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高三数学试题 第 1 页 共 8 页2020-2021 年度第一学期阶段检测高三数学试题2020.12一、选择题:(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域).1.设集合 ,集合 ,则( ▲ )A. B.C. D.2.已知复数 ,则 ( ▲ )A.1 B. C. D.23.设 ,则“ ”是“ ” 的( ▲ )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.柏拉图多面体,是指严格对称,结构等价的正多面体。由于太完美,因此数量很少,只有正四、六、八、十二、二十面体五种。如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体,那么数量会多一些,用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似,这样的多面体叫做半正多面体。古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了 13 种半正多面体(后人称为“阿基米德多面体”)。现在正四面体上将四个角各截去一角,形成最简单的阿基米德{ }2log2 = xxM  = 8)21( xxNφ=NM  NM ⊆{ }43 −= xxNM  MN ⊆iz−=12 z =2 3Rx ∈ 83 x 2x注意事项 1.本试卷满分为150 分,考试时间为120分钟。 2.答题前,请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。3.请用 0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答,在其它位置作答一律无效。第 4题高三数学试题 第 2 页 共 8 页家族种的一个,又名截角四面体。设原正四面体的棱长为 ,则所得的截角四面体的表面积为( ▲ )A. B. C. D. 5.现代健康生活的理念,每天锻炼 1小时,健康工作 50年,幸福生活一辈子。我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动。在某校举行的秋季运动会中,来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了 米接力赛,则甲乙互不接棒的概率为( ▲ )A. B. C. D. 6.已知正方形 的内切圆的半径为 ,点 是圆上的一动点,则 的取值范围是( ▲ )A. B. C. D. 7.“白日依山尽,黄河入海流,欲穷千里目,更上一层楼”,古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作,诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画,从此也令鹳雀楼名声大作,世人也能领略鹳雀楼之美。鹳雀楼有有三层,前对中条山,下临黄河,传说有鹳雀在此停留。下面是复建的鹳雀楼的示意图,游客(视为一质点)从地面 点看楼顶点 的仰角为 ,沿直线前进 米到达 点,此时看点 C的仰角为 ,若 ,则鹳雀楼的高约为( ▲ )( )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米8.已知实数 ,满足 ,则 的大小关系为( ▲ )A. B. C. D.6320 324 328 3321004×61312132ABCD 1 M MBMA ⋅[ ]0,1− [ ]3,1− [ ]3,0 [ ]4,1−D A 03079 E 045 ACBC 2= AB1.733 ≈65748392Rcba ∈,, 0lnln)2ln( −==ccbbaacba ,,abc bac acb cab 第 7题高三数学试题 第 3 页 共 8 页二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.9.已知双曲线 ,对于 且 ,则下列四个选项中因 改变而变化的是( ▲ )A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程10.已知函数 ,则下列说法中正确的是( ▲ )A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递增C. 是 的一个对称中心 D. 当 时, 的最大值为 111.设 , , ,以下四个命题中正确的是( ▲ )A. 若 ,则 有最小值 B. 若 ,则 有最小值C. 若 ,则 有最小值 D. 若 ,则 有最大值12.如图,棱长为 的正方体 中, 为线段 上的动点(不含端点),则下列说法中正确的是( ▲ )A. 平面 ⊥平面B. 多面体 的体积为定值C. 恒为锐角三角形D. 直线 与 所成的角可能为12 2222=−kykx ∀ Rk ∈ 0≠k k)32sin(31)(π+= xxf)(xf π )(xf 12712ππ,)0,65(π)(xf ∈6,0πx )(xf),0(, +∞∈yx S x y= + P xy=1=P S 2 PS 2= S 4PPS12 += 2S 2 3=+ PS P 11 1111 DCBAABCD − P BA1PDA 11 APA11CDPD1APD∆PD1 BC 6πA BCDA1 B1C1D1P第 12题高三数学试题 第 4 页 共 8 页三、填空题:(本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上).13 .