 表示这些盒子编号的最大值,求22.(本题满分 12 分)已知 为常数.(1)讨论 的单调性;(2)若 时, 恒成立,求实数 的取值范围.X .EXaxeaaexf xx ,)12()( 2 −−+=)(xf0≥x xaxf cos)13()( −≥ a数学参考答案一、单项选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D C B C D C C A1.D【解析】 或 ,则2.C【解析】 ,则 所以3.B【解析】4.C【解析】5.D【解析】 ,当 即时上式最小,故6.C【解析】方法 1:以人为对象,分类讨论:甲不值班乙值班: ;甲值班乙不值班: ;甲乙都不值班: ;甲乙都值班: ,故;方法 2:以地点为对象,依次考虑各景点可能人数:7.C【解析】若 成立,则 ,则 ,两式相减得: ,即 ,于是: ,再将以上两式相减得: ,即 ,所以 为等差数列,故命题 成立;而 成立, 显然成立.8.A【解析】容易知道 ,设 , ,令 得 , ,不妨设 ,则 ,设 和 外接2|{ = xxA }1−x ).3,2(=BA13)32()23()23)(23()23)((23iaaiiiiaiia +−−=−+−−=+−=/+−=−,0)32(,023aa.32=a.552356||||cos −=×−=⋅=babaθ.83==nmp2)1()2(33212133 2222 +−++=+−++ bbababba=−=+,01,02bba=−=1,2ba.2ˆ −= xy72331334 =ACC72331334 =ACC 72331224 =ACC 2444 =A24024727272 =+++=N.2403454 =×××=Np2)( 1 nnaanS+=2))(1( 111++++= nnaanS2)(2))(1( 1111nnnaanaana+−++= ++ 0)1( 11 =+−− + anaan nn0)1( 112 =++− ++ aanna nn 02 12 =+− ++ nnn nanana02 12 =+− ++ nnn aaa }{ na q q p41−=⋅ PBPA kk )2(: += xkylPA )2(41: −−= xkylPB 3=xkyM 5= =Ny k41− 0kkkMN415 += PMN∆ PAB∆圆的半径分别为 ,由正弦定理得: , ,又,所以:二、多项选择题题号 9 10 11 12答案 ACD CD ACD ABD9.ACD【解析】14 天中有:1 日,3 日,12 日,13 日空气质量指数为良,共 4 天,故 A对;14 天中的中位数为: ,故 B 错;从 2 日到 5 日空气质量指数越来越高,故空气质量越来越差,故 C 对;D 答案显然成立.10.CD【解析】设 , ,设正方体的棱长为 1,则 ,在 中,由余弦定理得 ,若 为锐角,则 ,则, 在 中 , , , 于 是 由 余 弦 定 理 得,于是 ,即 ,解之得: 或 ,由 ,故 (舍)或11 . ACD 【 解 析 】 对 于 A 选 项 , 若 则 , 则 . 即,故 A 选项正确;对于 B 选项,由 ,则 ,于是 ,即 , 故 B 选 项 错 误 ; 对 于 C 选 项 , 由 得,此时:若 ,则 ,则 ,于是 ;若 ,则 ,则 ,于是 ,故 C 选项正确;对 于 D 选 项 , 由 , 则 , 则 , 于 是, 即 , 同 理 , 此 时.所以 D 选项正确.21, rr =12r MPNMN∠sin APBABr∠=sin2 2°=∠+∠ 180APBMPN44152441522212121 kkkkABMNrrrrLL⋅≥+==== ππ.45=5.103212186 =+xAP = tPD =1 2=AC APC∆22222 122cosxxxxxAPC−=−+=∠ APC∠ 0122−xx12 x PAD1∆ 21 =AD 36cos 1 =∠ PAD36222 22 ⋅⋅⋅−+= ttx 136222 2 ⋅⋅⋅−+ tt 03343 2 +− tt3t 33t 31 =BD 1λ .310 λBA ba BRAR sin2sin2 BA sinsin π+ BA BA − π BA coscos −0coscos + BA BA cossin BA cos2cos  −π20π A BA −2π2π+ BA2πC2πA BA cos2cos  − π BA −2πBA +2π2πC2π+ BA220ππ − BA − BA2sinsinπBA cossin0 AB cossin0 