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江苏省扬州市2021届高三数学1月适应性练习试题(Word版附答案)

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高三数学试卷 第 1 页扬州市 2020—2021 学年度第一学期高三适应性练习试题 高三数学 2021.1(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的选项中,只有一项符合要求).1.已知集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数 满足 ,则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 展开式中,含 项的系数为( )A. B. C. D.4.如图是某品牌手机的商标图案,制作时以曲线段 为分界线,裁去一部分图形而成,已知该分界线是一段半径为 的圆弧,若圆弧的长度为 ,则 两点间的距离为( )A. B. C. D.5.已知正 的边长为 , 是 边上一点,且 ,则 ( )A. B. C. D.6.过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点(点 在第一象限),若直线 的倾斜角为 ,则 的值为( ) A. B. C. D.7.已知数列 是各项均为正数的等比数列,若 ,则 的最小值为( )A.40 B.20 C.10 D. 58.已知函数 ,若 且 ,则 的最大值为( )A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.下列说法中正确的是( )A.“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件;{ | ( 2)( 1) 0}A x x x= − + ≥ { | 2 0}B x x= − A B =[ 1,0)− ( 2, 1]− − (0, 2] [ 1,2]−z (1 i) 2iz+ = z z( )( )52 1 2x x− + 2x70 30 150− 90ABR23RπA,BR 2R 3R 2RABC∆ 2 P AB 2BP PA= )CP CA CB⋅ ( + =  1 2 4 62 4=y x F l ,A B A l60| || |AFBF2 33252{ }na 3 2 5a a− = 4 28a a+( ) ln , 02 4 , 0=  + ≤x x xf xx e x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x−12 −ee2 1+e 5e52ea b 2 2a b高三数学试卷 第 2 页B. “ ”是“ 成等比数列”的充分不必要条件;C. “ ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件;D. 对于函数 ,“ ”是“函数 为奇函数”的充要条件.10. 已知函数 的部分图像如图所示,则下列说法中正确的是( )A. B. C. D.11.如图,正方体 的棱长为 ,线段 上有两个动点,且 ,则下列说法中正确的是( ) A.存在点 使得 B.异面直线 与 所成的角为 C.三棱锥 的体积为定值 D. 到平面 的距离为12.16世纪时,比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题:“45次方程的根如何求?”,法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题,并指出当 时,此方程的全部根为 ,根据以上信息可得方程 的根可以是( )A. B. C. D.三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知长方体的长、宽、高分别为 ,则该长方体的外接球的半径 .14.某种型号的机器使用总时间 (年)(其中 )与所需支出的维修总费用 (万元)的统计数据如下表:根据表中数据可得 与 之间的线性回归方程为,若该设备维修总费用超过 12 万元就报废,据此模型预测该设备最多可使用__________年.(填整数) 15.几何学中有两件瑰宝,一个是勾股定理,一个是黄金分割,其中顶角为 的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图,已知五角星是由 5个“黄金三角形”与 1个正五边形组成,且 . 记阴影部分的面积为 ,正五边形的面积为 ,则 . 6 8 10 122 3 5 62x = 1, , 4x0, 0m n 2 21x ym n+ =( )f x (0) 0f = ( )f x( ) sin( )( 0,| | )2f x xπω ϕ ω ϕ= + ( ) ( )f x f xπ= + ( ) ( )f x f xπ= − +2( ) ( )3f x f xπ= − 2( ) ( )3f x f xπ= − −1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1B D,E F 1EF =,E F //AE BF EF 1C D 60°B AEF− 2121A AEF3345 43 41 5 345 945 95364 3795 45x x x x x x C− + − ⋅⋅⋅+ − + =2sinC α= 22sin( ), ( 0,1, 2, , 44)45kx kπ α+= = ⋅⋅⋅45 43 41 5 345 945 95364 3795 45 0x x x x x x− + − ⋅⋅⋅+ − + =3 1− 3− 210,8,6( )cm R = ( )cmx 4,x x N ∗≥ ∈ yy xˆ ˆ0.7y x a= +36o5 12BCAC−= 1S 2S12=SSxy高三数学试卷 第 3 页16.