已知数列 满足 ,且 , ,则 ▲ .14.某校科学社团研究一种卫星接收天线,发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处,已知接收天线的口径(直径)为 ,深度为 ,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ▲ . 15.将函数 图像先向左平移 个单位,再将每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图像,若 ,则 ▲ .16.已知球 为棱长为 1的正方体 的内切球,则平面 截球 的截面面积为 ▲ .四、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本题满分 10 分)请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题①△ABC 的面积为 ; ②在 中,角 所对的边分别为 已知 , 为钝角, .{ }na 0na 11 =a )(2 2121 ∗++ ∈=− Nnaaaa nnnn =nam8.4 m1m12sinsin2)( 2 −+= xxxf4π2 )(xg )4,4(21)(ππαα −∈= ,g=αcosO 1111 DCBAABCD − 11CDB O3 1526AB AB BC+ ⋅ = −  ABC∆ CBA ,, .,, cba 2=− cb A 15sin4A =第 14题高三数学试题 第 5 页 共 8 页 (1)求边 的长; (2)求 的值.18.(本题满分 12 分)已知数列 是等差数列,且 , ,数列 的前 项和为 ,且.(1)求数列 , 的通项公式;(2)记 ,数列 的前 项和为 ,证明: .19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, 、 是线段 、 的中点。(1)证明: 平面 ;(2)若 , ,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.a C2sin{ }na 32 =a 4 7a = { }nb n nS( )*112n nS b n N= − ∈{ }na { }nbnnn bac = { }nc n nT 2nTABCDS − ABCD G P AB SD//GP SBC3π=∠BAD 62 ==== SDSBSAAB , SBC SGD第 19 题高三数学试题 第 6 页 共 8 页20.(本题满分 12 分)苏果超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本为每瓶 元,售价每瓶 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位℃)有关。如果最高气温不低于 ,需求量为 瓶;如果最高气温位于区间 ,需求量为 瓶;如果最高气温低于 ,需求量为 瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频率分布表:(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 (单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为 (单位:瓶)时,求 的期望值.最高气温天数 2 16 36 25 7 44 6225 500[ )25,20 350 20 200XY420 Y[ )15,10 [ )20,15 [ )25,20 [ )30,25 [ )35,30 [ )40,35高三数学试题 第 7 页 共 8 页21.(本题满分 12 分)已知椭圆 : 的一个焦点坐标为 ,其左右顶点分别为, ,点 在椭圆 上,(1)求椭圆 的标准方程;(2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点, 交于点 , 求 的值.E2 22 21( 0)x ya ba b+ = F 1,0( )A B M312(,) EE(4,0)P l E ,C D ,AC BD T ATAP ⋅高三数学试题 第 8 页 共 8 页22.(本题满分 12 分) 已知函数 ,函数(1)求函数 在 处的切线方程;(2)当 时,证明:当 时,2020-2021 年度第一学期阶段检测参考答案1、B 2、 A 3、A 4、C 5、C 6、B 7、B 8、A9、AC 10、AC 11、AD 12、 ABD 13、 14、 15、 16、 17、解:(1)若选择条件①△ABC的面积为 ,,由 ,可得 ………………………………………………………………3分而 A为钝角, ,所以 ……………………………………………4分…………………………………………………………………………………………6分xxf ln)( = .)1()( sin2 xexxg +=)(xf 1=x),0( +∞∈x 2≤m ).