BABBAABABABAC 22 sinsinsinsinsinsinsincoscossin)sin(sin +=⋅+⋅+=+=12 .ABD 【解析】由 知 在 上递增,故 A 选项正确;,故 图象关于点(2,0)中心对称,故 B 选项正确;由 ,当 时, 递增,图象下凸,此时 ,故 C 选项错误;对于 D 选项:解法 1: ,注意到 ,故 的图象关于点(2,0)中心对称,而 ,则 在 上有唯一零点等价于 在无 零 点 , , 当 时 , 因 为,则 ,于是 在 递增,于 是 当 时 , , 满 足 题 意 ; 当 时 ,,由连续函数的性质可知,一定存在 ,使得 时,则 在 单调递减,于是 时 ,而时 , , , ,,由零点存在定理,在区间 上 一定还存在零点,与已知矛盾. 故解 法 2 : 若 存 在 唯 一 零 点 , 则 只 有 一 个 解 , 即与 只 有 一 个 交 点 , ,,由 , 的图象均关于点(2,0)中心对称,在 的右侧附近, 为下凸函数, 为上凸函数,要 时图象无交点,0)(' 22 += −− xx eexm )(xm R0)4()( 2222 =−+−=−+ −−−− xxxx eeeexmxm )(xmxx eexm −− −= 22)('' 2x )(',0)('' xmxm )(xm+2)()( 21 xmxm  +221 xxmxeeaxf xx πsin)()( 22 −−= −− )2()2( xfxf +−=− )(xf0)2( =f )(xf R )(xf),2( ∞+ xeeaxf xx ππ cos)()(' 22 −+= −−2π≥a222 ≥+ −− xx ee 02cos2)(' ≥−≥−≥ πππ axaxf )(xf ),2( ∞+),2( ∞+∈x 0)2()( = fxf2πa02)2(' −= πaf 20 x ),2( 0xx ∈0)(' xf )(xf ),2( 0x ),2( 0xx ∈ 0)2()( = fxf 2πa2aπ42 ππ a2ln2 +aπ− −= +−−= +−aaaaaeeaaf aaππππππππππlnsinln2sinln2lnln01412−−−−≥ ππππa +aπln2,2 )(xf.2π≥a)(xf xeea xx πsin)( 22 =− −−)()( 22 xx eeaxg −− −= =)(xh xπsin )()(' 22 xx eeaxg −− +=xxh ππ cos)(' = 0)2()2( == hg )()( xhxg 、2=x )(xg )(xh 2x当且仅当 成立,于是 ,即 ,故 D 选项正确.三、填空题13.4【解析】 ,14. 【解析】圆锥底面半径 ,15. 【解析】设 三边的长分别为 ,设球的半径为 ,由 得 ,设 外接圆的半径为 ,由正弦定理 得 , 即 , , 所 以 ,, 即 , 故 ,,当且仅当 时取等号.16. 【解析】由焦点 到渐近线的距离为 , 知 ,在 中 , 由 余 弦 定 理 得 , 即,解之得: 设内心为 ,作 于 ,显然 , ,则,则 ,,即 ,四、解答题17.【解析】若选①,由 成立,则必须 ,……………………2 分此时 ,即 ,…………………………5 分)2(')2(' hg ≥ π≥a22π≥a121log212 −==f .422)1(21 )1( =+=−= −−fff32 2=r .3224 22 =−=h36 ABC∆ ,,, cba bcbcV 3328120sin2131 =⋅⋅= R 24 Rπ π100= 252 =R ABC∆ r120sin2ar = ar 33=222334 += aR 25= 33=a°⋅−+= 120cos227 22 bccb bcbcbcbccb 3227 22 =+≥++= 9≤bc≤= bcV 332369332 =× 3== cb419F b °=∠ 120OAB bAF 332=OAF∆ °⋅⋅⋅−+= 120cos2222 AFOAAFOAOF120cos3322332222 ⋅⋅⋅−+= bOAbOAc .33baOA −= OAB∆M OAMN ⊥ N 60=∠MAO53 barMN−==153333 baMNAN−==153412153333 bababaANOAON−=−−−=−=4315341253tan =−−==∠babaONMNMON 43=ab ⋅=+=+= 419431122abe)1(2 12 +=+ −− nnn SSS 3≥n2211 +−=− −−− nnnn SSSS )3(21 ≥+= − naa nn这只能说明数列 从第 2 项开始构成等差数列,…………………………8 分数列通项公式无法确定. ……………………………10 分若选②,由 ,得 ,即 ,……2 分即 ,………………………………5 分这只能说明数列 从第 2 项开始构成等差数列,…………………………8 分数列通项公式无法确定. ………………………………………10 分若选③,由 得 ,于是 ,两式相减得:,………………………………2 分即 ,………………………………5 分对 ,令 得 ,……………………………7 分故数列 是公差为 2 的等差数列,…………………………8 分即 …………………………………10 分18.