已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心, 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点,若 (其中 为坐标原点),则双曲线的离心率为 .四、解答题(本大题共 6 小题,计 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10分)在 中,角 的对边分别为 , 的面积为 , .(1)求 ;(2)若 , ,求 .请在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分 12分)已知数列 的前 项和为 ,且满足 , .(1)求数列 的通项公式; (2)若 ,且 ,求数列 的前 项和 .19.(本小题满分 12分) 如图,在四棱锥 中,四边形 是长方形, ,,(1)证明: 平面 ;(2)若 , 为 中点,求二面角 的余弦值. 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b− = A A b,M N 2OM ON= OABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ S cos sin2Ba b A=B5b = S5 33a = tan( ) 2 34Aπ+ = + 2 2 2b c a bc+ = +{ }na n nS 112a = *11 2 ,n nS a n N+= − ∈{ }na12logn nb a= 214 1n ncb=−{ }nc n nTP ABCD− ABCD PAB ABCD⊥平面 平面PAD ABCD⊥平面 平面PA ⊥ ABCD2, 3PA AD AB= = = E PDA BE C− −高三数学试卷 第 4 页20.(本小题满分 12分) 为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了 名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表: 周末运动时间 (分钟)人数(1)从周末运动时间在 的学生中抽取 人,在 的学生中抽取 人,现从这 人中随机推荐人参加体能测试,记推荐的 人中来自 的人数为 ,求 的分布列和数学期望;(2)由频率分布表可认为:周末运动时间 服从正态分布 ,其中 为周末运动时间的平均数 ,近似为样本的标准差 ,并已求得 . 可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高中生中随机抽取 名学生,记周末运动时间在 之外的人数为 ,求 (精确到);参考数据 1:当 时,. 参考数据 2:21.(本小题满分 12分) 已知椭圆 的离心率为 ,左右顶点分别为 ,上下顶点分别为 ,四边形 的面积为 ,(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点,直线 、 分别交直线 于 两点,判断 是否为定值,并说明理由.22.(本小题满分 12分) 3000t [30 40), [40 50), [50 60), [60 70), [70 80), [80 90],300 600 900 450 450 300[70 80), 3 [80 90], 2 52 2 [70 80), X Xt 2( , )N µ σ µ tσ s 14.6s ≈10 (43.9,87.7] Y ( 2)P Y =0.0012( , )t N µ σ: ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545,P t P tµ σ µ σ µ σ µ σ− + = − + =( 3 3 ) 0.9973P tµ σ µ σ− + =8 20.8186 0.202,0.1814 0.033 ≈ ≈2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b+ = 12,A B ,C DACBD 4 3F l P Q PB QB 4x = ,M NBM BN g高三数学试卷 第 5 页已知函数 ,(其中 为参数)(1)若 ,且直线 与 的图象相切,求实数 的值;(2)若对任意 ,不等式 成立,求正实数 的取值范围.2020—2021 学年度第一学期高三适应性练习 高三数学参考答案 2021.11、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D9、AB 10、AD 11、BCD 12、AC13、 14、 15、 16、 17、解:(1)在 中,因为 ,所以由正弦定理得 ,因为 ,所以 , ……………2 分所以因为 ,所以 , ……………4 分因为 ,所以 ……………5 分(2)选①:由正弦定理得 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 是直角三角形,所以 . …………10 分选②:由 得 ,解得因为 ,所以 ,所以 ,所以 是直角三角形,所以 . …………10 分选③:因为 ,所以 , 因为 ,所以 ,又 ,所以 为正三角形,所以 …………10分18、解:(1)因为 ,所以 ,两式相减得 , ……………2分( ) lnxf x e a x= − a1a = 1y kx= + ( )y f x= k(0, )x∈ +∞ ( ) lnf x a a a5 2 20 52 33ABC∆ cos sin2Ba b A= sin cos sin sin2BA B A⋅ = ⋅sin 0A ≠ cos sin2BB=cos 2sin cos2 2 2B B B=cos 02B ≠ 1sin2 2B =(0, )B π∈3Bπ=5 353sin sin3A π= 1sin2A = b a6Aπ=2Cπ= ABC∆ 1 1 5 3 25 352 2 3 6S ab= = ⋅ ⋅ =tan( ) 2 