()1( xgxmf ≤+12 −n 1.44471+6π3 1515sin4A = 24,153815sin21 =∴===∆ bcbcAbcS ABC2=− cb 4,6 == cb15sin4A =41cos −=A64cos2222 =−+=∴ Abccba8=∴a高三数学试题 第 9 页 共 8 页(2)……………………………………………………………………8分…………………………………………………………10分(1)若选②A 为钝角, ,所以 …………………………………1分由 ,可得 ………………………………………………………………4分而 A为钝角, ,所以…………………………………………………………………………………………6分(2)……………………………………………………………………8分…………………………………………………………10分18、解:(1)因为数列 是等差数列, , ,872cos222=−+=abcbaC81564491sin =−=∴ C32157cossin22sin ==∴ CCC15sin4A =41cos −=A-6bccosA)(2==⋅=+⋅=⋅+ ACABBCABABBCABAB24=∴bc2=− cb 4,6 == cb15sin4A =41cos −=A64cos2222 =−+=∴ Abccba8=∴a872cos222=−+=abcbaC81564491sin =−=∴ C32157cossin22sin ==∴ CCC{ }na 32 =a 4 7a =高三数学试题 第 10 页 共 8 页设公差为 ,则 ,解得 , .. ………………………………………………2分对于数列 , ,当 时, ,解得 ; …………………………………………………3分当 时, ,整 理 得 , 即 , 所 以 数 列 是 等 比 数 列 ,. …………………………………………………………………7分(2) ,数列 的前 项和 ............两式相减可得 ......,. ………………………………………………………………………11分所以 ……………………………………………………………………………12分19、解:(1)取 SC的中点 Q,连接 PQ,QBd1133 7a da d+ = + =1 1a = 2d =1 ( 1) 1 2( 1) 2 1na a n d n n∴ = + − = + − = −{ }nb ( )*112n nS b n N= − ∈1n = 1 1112b b= − 123b =2n ≥ 1 11 11 12 2n n n n nb S S b b− −   = − = − − −      113n nb b −=113nnbb −= { }nb12 1 23 3 3nn nb− ∴ = × =  2(2 1) 4 23 3n n n n nn nc a b− −= = =∴ { }nc n 2 3 12 6 10 4( 1) 2 4 23 3 3 3 3n n nn nT −− − −= + + + + +L2 3 12 6 10 4( 1) 2 4 23 3 3 3 3n n nn nT −− − −= + + + + +L2 16 10 4 23 23 3 3n nnT −−∴ = + + + +L2 16 10 4 23 23 3 3n nnT −−= + + + +L2 14 4 4 4 22 23 3 3 3n n nnT −−= + + + + −L2 14 4 4 4 22 23 3 3 3n n nnT −−= + + + + −L14 14 2 4 432 41 3 313nn nn n −  − + = − − = −−2 223n nnT+∴ = −2nT高三数学试题 第 11 页 共 8 页因为在三角形 SCD中,P,Q为 SD,SC的中点,所以 PQ//CD,PQ=而 GB= ,GB//CD,所以 GB//PQ从而四边形 PQBG 为平行四边形……………………………………………………………2分所以 GP//QB平面平面所以 平面 …………………………………………………………………………5分(缺少条件扣 1 分)在菱形 ABCD 中,因为 ,所以 为正三角形,且因为 为 的中点,所以由所以因为 ,所以有 ,从而以 为正交基底建立如图所示的坐标系………………………………7 分所以设平面 的法向量为所以取 ,得 ………………………………………………………9 分CD21CD21⊄GP SBC⊂QB SBC//GP SBC3π=∠A ABD∆ 3=GDG AB DGAB ⊥2=== ABSBSA3, =⊥ SGABSG6=SD 222 SDGDSG =+ GDSG ⊥{ }GDGBSG ,,)0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),3,0,0( DCBS)0,3,1(),3,0,1( =−= BCBSSBC ),,(1 zyxn ==+=+−=⋅=⋅0303,0011yxzxnBCnBS3=x )1,1,3(1 −=n高三数学试题 第 12 页 共 8 页又平面 的法向量 ………………………………………………10 分所以所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ……………………12 分20、解:(1)需求量 的所有可能值为:200,350,500………………………1分………………………………………………………………2分………………………………………………………………3分………………………………………………………………4分200 350 500(2)当 时, ,…………………………………………………………………………………………6分当 时, ,…………………………………………………………………………………………8分当 时, ,…………………………………………………………………………………………10分所以这种酸奶的利润 的所有可能值为:SGD )0,0,1(2 =n51553,cos212121 ==⋅=nnnnnnSBC SGD .515X( )519018200 ===XP( )529036350 ===XP( )529036500 ===XPXP515252200=X ( ) ( ) 4020042042200)46( −=−⋅−+⋅−=Y ( )5140 =−=YP350=X ( ) ( ) 56035042042350)46( =−⋅−+⋅−=Y ( )52560 ==YP500=X 840420)46( =⋅−=Y ( )52840 ==YPY 840,560,40−高三数学试题 第 13 页 共 8 页 则 (元)当六月份这种酸奶一天的进货量 (单位:瓶)时, 的期望值为 552 元.