【解析】(1)由 ,知 ,…………2 分则 ………3 分 ………………………………5 分(2)在 中,由正弦定理得: ,即 ,………………………………7 分即 ,……………………………8 分所以 ,}{ na121 2 +++ −=+ nnn aSS 2112 =−− +++ nnn aSS 212 =− ++ nn aa)2(21 ≥=−+ naa nn}{ na)1(1 +−= + nanSnn )1(1 +−= + nnnaS nn)2)(1()1( 21 ++−+= ++ nnanS nn)1(2)1()1( 21 +−+=+ ++ nanan nn212 += ++ nn aa)1(1 +−= + nnnaS nn 1=n 212 += aa}{ na.122)1(1 −=×−+= nnan261cos =∠ADC 263152611sin2=−=∠ADC°° ⋅∠−⋅∠=−∠=∠ 60sincos60cossin)60sin(sin ADCADCADCBAD .2637232612126315 =×−×=ABD∆ADBABBADBD∠=∠ sinsin26315152637=BD7=BD817 =+=BC于是 …………………………………10 分 …………………………………12 分19.【解析】(1)若平面 平面 ,平面 平面 ,平面 平面,由面面平行的性质定理可知: ,…………………………………2 分于是 ,由 为 的中点知: 为 的中点,故 ,所以 . ………………………………4 分(2)由平面 平面 知,平面 与平面 所成二面角即为平面 与平面 所成二面角. 连接 ,交 于点 ,因为四边形为菱形,则 ,以点 为坐标原点,以 所在的直线分别为 轴, 轴,过点 与底面 垂直的直线为 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系, ………………………6 分则 , , , ,, 于 是 , , ,, 设 平 面 的 法 向 量 为 , 由 得取 ,则 , ,于是 …………………………………8 分同理可求得平面 的一个法向量为 ,……………………………9 分则 ,………………11 分所以二面角的正弦值为 ……………………………12 分20.【解析】由题意知: ……………………………2 分解之得: 故椭圆 的方程为: ………………………………4 分ABDBCABS ∠⋅⋅⋅= sin21.33060sin81521 =×××= //EFG PAB PAB PBPBC = EFGEGPBC = EGPB //EPCEGBCG = E PC G BC BCBG21=21=λ//EFG PAB FFG PCD PABPCD BD AC O −ABCD BDAC ⊥ O OCOB、x y O ABCDz)0,1,0( −A )0,0,3(B )0,1,0(C )0,0,3(−D)32,1,0( −P )32,0,0(=AP )0,1,3(=AB )32,2,0( −=CP)0,1,3( −−=CD PAB ),,(1 zyxn ==⋅=⋅,0,011ABnAPn=+=,03,032yxz1=x 3−=y 0=z ).0,3,1(1 −=nPCD )1,3,1(2 −=n5521)3()1()3(131||||,cos222212121 −=++−−+−−=⋅=nnnnnn.55=+=,116639,8222 baa==,3,4baC .191622=+ yx(2)设 , ,设直线 的方程为: ,…………………5 分由 得 ,显然 ,………………………6 分于是: , ,………………………………7 分 ………………………………8 分 …………………12 分21.