34Aπ+ = +tan tan tan 14 2 31 tan1 tan tan4A AAAππ+ += = +−−3tan3A =(0, )A π∈6Aπ=2Cπ= ABC∆ 1 1 5 3 25 352 2 3 6S ab= = ⋅ ⋅ =2 2 2b c a bc+ = +2 2 2 1cos2 2b c aAbc+ −= =(0, )A π∈3Aπ=3Bπ= ABC∆ 25 34S =11 2n nS a += − 1 1 2n nS a− = − ( 2)n ≥12 n na a+ = ( 2)n ≥高三数学试卷 第 6 页因为 , ,所以令 ,则可得 所以又 , , ,所以 ( )所以 ,( ), ……………5 分所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列,所以 ……………6 分 注:结果 对,但没有说明 的扣 2分(2)因为 ,所以 ………… 7 分所以 ……………9 分所以 ……………12 分19、(1)证明:∵四边形 为长方形,∴ ,∵ , ,∴ 平面 ……………3 分∵ ∴ . 同理 ,又 ,∴ 平面 . ……………5 分(2)以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示空间直角坐标系 …6 分则设 为平面 的法向量, ∵ ∴ ,令 ,则 , ∴平面 的一个法向量 . ……………8 分同理可求得平面 的一个法向量 , ……………10 分∴ . ∵二面角 的大小为钝角∴二面角 的余弦值为 . ……………12 分注:错将二面角的余弦值写成 的扣 1分20、解:(1)随机变量 的可能取值为 ,, ……………3 分112a = 11 2n nS a += − 1n = 2 11 1(1 )2 4a a= − =2112aa=11 02a = ≠ 2 1 04a = ≠ 12 n na a+ = 0na ≠*n N∈1 12nnaa+ = *n N∈{ }na12121( )2nna =1( )2nna = 2112aa=1( )2nna = 12logn nb a n= =( )2 21 1 1 1 1 1(2 1)(2 1) 2 2 1 2 14 1 4 1n nc n n n nb n= = = = −− + − +− −1 2 3n nT c c c c= + + + +1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 3 3 5 2 1 2 1n n = − + − + + − − + L1 1(1 )2 2 1 2 1nn n= − =+ +ABCD AB AD⊥PAD ABCD⊥平面 平面 PAD ABCD AD∩ =平面 平面 AB ABCD⊂ 平面AB ⊥ PADPA PAD⊂ 平面 AB PA⊥AD PA⊥AB AD A∩ = ,AB ABCD AD ABCD⊂ ⊂平面 平面PA ⊥ ABCDA , ,AB AD AP , ,x y z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 3,0,0 , 0, 2,0 , 3, 2,0 , 0,1,1 , 0,0,2 ,A B D C E P( ), ,m x y z = ABE00m ABm AE ==gg00y zx+ = =1y = 1z = −ABE ( )0,1, 1m = −BCE ( )1,0,3n =3 20cos ,20m nm nm n⋅= = −   A BE C− −A BE C− − 3 2020−3 2020X 0,1, 20 2 1 1 2 03 2 3 2 3 22 2 25 5 51 3 3( 0) , ( 1) , ( 2)10 5 10C C C C C CP X P X P XC C C= = = = = = = = =高三数学试卷 第 7 页所以 ……………5 分(2) ………7 分又 ,所以 ……………9 分 所以 或 , 所以 , 所以 ……………11 分 ……………12 分21、解:(1)由题意得 , ……………….2 分解得 ,所以椭圆 的方程为 . ……………….4 分 (2)方法 1:若直线 的斜率不存在,则直线 方程为 ,此时可得 , , ,所以 . ……………….5 分若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,代入 整理得,易得 恒成立.设 , 则 , ………………7 分由直线 的方程 可得点 ,由直线 的方程 可得点 ,所以 ……………….8 分所以 ……………….9 分综上, 为定值. ……………….12 分方法 2:显然直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为 ,代入 整理得,易得 恒成立. 设 ,则 , ………………7 分X 0 1 2P110353101 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =35 300 45 600 55 900 65 450 75 450 85 30058.53000tµ × + × + × + × + × + ×= = =43.9 58.5 14.6 ,87.7 58.5 14.6 2 2µ σ µ σ= − = − = + × = +0.6827 0.9545(43.9 87.7) ( 2 ) 0.81862P t P tµ σ µ σ + ≤ = − ≤ + = =(P t µ σ≤ − 2 ) 1 0.8186 0.1814t µ σ + = − =(10,0.1814)Y B:2 2 810( 2) 0.1814 0.8186P Y C= = × ×45 0.033 0.202 0.300≈ × × ≈2 2 2122 4 3caa b cab = = + =2 3a b= =, C2 214 3x y+ =l l 1x =3 3(1 ) (1 )2 2P Q −, , , (4 