…………………………………………………………………………………………12分21、解; 设 , ,………………………………2分 …………………………………………………………3分椭圆 的标准方程为 …………………………………………………4分设 直线 的方程为联立 得首先所以 ,…………………………………………6分直线 的方程分别为 则解出交点横坐标 …………………………………………8分Y 40- 560 840P515252( ) ( ) 55284052560525140 =⋅+⋅+⋅−=YE420 Y1() ' ( 1,0)F − ' 4 2 , 2MF MF a a+ = = =2 2 21, , 3c a b c b= = + =E2 214 3x y+ =(2) 1 1 2 2( , ), ( , ),C x y D x y CD ( 4)y k x= −2 2( 4),14 3y k xx y= −+ =2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k+ − + − =0∆2 21 2 1 22 232 64 12,3 4 3 4k kx x x xk k−+ = =+ +,AC BD 1 21 2( 2), ( 2)2 2y yy x y xx x= + = −+ −83)3(2212121+−−−−=xxxxxxxT1211212148)(3)2(2xxxxxxxx+++−−+−−= )(高三数学试题 第 14 页 共 8 页……………………………………………………………………10分从而 …………………………………………………………………………12分解法二:设 直线 的方程为联立 得首先所以 ,…………………………………………6分从而 ………8分直线 的方程分别为 则从而解得 ……………………………………………………………………10分122122483496)2341232(2xkkxkk+++−−+−−=143424644342464122122=+++−+++−=xkkxkk18AP AT→ →=g1 1 2 2( , ), ( , ),C x y D x y CD ( 4)y k x= −2 2( 4),14 3y k xx y= −+ =2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k+ − + − =0∆2 21 2 1 22 232 64 12,3 4 3 4k kx x x xk k−+ = =+ +1 2 1 22 5( ) 4x x x x= + −,AC BD 1 21 2( 2), ( 2)2 2y yy x y xx x= + = −+ −2 12 1 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 19 312( 2) ( 4)( 2) 4 2 82 2 2= 33 12 2 ( 4)( 2) 2 4 8 42 2x xy x k x x x x x xxx y x k x x x x x x x x− −+ − + − + −+ = = = = −− − − − − − + − + +( )1Tx =高三数学试题 第 15 页 共 8 页从而 …………………………………………………………………12分22、解:(1)当 时, ,…………………………………………………………………………1分且过点所以函数 在 处的切线方程为 …………………………………………4分(2)解法一:由(1)知:令 ,所以当 增, 减,,所以即: ………………………………………………………………………………7分故:所以当 时, 时, ……………………………………12分解法二:两边取对数证明,与法一相同解法三:当 时,证明当 时,即证明:因为所以可先证明: 成立。……………………………………………7分令 , ,设 ,下证 时。因为 ,所以18AP AT→ →=gxxfxxf1)(,ln)( =′∴=1=x 1=k)0,1()(xf 1=x .1−= xy1ln)( +−= xxxr 1,0111)( =∴=−=−=′ xxxxxr,0)(),1,0( ′∈ xrx )(xr ,0)(),,1( ′+∞∈ xrx )(xr0)1()( max == rxr 01ln)( ≤+−= xxxr1ln +≥ xx[ ] )1ln(21sin)1ln(21)1(ln)1()( sin2sin2 +≥+++=++≥+= xxxexexxg xx),0( +∞∈x 2≤m ).()1( xgxmf ≤+),0( +∞∈x 2≤m ).()1( xgxmf ≤+xexxm sin2)1()1ln( +≤+1sin −≥ ee x12)1()1ln(2 −+≤+ exx1,1 =+ ttx 1,ln22≤ tett2ln2)( tteth −= 1,0)( ≤ tth02222)(2=−=−=′ttetteth et =高三数学试题 第 16 页 共 8 页当 增;当 减。所以 的最大值为从而命题得证。………………………………………………………………………………12分)(,0)(),,1( ththet ′∈ )(,0)(),( ththet ′∞+∈ ,)(th 0)( =eh

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