【解析】(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件 ,则 ………3 分(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件 ,“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件 则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件: ,, ………………………………………4 分, ………………………………………5 分与 互斥,故 ………………………………6 分(3) ……………………………………………7 分;……………………………………………8 分;………………………………………9 分; ……………………………………10 分),( 11 yxP ),( 22 yxQ PQ 2+= yx λ=++=1916,222 yxyx λ010836)169( 22 =−++ yy λλ 0∆16936221 +−=+λλyy169108221 +−=λyy221121212122112162)6()2(44 yyyyyyyyyyyxxykk+−=+−=−⋅+= λλλλ2212212162)(2yyyyyyyy+++−= λλ.31)169(6108)169(23661691082169362169108222222222=++−++−=++−⋅++−⋅−+−⋅=λλλλλλλλλλyyyyA .1694)( 32413 == ACAPB,C CB +6494)21()(313 =+= CBP6411432)(323 =×+= CCPB C.1656411649)()()( =+=+=+ CPBPCBP.4,3,2,1=X64141)1(3===XP647412)2(33=−==XP6419423)3( 333=−==XP; ……………………………………11 分故 …………………………………12 分22.【解析】(1) ,…………………………………2 分当 时, 在 上单调递减;…………………………………………3 分当 时,由 得, ;由 得,故 在 递减,在 递增. …………………………………4 分(2)由 得, , , …………………………………5 分①当 时,由(1)知, 在 上单调递增,,……………………………6 分②当 时,令 ,则 ,, ,当 时, ,由 得, ,时, ,从而,由零点存在定理知,存在 ,使得当 时, ,此时, ,不合题意. ………………………9 分当 时, ,6437434)4( 333=−==XP.1655643746419364726411)( =×+×+×+×=XE)1)(12()(' +−= xx eaexf0≤a )(xf R0a 0)(' xfax21ln 0)(' xf .21lnax )(xf  ∞−a21ln,  ∞+,21lna02≥ πf 02)12( 2 ≥−−+ πππ eaae2)2( 22ππππ +≥+ eeea.0∴a21≥a )(xf ),0[ ∞+xaafxf cos)13(13)0()( −≥−=≥∴210 a xaxfxg cos)13()()( −−=|13|)('sin)13(1)12(2)(' 2 −−≥−+−−+= axfxaeaaexg xx024)0(' −= ag 0)0( =g2131 a aeaaeaxfxg xx 3)12(2|13|)(')(' 2 −−+=−−≥03)12(2 2 =−−+ aeaae xx 04142821ln2 +−+−=aaaaxaaaax 4142821ln2 +−+−≥∴ 04142821ln')('2≥ +−+−≥aaaagxg +−+−∈aaaax 4142821ln,020 .0)(' 0 =xg),0( 0xx∈ 0)(' xg 0)0()( =≤ gxg310 ≤ a 23)12(2|13|)(')(' 2 −+−+=−−≥ aeaaeaxfxg xx由 得, ,时, ,从而,由零点存在定理知,存在 ,使得当 时, ,此时, ,不合题意. …………………11 分综上, …………………………………12 分023)12(2 2 =−+−+ aeaae xx 041122021ln2 ++−+−=aaaaxaaaax 41122021ln2 ++−+−≥∴ 041122021ln')('2≥ ++−+−≥ aaaagxg ++−+−∈aaaax 41122021ln,021 ,0)(' 1 =xg),0( 1xx∈ 0)(' xg 0)0()( =≤ gxg.21≥a

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