3)M ,- (4 3)N , 5BM BN = − gl l )0)(1( ≠−= kxky2 214 3x y+ =2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 0≥∆1 1 2 2 1 2( ) ( ) ,( 2)P x y Q x y x x ≠, , , ,2 21 2 1 22 28 4 123 4 3 4k kx x x xk k−+ = =+ +,PB11( 2)2yy xx= −−112(4, )2yMx −QB 22( 2)2yy xx= −−222(4, )2yNx −1 21 22 2(2, ), (2, )2 2y yBM BNx x= =− − 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 2 ( ) 14 4 42 2 2( ) 4y y x x x xBM BN kx x x x x x− + += + ⋅ = +− − − + + g2 2 22 22 2 2 24 12 8 4 3 94 4 4 4 54 12 2 8 4(4 3) 4k k kk kk k k k− − + + −= + = + × = −− − × + +BM BN gl l 1+= myx2 214 3x y+ =2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − = 0≥∆1 1 2 2 1 2( ) ( ) ,( 2)P x y Q x y x x ≠, , , , 1 2 1 22 26 93 4 3 4my y y ym m− −+ = =+ +,高三数学试卷 第 8 页由直线 的方程 可得点 ,由直线 的方程 可得点 ,所以 ……………….8 分所以 ……………….9 分 ……………….12 分22、解:(1)若 ,则 ,设切点 ,则 ,即 ……………….2 分令 ,观察得 , ……………….4 分 又 ,所以 在 上递增,所以方程 的根仅有 ,所以 ……………….5分注:观察出 是 的根但没有交待唯一性的扣 1分 (2)方法 1:(直接研究差函数的最小值)令 ,则 ,令 ,则 在 上递增,且 , ,所以存在唯一 ,使得 ,所以 当 时, ,故函数 单调递减.当 时 ,故函数 单调递增.所以 ……………….7分 ……………….9分由 恒成立得 ,即 ,令 ,则 ,所以 在 上递减.由 得 的解为 ,所以 , ……………….11分令 ,则 在 上递增,所以 ,所以 . ……………….12分 方法 2:(构建同构式处理不等式) 由 得 ,即 ,两边同时加 得令 ,则 , ……………….9分 ∵ 为单调增函数 ∴ ,即 ,令 ,则PB11( 2)2yy xx= −−112(4, )2yMx −QB 22( 2)2yy xx= −−222(4, )2yNx −1 21 22 2(2, ), (2, )2 2y yBM BNx x= =− − 1 2 1 221 2 1 2 1 22 2 44 42 2 ( ) 1y y y yBM BNx x m y y m y y= + ⋅ = +− − − + + g2 2 2364 4 9 59 6 3 4m m m−= + = − = −− + + +1a = ( ) ln ( 0)xf x e x x= − , 1( ) xf x ex′ = −00 0( , ln )xP x e x−0000 0ln 1 1x xe x ex x− − = − 00 0( 1) ln 0xx e x− + =( ) ( 1) ln ( 0)xx x e x xϕ = − + , (1) 0ϕ =1( ) 0xx xexϕ ′ = + ( )xϕ (0, )+∞00 0( 1) ln 0xx e x− + = 0 1x = 1k e= −0 1x = 00 0( 1) ln 0xx e x− + =( ) ln ln ( 0)xg x e a x a a x= − − , ( )xx a xe ag x ex x−′ = − =( ) ( 0)xx xe a xϕ = − ≥, ( )xϕ [0, )+∞ (0) 0aϕ = − ( ) ( 1) 0aa a eϕ = − 0 (0, )x a∈ 00 0( ) 0xx x e aϕ = − =0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ ( )g x0( , )x x∈ +∞ ( ) 0g x′ ( )g x0min 0 0( ) ( ) ln lnxg x g x e a x a a= = − −0 001( 2ln )a x xx= − −( ) 0g x 0 001( 2ln ) 0a x xx− − 0 0012ln 0x xx− − 1( ) 2ln ( 0)h x x x xx= − − ,21 2( ) 1 0h xx x′ = − − − ( )h x (0, )+∞(1) 0h = ( ) 0h x 0 1x 00 1x ( ) (0,1)xx xe xφ = ∈, ( )xφ (0,1)00 (0, )xa x e e= ∈ 0 a e ( ) lnf x a a ln lnxea xa− ln lnx lnae a x− − x lnln lnx lna xx a e xe − + − +( ) tt tg e= + ( ) ( )ln lng gx a x−( )g t ln lnx a x− ln lna x x−( ) lnh x x x−= 1( ) xh xx= −′高三数学试卷 第 9 页∴ 在 上单调递减,在 上单调递增,∴ ,∴ ,解得 . ……………….12分 ( )h x (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 0h x h= =ln 1a 0 a e

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